Модуль числа

Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная :-) Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.

Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.

Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, \(|5|=5\). Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному (без знака!).
Например, \(|-7|=7\), \(|-9,36|=9,36\).

Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: \(|x|\geq 0\).

Определение модуля

Вот оно:

\(\left|x \right|=\left\{\begin{matrix} x, если \; x\geq 0, \\-x, если \; x< 0. \end{matrix}\right.\)

От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.

Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию :-)

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,

\(\left|2x-5 \right|=\left\{\begin{matrix} 2x-5, если \; 2x-5\geq 0, \\5-2x, если \; 2x-5< 0. \end{matrix}\right.\)

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, \(|x^{2}+y^{2}|=x^{2}+y^{2} \), так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых \(x\) и \(y\). Или \(|-z^{2}-1|=z^{2}+1\), так так как выражение под модулем неположительно при любых \(z\).

Геометрическая интерпретация модуля

Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, \(|-5|=5\). То есть расстояние от точки \(−5\) до нуля равно \(5\).

Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.

Рассмотрим простейшее уравнение \(|x|=3\). Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки \(3\) и \(−3\). Значит, у уравнения \(|x|=3\) есть два решения: \(x=3\) и \(x=-3\).

Вообще, если имеются два числа, \(a\) и \(b\), то \(|a-b|\) равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение \(\left| AB\right|\) длины отрезка \(AB\), то есть расстояния от точки \(A\) до точки \(B\).)

Ясно, что \(|a-b|=|b-a|\) (расстояние от точки \(a\) до точки \(b\) равно расстоянию от точки \(b\) до точки \(a\)).

Решим уравнение \(|x-3|=4\). Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки \(x\) до точки \(3\) равно \(4\). Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: \(−1\) и \(7\). Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.

Перейдём к неравенствам. Решим неравенство: \(|x+7|< 4\).

Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки \(x\) до точки \(−7\) меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Ответ: \((-11; -3)\).

Другой пример. Решим неравенство: \(\left| 10-x\right|\geq 7\).

Расстояние от точки \(10\) до точки \(x\) больше или равно \(7\). Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: \((-\infty;3]\cup [17; +\infty ).\)

График функции \(y=|x|\)

Этот график надо знать обязательно. Для \(x\geq 0\) имеем \(y= x\). Для \(x< 0\) имеем \(y= - x\).

В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.

Корень из квадрата

Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить \(\sqrt{a^{2}}\), где \(a\) – некоторое число или выражение. Не забывайте, что \(\sqrt{a^{2}}=|a|.\)

Действительно, по определению арифметического квадратного корня \(\sqrt{a^{2}}\) - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a^{2}\). Оно равно \(a\) при \(a\geq 0\) и \(-a\) при \(a< 0\), т. е. как раз \(|a|\).

Примеры заданий ЕГЭ

1. Найдите значение выражения: \(x+\sqrt{x^{2}-4x+4}\) при \(x< 2\).

Заметим, что \(\sqrt{x^{2}-4x+4}=\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|=2-x\) при \(x< 2\).

Следовательно, значение нашего выражения равно: \(x+2-x=2\).

2. Найдите значение выражения: \(\sqrt{(a-6)^{2}}+\sqrt{(a-10)^{2}}\) при \(6\leq a\leq 10\).

Действуем аналогично:

\(\sqrt{(a-6)^{2}}+\sqrt{(a-10)^{2}}=|a-6|+|a-10|=a-6+10-a=4.\)

В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.

Читайте также: Уравнения с модулем