Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

\(sinx=a, \; cosx=a, \; tgx=a, \; ctgx=a.\)

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения \(cosx = a\) и \(sinx = a\)

Напомним, что \(cos x\) — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу \(x\), а \(sin x\) — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения \(cos x=a\) и \(sin x=a\) имеют решения только при условии \(\left| a\right|\leq 1\). Абитуриент, будь внимателен! Уравнения \(sinx=\displaystyle \frac{3}{2}\) или \(cos x=-7\) решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. \(cosx = 1.\)

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой \(1\):

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: \(0, 2\pi , -2\pi , 4\pi , -4\pi , 6\pi , -6\pi ...\) Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов \(2\pi\) (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

\(x=2\pi n, \; n\in Z.\)

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что \(Z\) — это множество целых чисел.

2. \(cosx = -1.\)

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой \(-1\):

Эта точка соответствует углу \(\pi\) и всем углам, отличающихся от \(\pi\) на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

\(x=\pi +2\pi n, \; n\in Z.\)

3. \(sinx = 1.\)

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой \(1\):

И записываем ответ:

\(x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z.\)

4. \(sinx = -1.\)

Обсуждать тут уже нечего, не так ли?

\(x=-\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

\(x=\displaystyle \frac{3\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \(2\pi n\).

5. \(sinx = 0.\)

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой \(0\):

Эти точки соответствуют углам \(0, \pm \pi ,  \pm 2\pi , \pm 3\pi ...\) Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов \(\pi \) (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

\(x=\pi n, \; n\in Z.\)

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

6. \(cosx = 0.\)

Точки с абсциссой \(0\) также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) прибавлением целого числа углов \(\pi \) (полуоборотов):

\(x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \(\pi n\).

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от \(0\) или \(\pm 1\)). Начинаем с косинуса.

7. \(cosx=\displaystyle \frac{1}{2}.\)

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой \(\displaystyle \frac{1}{2}\):

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

\(x_{1}=\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

\(x_{2}=-\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Обе серии решений можно описать одной формулой:

\(x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8. \(cosx=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)

\(x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z.\)

9. \(cosx=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\(x=\pm\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)

10. \(cosx=-\displaystyle \frac{1}{2}.\)

\(x=\pm \displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z.\)

11. \(cosx=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)

\(x=\pm \displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z.\)

12. \(cosx=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\( x=\pm \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13. \( sinx=\displaystyle \frac{1}{2}.\)

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой \(\displaystyle \frac{1}{2}.\)

Углы, отвечающие правой точке:

\(x_{1}=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Углы, отвечающие левой точке:

\(x_{2}=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\)

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\\ \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z.\)

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

\(x=(-1)^{k}\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k, \; k\in Z.\)

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных \(k\).

Если \(k = 2n\), то \(x=(-1)^{2n}\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi \cdot 2n=\frac{\pi }{6}+2\pi n.\)

Мы получили первую серию решений \(x_{1}\). А если \(k\) нечётно, \(k = 2n + 1\), то

\(x= (-1)^{2n+1}\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi (2n+1)= -\frac{\pi }{6}+2\pi n+ \pi =\frac{5\pi }{6}+2\pi n.\)

Это вторая серия \(x_{2}\).

Обратим внимание, что в качестве множителя при \((-1)^{k}\) обычно ставится правая точка, в данном случае \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\).

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14. \(sinx=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,\\\displaystyle  x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z. \)

\(x=\left (-1\right )^{k}\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi k, \; k\in Z.\)

15. \(sinx=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi n, \\\displaystyle  x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z.\)

\(x=(-1)^{k}\displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k, \; k\in Z.\)

16. \(sinx=-\displaystyle \frac{1}{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n, \\\displaystyle  x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z.\)

\(x=(-1)^{k}\left(\displaystyle -\frac{\pi }{6}\right )+\pi k=(-1)^{k+1}\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k, \; k\in Z.\)

17. \(sinx=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n, \\ \displaystyle x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z.\)

\(x=(-1)^{k+1}\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi k, \; k\in Z.\)

18. \(sinx=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n, \\ \displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n,
\end{matrix}\right. \; n\in Z.\)

\(x=(-1)^{k+1}\displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k, \; k\in Z.\)

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная \(AB\) к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников \(OAB\) и \(ONM\) имеем:

\(\displaystyle \frac{AB}{OA}=\frac{MN}{ON}.\)

Но \(OA=1, \; MN=sinx, \; ON=cosx,\) поэтому \(AB=tgx.\)

Мы рассмотрели случай, когда \(x\) находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда \(x\) находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла \(x\) равен ординате точки \(B\), которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой \(OM,\) соединяющей точку \(x\) с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда \(x\) находится во второй четверти. Тангенс угла \(x\) отрицателен.

Уравнение \(tg x = a\)

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение \(tg x = a\) имеет решения при любом \(a\).

19. \(tgx=0.\)

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

\(x=\pi n, \; n\in Z .\)

20. \(tgx\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

\(x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi n, \; n\in Z.\)

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21.  \(tgx=1.\)

\(x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z.\)

22. \(tgx=\sqrt{3}\)

\(x=\displaystyle\frac{\pi }{3}+\pi n, \; n\in Z.\)

23. \(tgx=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}.\)

\(x=-\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi n, \; n\in Z.\)

24. \(tgx=-1. \)

\(x=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z.\)

25. \(tgx=-\sqrt{3}.\)

\(x=-\displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi n, \; n\in Z.\)

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение \(ctg x = a\) нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение \(ctg x = 0\) равносильно уравнению \(cos x = 0\);

• при \(a\neq 0\) уравнение \(ctgx=a\) равносильно уравнению \(tgx=\displaystyle \frac{1}{a}.\)

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях!

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением \(sinx=\displaystyle \frac{1}{3}\)? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.