Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается $a$ .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой $\alpha$ .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет $a$ , лежащий напротив угла $\alpha$ , называется противолежащим (по отношению к углу $\alpha$ ). Другой катет $b$ , который лежит на одной из сторон угла $\alpha$ , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $\displaystyle \alpha = \frac{a}{c}$	sin ${}^2 \alpha +$ cos $\displaystyle {}^2 \alpha =1$	$\alpha + \beta = 90 ^{\circ}$
cos $\displaystyle \alpha = \frac{b}{c}$	1+tg $\displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\cos ^2 \alpha}$	cos $\alpha$ = sin $\beta$
tg $\displaystyle \alpha = \frac{a}{b}$	1+ctg $\displaystyle {}^2 \alpha =\frac{1}{\sin ^2 \alpha}$	sin $\alpha$ = cos $\beta$
ctg $\displaystyle \alpha = \frac{b}{a}$		tg $\alpha$ = ctg $\beta$

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{\circ}$ .
С одной стороны, $\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $\cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ , поскольку для угла $\beta$ катет а будет прилежащим. Получаем, что $\cos \beta =\sin \alpha$ . Иными словами, $\cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ . Поделим обе части на $c^2,$ получаем $\displaystyle \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\left ( \frac{c}{c} \right )^2 ,$ то есть $\sin ^2 A+\cos^2 A=1.$
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на $\cos^2 A$ , получим: $1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла $\alpha$ , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ .

$\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$
sin $\varphi$	0	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
cos $\varphi$	$1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	0
tg $\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	−
ctg $\varphi$	−	$\sqrt{3}$	$1$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и $A_1B_1C_1$ — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и $C_1$ и равными острыми углами А и $A_1.$

Треугольники АВС и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $\displaystyle \frac{AB}{A_1 B_1}=\frac{BC}{B_1 C_1}=\frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $\displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin $A_1.$

Аналогично, $\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos $A_1,$ и $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg $A_1.$

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{\circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{\circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB=5$ , $\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$ .

Найдите $AC$ .

Решение:

$\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен $90^\circ ,$ AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против $\angle C.$ Значит, sin A $\displaystyle = \frac{BC}{AB}= \frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к $\angle A$ – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $\displaystyle = \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: $AC^2+BC^2=AB^2.$

Тогда $AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13)^2-5^2}=\sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $\displaystyle = \frac{12}{13}=0,923 ... \approx 0,92 ;$

tg A $\displaystyle = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}=0,416...\approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен $90^\circ ,$ AC = 2, sin A= $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $\displaystyle = \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17},$ $\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{17}}{17} ,$ $\displaystyle c = \frac{17a}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2,$ получим

$a^2+2^2=(\sqrt{17} a)^2;$

$a^2+4=17a^2;$

$16a^2=4,$ $\displaystyle a= \frac{1}{2}=0,5;$

$BC = 0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен $90^\circ ,$ $AC = 4,$ tg A = $\displaystyle \frac{33}{4\sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $\displaystyle = \frac{a}{b}=\frac{33}{4\sqrt{33}},$

$\displaystyle \frac{a}{4}=\frac{33}{4\sqrt{33}},$ $\displaystyle a=\frac{4 \cdot 33}{4 \cdot \sqrt{33}}=\sqrt{33},$

$AB = c = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{33})^2+4^2}=\sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен $90^ \circ,$ CH – высота, AB = 13, tg A = $\displaystyle \frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора $\triangle$ ABC: $a^2+b^2=c^2,$

$a^2+(5a)^2=13^2,$

$26 a^2=169,$

$\displaystyle a=\sqrt{\frac{169}{26}}=\frac{13}{\sqrt{26}},$ тогда $\displaystyle b = 5a=5\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}=\frac{65}{\sqrt{26}}.$

$\triangle AHC \approx \triangle ACB$ (по двум углам), следовательно $\displaystyle \frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB} ,$ откуда

$\displaystyle AH = \frac{AC^2}{AB}=\frac{b^2}{c}=\left ( \frac{65}{\sqrt{26}}\right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен $90^\circ,$

CH – высота, BC = 3, sin A = $\displaystyle \frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6},$ тогда $\displaystyle \frac{3}{c} = \frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $\displaystyle \frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $\displaystyle \frac{1}{6} .$

Рассмотрим $\triangle$ BHC:

${cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}$ = $\displaystyle \frac{1}{6}\ ,$ получим $\displaystyle \frac{BH}{3}=\displaystyle \frac{1}{6},$

тогда BH = $\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB - BH = 18 - 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для $\triangle$ АВС: $cos$ A = $\displaystyle \frac{AC}{AB}=\$ sin В = $\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6},$

а для $\triangle$ ВНС: sin В = $\displaystyle \frac{CH}{BC}\$ = $\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $\displaystyle \frac{BC \cdot \ \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{3\ \cdot \sqrt{35}}{6}=\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = \sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}=$

$=\sqrt{9-\displaystyle \frac{35}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}}=\displaystyle \frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для $\triangle$ АВС получим:

${CH}^2=AH\ \cdot BH,$ тогда $AH=\ \displaystyle \frac{\ {CH}^2}{BH}, \; AH=\ \displaystyle \frac{\ {\left(\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}\right)}^2}{0,5}=\displaystyle \frac{35\ \cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $\displaystyle \frac{a}{c}$ = $\displaystyle \frac{BC}{AB}$ = ${cos B}.$

Рассмотрим $\triangle$ BHC : ${cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $\sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=\sqrt{7^2+{24}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B=\ \ }\displaystyle \frac{BH}{BC}=\displaystyle \frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = ${cos B\ \ }$ = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $\displaystyle \frac{a}{c}$ = $\displaystyle \frac{BC}{AB}$ = $;\ \ \$ cos A = $\displaystyle \frac{b}{c}$ = $\displaystyle \frac{AC}{AB}$ = ${sin B },$

тогда tg A = $\displaystyle \frac{sin\ A}{{cos A\ }}=\displaystyle \frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из $\triangle$ BHC:

$ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $\displaystyle \frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $\displaystyle \frac{BC}{AC}=ctgB=\displaystyle \frac{2}{3}.$

Для $\triangle$ BHC: $ctgB=\displaystyle \frac{BH}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3}$ , значит $\displaystyle \frac{12}{CH}=\displaystyle \frac{2}{3},$ СН = $\displaystyle \frac{12\ \cdot 3}{2}=18.$

Для $\triangle$ АHC: tg A= $\displaystyle \frac{CH}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3},$ то $\displaystyle \frac{18}{AH}=\displaystyle \frac{2}{3},$ AH = $\displaystyle \frac{18\ \cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $\displaystyle \frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $\displaystyle \frac{BC}{AB}$ = sin A = $\displaystyle \frac{2}{3}.$

Из $\triangle$ СВН имеем cos В = $\displaystyle \frac{HB}{BC}$ = $\displaystyle \frac{2}{3},$ тогда ВС = $\displaystyle \frac{3\ \cdot \ HB}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 12}{2}=18.$

В $\triangle$ АВС имеем sinA = $\displaystyle \frac{BC}{AB}$ = $\displaystyle \frac{2}{3},$ тогда AВ = $\displaystyle \frac{3 \cdot BC}{2}=\displaystyle \frac{3 \cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из $\triangle$ ВСН:

$HB = \sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{(20-12)(20+12)}=$

$\sqrt{8 \cdot 32}= \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 16}=16.$

sin В = $\displaystyle \frac{CH}{BC}$ = $\displaystyle \frac{12}{20}=\displaystyle \frac{3}{5}.$

Для $\triangle$ АВС: cos A = $\displaystyle \frac{AC}{AB}=sin\ B=\displaystyle \frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $\displaystyle \frac{AC}{AB}=\displaystyle \frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2=\ {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2=\ {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2=\ {20}^2 ,$

${16x}^2=\ {20}^2,$

$x^2=\ {\left(\displaystyle \frac{20}{4}\right)}^2,$
х = 5 ( так как х $\textgreater$ 0). Значит, $AC=15,\ \ AB=25.$

2-й способ. $\$

$\triangle HBC \approx \triangle CBA$ (по двум углам), значит $\displaystyle \frac{HB}{CB}=\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}$ или $\displaystyle \frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $\displaystyle \frac{16}{20}=\displaystyle \frac{4}{5}\ ,$ тогда $\displaystyle \frac{12}{AC}=\displaystyle \frac{4}{5},$ АС = $\displaystyle \frac{12 \cdot 5}{4}=15$ ; $\displaystyle \frac{20}{AB}=\displaystyle \frac{4}{5},$ АВ = $\displaystyle \frac{20\ \cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH \cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH\ \cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{(25-20)(25+20)}$ = $\sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 9}=15.$

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного $\triangle$ ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $\sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=\sqrt{324+576}$ = $\sqrt{900}=30;\$

cos C = $\displaystyle \frac{HC}{BC}=\displaystyle \frac{18}{30}=\displaystyle \frac{3}{5}.$

Для $\triangle$ АВС: sin А = $\displaystyle \frac{BC}{AC}$ = cos C = $\displaystyle \frac{3}{5}.$

Для $\triangle$ АНВ: sin А = $\displaystyle \frac{BH}{AB}$ = $\displaystyle \frac{3}{5},$ то $\displaystyle \frac{24}{AB}$ = $\displaystyle \frac{3}{5},$ АВ = $\displaystyle \frac{24\ \cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $\sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $\displaystyle \frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном $\triangle$ АСЕ sin А = $\displaystyle \frac{CE}{AC},$

значит $CE=AC\ \cdot sinA=50\ \cdot$ $\displaystyle \frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= \sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = \sqrt{{50}^2-{14}^2}=\sqrt{(50-14)(50+14)}\ =\sqrt{36\cdot 64}=6\cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $\displaystyle \frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}=\ \displaystyle \frac{1}{2}\ AE\cdot CE=\displaystyle \frac{48\cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin $\angle ACK.$ Результат округлите до сотых.

Решение:

$\triangle CAK \approx \triangle BAC ( \angle$ A-общий, $\angle AKC=\angle ACB=90{}^\circ$ ),

значит $\angle ACK=\angle ABC,$ sin $\angle ACK=\displaystyle \frac{AK}{AC}=\displaystyle \frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из $\triangle$ САВ:

$AC = \sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

$=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}= 5.$

Тогда sin $\angle ACK=\displaystyle \frac{5}{13}=0,384..\approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $\displaystyle \frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то $\triangle$ АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $\displaystyle \frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку $\triangle$ АСН — прямоугольный,

cos A = $\displaystyle \frac{AH}{AC}=$ $\displaystyle \frac{12}{13},$ то есть $\displaystyle \frac{36}{AC}=$ $\displaystyle \frac{12}{13}$ $\Rightarrow$ АС = $\displaystyle \frac{36\ \cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = \sqrt{{AC}^2-{AH}^2}\ = \sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

$=\sqrt{(39-36)(39+36)}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 25}=15.$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ sin A = $\displaystyle \frac{11}{14},$ AC = 10 $\sqrt{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $\displaystyle \frac{BC}{AB}=$ $\displaystyle \frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10\sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 \cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 $\cdot$ 100;

$3\cdot 25 x^2 = 3 \cdot 100.$

$x^2=4,$ учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 $\cdot$ 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $\sqrt{1-{sin}^2A}=\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{11}{14}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{196-121}{196}}=\sqrt{\displaystyle \frac{75}{196}}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $\ \displaystyle \frac{AC}{AB},$ значит $\displaystyle \frac{AC}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 $\sqrt{3},$ то $\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{AB}=\ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $\displaystyle \frac{10\sqrt{3}\ \cdot 14}{5\sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 $\sqrt{3}$ и 4.

Решение:

Пусть $\angle$ ВАО = $\alpha .$

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, $\angle DAO=\angle BAO$ = $\alpha .$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $\displaystyle \frac{1}{2}\ AC=2\sqrt{3},$ а катет ВО = $\displaystyle \frac{1}{2}BD\ =2.$

Поэтому tg $\alpha =\displaystyle \frac{BO}{AO}=\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}},$ откуда $\alpha =30{}^\circ .$

$\angle BAD=2\alpha =60{}^\circ , \; \angle ADC=\angle ABC=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ .$

Ответ: ${60}^\circ,$ ${120}^\circ,$ ${60}^\circ,$ ${120}^\circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ или с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в $\sqrt{2}$ раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ угол А равен 30 ${}^\circ,$ АВ = 2 $\sqrt{3}\ .$

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим $\triangle$ АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^\circ,$ имеем ВС = $\displaystyle \frac{1}{2}$ АВ = $\sqrt{3}.$

В $\triangle$ BHC: $\angle BHC=90{}^\circ ,\; \ \angle B=60{}^\circ ,$ то $\angle HCB=30{}^\circ ,$ следовательно, ВН = $\displaystyle \frac{1}{2}$ BC = $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = \sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{3-\displaystyle \frac{3}{4}}=$

$=\sqrt{2\displaystyle \frac{1}{4}}=\sqrt{\displaystyle \frac{9}{4}}=\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^\circ,$ CH — высота, АВ = 2, $\angle A=30{}^\circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из $\triangle$ АВС найдем ВС = $\displaystyle \frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^\circ$ ),

$\angle A=30{}^\circ ,$ то $\angle B=60{}^\circ .$

Из $\triangle$ ВСН: $\angle BHC=90{}^\circ ,\ \ \angle B=60{}^\circ ,$ то $\angle HCB=30{}^\circ ,$ следовательно,

ВН = $\displaystyle \frac{1}{2}$ ВС = $\ \displaystyle \frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 - $\displaystyle \frac{1}{2}\$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Это полезно