Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный \(90\) градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший \(90\) градусов.

Тупой угол — больший \(90\) градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин.

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается \(C\). Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла \(A\), обозначается \(a\).

Угол \(A\) обозначается соответствующей греческой буквой \(\alpha\).

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет \(a\), лежащий напротив угла \(\alpha\), называется противолежащим (по отношению к углу \(\alpha\)). Другой катет \(b\), который лежит на одной из сторон угла \(\alpha\), называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\(sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}.\)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\(cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}.\)

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

\(tg A=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}.\)

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

\(tg A=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}.\)

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

\(ctg A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}.\)

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin \(\displaystyle \alpha = \frac{a}{c}\)	sin\({}^2 \alpha +\)cos\(\displaystyle {}^2 \alpha =1\)	\(\alpha + \beta = 90 ^{\circ} \)
cos \(\displaystyle \alpha = \frac{b}{c}\)	1+tg \(\displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\cos ^2 \alpha}\)	cos\(\alpha\) = sin \(\beta\)
tg \(\displaystyle \alpha = \frac{a}{b}\)	1+ctg \(\displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\sin ^2 \alpha}\)	sin\(\alpha\) = cos\(\beta\)
ctg \(\displaystyle \alpha = \frac{b}{a}\)		tg\(\alpha\) = ctg\(\beta\)

 

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна \(180^{\circ}\). Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa \(90^{\circ}\).

2. С одной стороны, \(\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}\) как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, \(\cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}\), поскольку для угла \(\beta\) катет \(a\) будет прилежащим. Получаем, что \(\cos \beta =\sin \alpha\). Иными словами, \(\cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A\).

3. Возьмем теорему Пифагора: \(a^2+b^2=c^2\). Поделим обе части на \(c^2,\) получаем \(\displaystyle \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\left ( \frac{c}{c} \right )^2 ,\) то есть \(\sin ^2 A+\cos^2 A=1.\)

Мы получили основное тригонометрическое тождество.

4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на \(\cos^2 A\), получим: \(1+tg^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }.\) Это значит, что если нам дан тангенс острого угла \(\alpha\), то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, \(1+ctg^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin^2 A }.\)

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна \(180^{\circ}\).

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: \(a^2+b^2=c^2\).

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от \(0^{\circ}\) до \(90^{\circ}\).

\(\varphi\)	\(0\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\)
sin\(\varphi\)	\(0\)	\(\displaystyle \frac{1}{2}\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
cos\(\varphi\)	\(1\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\displaystyle \frac{1}{2}\)	\(0\)
tg\(\varphi\)	\(0\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	−
ctg\(\varphi\)	−	\(\sqrt{3}\)	\(1\)	\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}\)	\(0\)

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}, \; sin A = 0,1\). Найдите \(cos B\).

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку \(A+B = 90^{\circ},\) \(\; sin A=cosB=0,1.\)

2. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}, \; AB=5 \; sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}.\) Найдите \(AC\).

Решение:

\(\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}.\)

Отсюда \(BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}.\)

Найдем \(AC\) по теореме Пифагора.

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8.\)

Ответ: 4,8.

3. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ , \; AB = 13, \; BC = 5\). Найдите косинус и тангенс острого угла \(A\). Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла \(A\) противолежащий катет – это \(BC, \; AB\) является гипотенузой треугольника, лежит против \(\angle C\).

Значит, \(sin A \displaystyle = \frac{BC}{AB}= \frac{5}{13}.\)

Катет, прилежащий к \(\angle A\) – это катет \(AC\), следовательно, \(cos⁡ A \displaystyle = \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{13}.\)

Длину катета \(AC\) найдем по теореме Пифагора: \(AC^2+BC^2=AB^2.\)

Тогда \(AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13)^2-5^2}=\sqrt{144}=12.\)

\(cos ⁡A \displaystyle = \frac{12}{13}=0,923 ... \approx 0,92 ;\)

\(tg A  \displaystyle = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}=0,416 ... \approx 0,42.\)

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны \(5\) и \(12\), то гипотенуза равна \(13\). Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

4. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ , \; AC = 2, \; sin A=\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{17}.\) Найдите \(BC\).

Решение:

\(AC = b = 2, \; BC = a, \; AB = c.\)

Так как \(sin A \displaystyle = \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17}, \; \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{17}}{17}, \; \displaystyle c = \frac{17a}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}a.\)

По теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2,\) получим:

\(a^2+2^2=(\sqrt{17} a)^2;\)

\(a^2+4=17a^2;\)

\(16a^2=4, \; \displaystyle a= \frac{1}{2}=0,5;\)

\(BC = 0,5.\)

Ответ: 0,5.

5. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ , \; AC = 4, \; tg A = \displaystyle \frac{33}{4\sqrt{33}}.\) Найдите \(AB\).

Решение:

\(AC = b = 4, \; tg A \displaystyle = \frac{a}{b}=\frac{33}{4\sqrt{33}},\)

\(\displaystyle \frac{a}{4}=\frac{33}{4\sqrt{33}}, \; \displaystyle a=\frac{4 \cdot 33}{4 \cdot \sqrt{33}}=\sqrt{33}, \)

\(AB = c = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{33})^2+4^2}=\sqrt{33+16} =7. \)

Ответ: 7.

6. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^ \circ, \; CH\) – высота, \(AB = 13, \; tg A = \displaystyle \frac{1}{5}.\) Найдите \(AH\).

Решение:

\(AB = c = 13, \; tg A = \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{1}{5} ,\) тогда \(b = 5a.\)

По теореме Пифагора \(\triangle ABC\): \(a^2+b^2=c^2,\)

\(a^2+(5a)^2=13^2;\)

\(26 a^2=169;\)

\(\displaystyle a=\sqrt{\frac{169}{26}}=\frac{13}{\sqrt{26}}, \; \) тогда \(\displaystyle b = 5a=5\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}=\frac{65}{\sqrt{26}}.\)

\(\triangle AHC \sim  \triangle ACB\) (по двум углам), следовательно \(\displaystyle \frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB},\) откуда

\(\displaystyle AH = \frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}=\left ( \frac{65}{\sqrt{26}}\right )^2:13=12,5. \)

Ответ: 12,5.

7. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ, \; CH\) – высота, \(BC = 3, \; sin A = \displaystyle \frac{1}{6}.\) Найдите \(AH\).

Решение:

Так как \(sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6}, \; \) тогда \(\displaystyle \frac{3}{c} = \frac{1}{6} , \; c = AB = 18.\)

\(sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = cos⁡ B = \displaystyle \frac{1}{6}.\)

Рассмотрим \(\triangle BHC\):

\({cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC} =\displaystyle \frac{1}{6}, \; \) получим \(\displaystyle \frac{BH}{3}=\displaystyle \frac{1}{6},\)

тогда \(BH = \displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{2} = 0,5,\)

\(AH = AB - BH = 18 - 0,5 = 17,5.\)

Ответ: 17,5.

8. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ, \; CH\) — высота, \(BC = 3, \; cos A =\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}.\) Найдите \(AH\).

Решение:

Так как для \(\triangle ABC\): \(cosA =\displaystyle \frac{AC}{AB}=sin B = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6},\)

а для \(\triangle BHC\): \(sin B =\displaystyle \frac{CH}{BC} =\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}\) , откуда \(CH = \displaystyle \frac{BC \cdot \ \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{3\ \cdot \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}.\)

По теореме Пифагора найдем \(BH\):

\(BH = \sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\displaystyle \frac{35}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}}=\displaystyle \frac{1}{2}=0,5.\)

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для \(\triangle  ABC\) получим:

\({CH}^2=AH \cdot BH, \; \) тогда \( AH=\ \displaystyle \frac{\ {CH}^2}{BH}, \; AH=\ \displaystyle \frac{\ {\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}{0,5}=\displaystyle \frac{35\ \cdot 2}{4}=17,5.\)

Ответ: 17,5.

9. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90 ^{\circ}, \; CH\) — высота, \(CH = 24\) и \(BH = 7\). Найдите \(sin A\).

Решение:

По определению \(sin A=\displaystyle \frac{a}{c}=\displaystyle \frac{BC}{AB} = {cos B}.\)

Рассмотрим \(\triangle BHC\): \({cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}.\)

ВС найдем по теореме Пифагора:

\(BC= \sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=\sqrt{7^2+{24}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25,\)

тогда \(cos B=\displaystyle \frac{BH}{BC}=\displaystyle \frac{7}{25}=0,28, \; \) а значит, и \(sin A =cos B= 0,28.\)

Ответ: 0,28.

10. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ, \; CH\) — высота, \(CH = 8\) и \(BH = 4.\) Найдите \(tg A.\)

Решение:

По определению \(sin A =\displaystyle \frac{a}{c}= \displaystyle \frac{BC}{AB}= cos B; \; cos A = \displaystyle \frac{b}{c} = \displaystyle \frac{AC}{AB} = {sin B },\)

тогда \(tg A = \displaystyle \frac{sin\ A}{{cos A\ }}=\displaystyle \frac{cosB}{sinB}=ctgB,\) который найдем из \(\triangle BHC\):

\(ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{4}{8}=0,5.\)

Ответ: 0,5.

11. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ, \; CH\) — высота, \(BH = 12, \; tg A = \displaystyle \frac{2}{3}.\) Найдите \(AH\).

Решение:

По определению \(tg A= \displaystyle \frac{BC}{AC}=ctgB=\displaystyle \frac{2}{3}.\)

Для \(\triangle BHC\): \(ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3}, \; \) значит, \(\displaystyle \frac{12}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3}, \; CH = \displaystyle \frac{12\ \cdot 3}{2}=18.\)

Для \(\triangle AHC\): \(tg A= \displaystyle \frac{CH}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3}, \; \) то \(\displaystyle \frac{18}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3}, \; AH = \displaystyle \frac{18\ \cdot 3}{2}=27.\)

Ответ: 27.

12. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ, \; CH\) — высота, \(BH = 12, \; sin A = \displaystyle \frac{2}{3}.\) Найдите \(AB\).

Решение:

Так как \(cos B = \displaystyle \frac{BC}{AB}= sin A = \displaystyle \frac{2}{3}.\)

Из \(\triangle CBH\) имеем \(cos B = \displaystyle \frac{HB}{BC} = \displaystyle \frac{2}{3},\) тогда \(BC = \displaystyle \frac{3\ \cdot \ HB}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 12}{2}=18.\)

В \(\triangle ABC\) имеем \(sinA = \displaystyle \frac{BC}{AB} = \displaystyle \frac{2}{3},\) тогда \(AB = \displaystyle \frac{3 \cdot BC}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 18}{2}=27.\)

Ответ: 27.

13. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ,\) из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота \(CH\). Найдите \(cos A, \;AC\) и \(AB\), если \(CH = 12, \; BC = 20.\)

Решение:

Найдем \(HB\) по теореме Пифагора из \(\triangle BCH\):

\(HB = \sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{(20-12)(20+12)}=\sqrt{8 \cdot 32}= \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 16}=16.\)

\(sin B = \displaystyle \frac{CH}{BC}=\displaystyle \frac{12}{20}=\displaystyle \frac{3}{5}.\)

Для \(\triangle ABC\): \(cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=sin\ B=\displaystyle \frac{3}{5},\) получили \(cos A = 0,6.\)

Найдем \(AC\) и \(AB\) несколькими способами.

1-й способ.

Так как \(cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=\displaystyle \frac{3}{5},\) то пусть \(AC = 3x, \; AB = 5x,\)

тогда по теореме Пифагора \({AC}^2+{BC}^2=\ {AB}^2,\) получим \({(3x)}^2+{(20)}^2=\ {(5x)}^2;\)

\({25x}^2-{9x}^2=\ {20}^2;\)

\({16x}^2=\ {20}^2;\)

\(x^2=\ {\left(\displaystyle \frac{20}{4}\right)}^2;\)

\(x = 5\) ( так как \(x> 0\)). Значит, \(AC=15,\ \ AB=25.\)

2-й способ.

\(\triangle HBC \sim \triangle CBA\) (по двум углам), значит \(\displaystyle \frac{HB}{CB}=\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}\) или \(\displaystyle \frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,\)

\(k = \displaystyle \frac{16}{20}=\displaystyle \frac{4}{5}, \; \) тогда \(\displaystyle \frac{12}{AC}=\displaystyle \frac{4}{5}, \; AC= \displaystyle \frac{12 \cdot 5}{4}=15; \; \displaystyle \frac{20}{AB}=\displaystyle \frac{4}{5}, \; AB = \displaystyle \frac{20\ \cdot 5}{4}=25.\)

3-й способ.

\({CH}^2=AH \cdot HB \;\) (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда

\({12}^2=AH\ \cdot 16, \; AH = 144:16 = 9.\)

\(AB = AH + HB = 9 + 16 = 25.\)

По теореме Пифагора найдем \(AC\):

\(AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{(25-20)(25+20)}= \sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 9}=15.\)

Ответ: \(cos A = 0,6; \; AC = 15, \; AB = 25.\)

14. Высота \(BH\) прямоугольного треугольника \(ABC\), проведенная из вершины прямого угла \(B\), равна \(24\) и отсекает от гипотенузы \(AC\) отрезок \(HC\), равный \(18\). Найдите \(AB\) и \(cos A\).

Решение:

Из прямоугольного \(\triangle BHC\) по теореме Пифагора найдем гипотенузу \(BC\) и \(cos C\):

\(BC = \sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30;\)

\(cos C = \displaystyle \frac{HC}{BC}=\displaystyle \frac{18}{30}=\displaystyle \frac{3}{5}.\)

Для \(\triangle ABC\): \(sin A= \displaystyle \frac{BC}{AC} = cos C = \displaystyle \frac{3}{5}.\)

Для \(\triangle AHB\): \(sin A = \displaystyle \frac{BH}{AB} = \displaystyle \frac{3}{5}, \; \) то \(\displaystyle \frac{24}{AB} = \displaystyle \frac{3}{5}, \; AB = \displaystyle \frac{24\ \cdot 5}{3}=40.\)

Из основного тригонометрического тождества найдем

\(cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.\)

Ответ: \(AB = 40, \; cos A = 0,8.\)

15. Гипотенуза \(AC\) прямоугольного треугольника \(ACE\) равна \(50, \; sin A = \displaystyle \frac{7}{25}.\) Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном \(\triangle ACE \; sin A = \displaystyle \frac{CE}{AC},\)

значит, \(CE=AC\ \cdot sinA=50\ \cdot \displaystyle \frac{7}{25} = 14.\)

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: \(AE= \sqrt{{AC}^2-{CE}^2};\)

\( AE = \sqrt{{50}^2-{14}^2}=\sqrt{(50-14)(50+14)}\ =\sqrt{36\cdot 64}=6\cdot8=48.\)

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \displaystyle \frac{1}{2}ab,\)

поэтому \(S_{ACE}=\ \displaystyle \frac{1}{2}\ AE\cdot CE=\displaystyle \frac{48\cdot 14}{2}=336.\)

Ответ: 336.

16. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) — прямой, \(AB = 13\) и \(BC = 12, \; CK\) — высота. Найдите \(sin \angle ACK.\) Результат округлите до сотых.

Решение:

\(\triangle CAK \sim \triangle BAC \; \) (\(\angle A\) — общий, \(\angle AKC=\angle ACB=90{}^\circ \)),

значит, \(\angle ACK=\angle ABC, \; sin \angle ACK=\displaystyle \frac{AK}{AC}=\displaystyle \frac{AC}{AB}.\)

Найдем \(AC\) по теореме Пифагора из \(\triangle CAB\):

\(AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}= 5.\)

Тогда \(sin \angle ACK=\displaystyle \frac{5}{13}=0,384 ... \approx 0,38.\)

Ответ: 0,38.

17. В треугольнике \(ABC \; AC = BC, \; AB = 72, \; cos A = \displaystyle \frac{12}{13}.\) Найдите высоту \(CH\).

Решение:

Так как \(AC = BC,\) то \(\triangle ABC\) — равнобедренный с основанием \(AB\), тогда высота \(CH\) является медианой, то есть \(AH = HB = \displaystyle \frac{1}{2}AB=36.\)

Поскольку \(\triangle ACH\) — прямоугольный,

\(cos A = \displaystyle \frac{AH}{AC}=\displaystyle \frac{12}{13},\) то есть \(\displaystyle \frac{36}{AC}=\displaystyle \frac{12}{13}\Rightarrow AC = \displaystyle \frac{36\ \cdot 13}{12}=39.\)

По теореме Пифагора \({AH}^2+{CH}^2={AC}^2,\) тогда

\( CH = \sqrt{{AC}^2-{AH}^2}\ = \sqrt{{39}^2-{36}^2}=\sqrt{(39-36)(39+36)}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 25}=15.\)

Ответ: 15.

18. В треугольнике \(ABC\) угол \(AC\) равен \(90{}^\circ, \; sin A = \displaystyle \frac{11}{14}, \; AC= 10\sqrt{3}.\) Найдите \(AB.\)

Решение:

1-й способ.

Поскольку \(sin A =\displaystyle \frac{BC}{AB}=\displaystyle \frac{11}{14},\) то можно обозначить

\(BC = 11x, \; AB = 14x.\)

По теореме Пифагора \(AC^2+{BC}^2={AB}^2;\)

\({(10\sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;\)

\({(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 \cdot 100;\)

\((14x- 11x)(14x + 11x) = 3 \cdot 100;\)

\(3\cdot 25 x^2 = 3 \cdot 100.\)

\(x^2=4, \) учитывая, что длина стороны положительна, \(x = 2,\)

следовательно, \(AB= 14 \cdot 2 = 28.\)

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \({sin}^2A+{cos}^2A=1;\)

\(cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{11}{14}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{196-121}{196}}=\sqrt{\displaystyle \frac{75}{196}}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.\)

По определению \(cos A =\displaystyle \frac{AC}{AB},\) значит, \(\displaystyle \frac{AC}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.\)

Так как \(AC=10\sqrt{3},\) то \(\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{AB}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14},\) откуда \(AB= \displaystyle \frac{10\sqrt{3}\cdot 14}{5\sqrt{3}} = 28.\)

Ответ: 28.

19. Найдите углы ромба \(ABCD\), если его диагонали \(AC\) и \(BD\) равны \(4\sqrt{3}\) и \(4\).

Решение:

Пусть \(\angle BAO =\alpha .\)

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, \(\angle DAO=\angle BAO =\alpha .\)

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике \(ABO\) катет \(AO = \displaystyle \frac{1}{2}AC=2\sqrt{3},\) а катет \(BO = \displaystyle \frac{1}{2}BD=2.\)

Поэтому \(tg\alpha =\displaystyle \frac{BO}{AO}=\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}},\) откуда \(\alpha =30{}^\circ .\)

\(\angle BAD=2\alpha =60{}^\circ , \; \angle ADC=\angle ABC=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ .\)

Ответ: \({60}^\circ, \; {120}^\circ, \; {60}^\circ, \; {120}^\circ .\)

Особенные треугольники

Часто в задачах встречаются треугольники с углами \(90^{\circ}, \, 30^{\circ}\) и \(60^{\circ}\) или с углами \(90^{\circ}, \, 45^{\circ}\) и \(45^{\circ}\). Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами \(90^{\circ},\, 30^{\circ}\) и \(60^{\circ}\) катет, лежащий напротив угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами \(90^{\circ},\, 45^{\circ}\) и \(45^{\circ}\) — равнобедренный. В нем гипотенуза в \(\sqrt{2}\) раз больше катета.

20. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ,\) угол \(A\) равен \(30{}^\circ, \; AB = 2\sqrt{3}.\) Найдите высоту \(CH\).

Решение:

Рассмотрим \(\triangle ABC\):

По свойству катета, лежащего против угла \({30}^\circ,\) имеем \(BC =\displaystyle \frac{1}{2}, \; AB= \sqrt{3}.\)

В \(\triangle BHC\): \(\angle BHC=90{}^\circ ,\; \angle B=60{}^\circ ,\) то \(\angle HCB=30{}^\circ,\) следовательно, \(BH = \displaystyle \frac{1}{2}, \; BC = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

По теореме Пифагора найдем \(HC\):

\(HC = \sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{3-\displaystyle \frac{3}{4}}=\sqrt{2\displaystyle \frac{1}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{9}{4}}=\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.\)

Ответ: 1,5.

22. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90{}^\circ, \; CH\) — высота, \(AB= 2, \; \angle A=30{}^\circ .\) Найдите \(AH\).

Решение:

Из \(\triangle ABC\) найдем \(BC = \displaystyle \frac{1}{2}, \; AB= 1\) (по свойству катета, лежащего против угла \(30{}^\circ\)),

\(\angle A=30{}^\circ ,\) то \(\angle B=60{}^\circ .\)

Из \(\triangle BCH\): \(\angle BHC=90{}^\circ ,\; \angle B=60{}^\circ ,\) то \(\angle HCB=30{}^\circ ,\) следовательно,

\(BH = \displaystyle \frac{1}{2}, \; BC= \displaystyle \frac{1}{2}.\)

\(AH = AB - HB = 2 - \displaystyle \frac{1}{2} = 1,5.\)

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн.