Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой \alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла \alpha, называется противолежащим (по отношению к углу \alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла \alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin \displaystyle \alpha = \frac{a}{c} sin{}^2 \alpha +cos\displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\cos^2 \alpha} \alpha + \beta = 90 ^{\circ} 
cos \displaystyle \alpha = \frac{b}{c} 1+tg \displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\cos ^2 \alpha} cos\alpha = sin \beta
tg \displaystyle \alpha = \frac{a}{b} 1+ctg \displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\sin ^2 \alpha} sin\alpha = cos\beta
ctg \displaystyle \alpha = \frac{b}{a} tg\alpha = ctg\beta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{\circ}.
  2. С одной стороны, \sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, \cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}, поскольку для угла \beta катет а будет прилежащим. Получаем, что \cos \beta =\sin \alpha. Иными словами, \cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на \cos^2 A: исправить на c^2, получаем \displaystyle \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\left ( \frac{c}{c} \right )^2 , то есть \sin ^2 A+\cos^2 A=1
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на \cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A } Это значит, что если нам дан тангенс острого угла \alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{\circ} до 90^{\circ}.

\varphi 0 \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}
sin\varphi 0 \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 1
cos\varphi 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} 0
tg\varphi 0 \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}} 1 \sqrt{3}
ctg\varphi \sqrt{3} 1 \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому \displaystyle \frac{AB}{A_1 B_1}=\frac{BC}{B_1 C_1}=\frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что \displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, \displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и \displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{\circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, AB=5, \sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}

Отсюда

BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8

Ответ: 4,8

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против \angle C. Значит, sin A \displaystyle = \frac{BC}{AB}= \frac{5}{13.}

Катет, прилежащий к \angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А \displaystyle = \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13)^2-5^2}=\sqrt{144}=12

cos⁡ А \displaystyle = \frac{12}{13}=0,923 ... \approx 0,92 ;

tg A \displaystyle = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}=0,416...\approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ , AC = 2, sin A= \displaystyle \frac{\sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A \displaystyle = \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17}, \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{17}}{17} , \displaystyle c = \frac{17a}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(\sqrt{17} a)^2,

a^2+4=17a^2,

16a^2=4, \displaystyle a= \frac{1}{2}=0,5.

BC = 0,5.

Ответ: 0,5

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ , AC = 4, tg A = \displaystyle \frac{33}{4\sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A \displaystyle = \frac{a}{b}=\frac{33}{4\sqrt{33}},

\displaystyle \frac{a}{4}=\frac{33}{4\sqrt{33}}, \displaystyle a=\frac{4 \cdot 33}{4 \cdot \sqrt{33}}=\sqrt{33}

AB = c = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{33})^2+4^2}=\sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ \circ, CH – высота, AB = 13, tg A = \displaystyle \frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора \triangleABC: a^2+b^2=c^2

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

\displaystyle a=\sqrt{\frac{169}{26}}=\frac{13}{\sqrt{26}}, тогда \displaystyle b = 5a=5\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}=\frac{65}{\sqrt{26}}.

\triangle AHC \approx \triangle ACB (по двум углам), следовательно \displaystyle \frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB} , откуда

\displaystyle AH = \frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}=\left ( \frac{65}{\sqrt{26}}\right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^\circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = \displaystyle \frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6}, тогда \displaystyle \frac{3}{c} = \frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = cos⁡ B = \displaystyle \frac{1}{6} .

Рассмотрим \triangle BHC:

{cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC} = \displaystyle \frac{1}{6}\ , получим \displaystyle \frac{BH}{3}=\displaystyle \frac{1}{6},

тогда BH = \displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{2} = 0,5

AH = AB - BH = 18 - 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, BC = 3, cos A = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для \triangle АВС: cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=\ sin В = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6},

а для \triangle ВНС: sin В = \displaystyle \frac{CH}{BC}\ = \displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6} , откуда СН = \displaystyle \frac{BC \cdot \ \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{3\ \cdot \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = \sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}=

=\sqrt{9-\displaystyle \frac{35}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}}=\displaystyle \frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для \triangle АВС получим

{CH}^2=AH\ \cdot BH, тогда AH=\ \displaystyle \frac{\ {CH}^2}{BH}, \; AH=\ \displaystyle \frac{\ {\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}{0,5}=\displaystyle \frac{35\ \cdot 2}{4}=17,5

Ответ: 17,5

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение: По определению sin A= \displaystyle \frac{a}{c} = \displaystyle \frac{BC}{AB} = {cos B}

Рассмотрим \triangle BHC : {cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC},

ВС найдем по теореме Пифагора

ВС= \sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=\sqrt{7^2+{24}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25,

тогда {cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}=\displaystyle \frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B\ \ }= 0,28

Ответ: 0,28

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение: По определению sin A = \displaystyle \frac{a}{c} = \displaystyle \frac{BC}{AB} = ;\ \ \ cos A = \displaystyle \frac{b}{c} = \displaystyle \frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = \displaystyle \frac{sin\ A}{{cos A\ }}=\displaystyle \frac{cosB}{sinB}=ctgB, который

\ \ \ \ \ найдем из \triangle BHC: ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, BН = 12, tg A = \displaystyle \frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение: По определению tg A= \displaystyle \frac{BC}{AC}=ctgB=\displaystyle \frac{2}{3}

Для \triangle BHC: ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3} , значит \displaystyle \frac{12}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3}, СН = \displaystyle \frac{12\ \cdot 3}{2}=18

Для \triangle АHC: tg A= \displaystyle \frac{CH}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3}, то \displaystyle \frac{18}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3}, AH = \displaystyle \frac{18\ \cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, BН = 12, sin A = \displaystyle \frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение.

Так как cos В = \displaystyle \frac{BC}{AB} = sin A = \displaystyle \frac{2}{3}

Из \triangle СВН имеем cos В = \displaystyle \frac{HB}{BC} = \displaystyle \frac{2}{3}, тогда ВС = \displaystyle \frac{3\ \cdot \ HB}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 12}{2}=18

В \triangle АВС имеем sinA = \displaystyle \frac{BC}{AB} = \displaystyle \frac{2}{3}, тогда AВ = \displaystyle \frac{3 \cdot BC}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из \triangle ВСН:

HB = \sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{(20-12)(20+12)}=

\sqrt{8 \cdot 32}= \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 16}=16

sin В = \displaystyle \frac{CH}{BC} = \displaystyle \frac{12}{20}=\displaystyle \frac{3}{5}.

Для \triangle АВС: cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=sin\ B=\displaystyle \frac{3}{5}, получили cos A = 0,6

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = \displaystyle \frac{AC}{AB}=\displaystyle \frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2=\ {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2=\ {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2=\ {20}^2 ,

{16x}^2=\ {20}^2,

x^2=\ {\left(\displaystyle \frac{20}{4}\right)}^2,
х = 5 ( так как х\textgreater 0). Значит, AC=15,\ \ AB=25.

2-й способ.\

\triangle HBC \approx \triangle CBA (по двум углам), значит \displaystyle \frac{HB}{CB}=\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB} или \displaystyle \frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = \displaystyle \frac{16}{20}=\displaystyle \frac{4}{5}\ , тогда \displaystyle \frac{12}{AC}=\displaystyle \frac{4}{5}, АС = \displaystyle \frac{12 \cdot 5}{4}=15; \displaystyle \frac{20}{AB}=\displaystyle \frac{4}{5}, АВ = \displaystyle \frac{20\ \cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH \cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH\ \cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС

AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{(25-20)(25+20)} = \sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 9}=15

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного \triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = \sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=\sqrt{324+576}= \sqrt{900}=30;\

cos C = \displaystyle \frac{HC}{BC}=\displaystyle \frac{18}{30}=\displaystyle \frac{3}{5}

Для \triangle АВС: sin А = \displaystyle \frac{BC}{AC} = cos C = \displaystyle \frac{3}{5}.

Для \triangle АНВ: sin А = \displaystyle \frac{BH}{AB} = \displaystyle \frac{3}{5}, то \displaystyle \frac{24}{AB} = \displaystyle \frac{3}{5}, АВ = \displaystyle \frac{24\ \cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = \displaystyle \frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном \triangle АСЕ sin А = \displaystyle \frac{CE}{AC},

значит CE=AC\ \cdot sinA=50\ \cdot \displaystyle \frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= \sqrt{{AC}^2-{CE}^2}

AE = \sqrt{{50}^2-{14}^2}=\sqrt{(50-14)(50+14)}\ =\sqrt{36\cdot 64}=6\cdot 8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = \displaystyle \frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}=\ \displaystyle \frac{1}{2}\ AE\cdot CE=\displaystyle \frac{48\cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin \angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

\triangle CAK \approx \triangle BAC ( \angle A-общий, \angle AKC=\angle ACB=90{}^\circ ),

значит \angle ACK=\angle ABC, sin \angle ACK=\displaystyle \frac{AK}{AC}=\displaystyle \frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из \triangle САВ,

AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}= 5,

Тогда sin \angle ACK=\displaystyle \frac{5}{13}=0,384..\approx 0,38

Ответ: 0,38

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = \displaystyle \frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то \triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = \displaystyle \frac{1}{2}AB=36.

Поскольку \triangle АСН — прямоугольный,

cos A = \displaystyle \frac{AH}{AC}= \displaystyle \frac{12}{13}, то есть \displaystyle \frac{36}{AC}= \displaystyle \frac{12}{13} \Rightarrow АС = \displaystyle \frac{36\ \cdot 13}{12}=39

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = \sqrt{{AC}^2-{AH}^2}\ = \sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=\sqrt{(39-36)(39+36)}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 25}=15

Ответ: 15

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, sin A = \displaystyle \frac{11}{14}, AC = 10\sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = \displaystyle \frac{BC}{AB}= \displaystyle \frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2

{(10\sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 \cdot 100

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 \cdot 100

3\cdot 25 x^2 = 3 \cdot 100

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 \cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1,

cos A = \sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{11}{14}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{196-121}{196}}=\sqrt{\displaystyle \frac{75}{196}}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.

По определению cos A =\ \displaystyle \frac{AC}{AB}, значит \displaystyle \frac{AC}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10\sqrt{3}, то \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}, откуда АВ = \displaystyle \frac{10\sqrt{3}\ \cdot 14}{5\sqrt{3}} = 28

Ответ: 28

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4\sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть \angle ВАО = \alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, \angle DAO=\angle BAO = \alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = \displaystyle \frac{1}{2}\ AC=2\sqrt{3},

а катет ВО = \displaystyle \frac{1}{2}BD\ =2. Поэтому tg\alpha =\displaystyle \frac{BO}{AO}=\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}, откуда \alpha =30{}^\circ .

\angle BAD=2\alpha =60{}^\circ , \; \angle ADC=\angle ABC=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ .

Ответ: {60}^\circ, {120}^\circ, {60}^\circ, {120}^\circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} или с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в \sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, угол А равен 30{}^\circ, АВ = 2\sqrt{3}\ .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим \triangle АВС:

по свойству катета, лежащего против угла {30}^\circ, имеем ВС = \displaystyle \frac{1}{2} АВ = \sqrt{3}

В \triangle BHC: \angle BHC=90{}^\circ ,\; \ \angle B=60{}^\circ , то \angle HCB=30{}^\circ , следовательно, ВН = \displaystyle \frac{1}{2} BC = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = \sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{3-\displaystyle \frac{3}{4}}=

=\sqrt{2\displaystyle \frac{1}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{9}{4}}=\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^\circ, CH — высота, АВ = 2, \angle A=30{}^\circ . Найдите АH.

Решение:

Из \triangle АВС найдем ВС = \displaystyle \frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^\circ),

\angle A=30{}^\circ , то \angle B=60{}^\circ .

Из \triangle ВСН: \angle BHC=90{}^\circ ,\ \ \angle B=60{}^\circ , то \angle HCB=30{}^\circ , следовательно,

ВН = \displaystyle \frac{1}{2} ВС =\ \displaystyle \frac{1}{2}

АН = АВ — НВ = 2 - \displaystyle \frac{1}{2}\ = 1,5

Ответ: 1,5

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

 

Поделиться страницей

Это полезно

Что делать, если сын завалил ЕГЭ? Или не поступил в вуз?
Читайте рекомендации от Анны Малковой.
Математика «100 баллов»
Разбор демоверсии ЕГЭ-2023,
математика Профиль