Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

1. Объем параллелепипеда равен $9$ . Найдите объем треугольной пирамиды $AB\mkern -3muD\mkern -3muA_1$ .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен $S_{OCH} \cdot h$ . А объем пирамиды равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S_{OCH} \cdot h$ . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: $1,5$ .

2. Объем куба равен $12$ . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в $3$ раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в $6$ раз меньше, чем у куба.

Ответ: $2$ .

3. Радиусы трех шаров равны $6$ , $8$ и $10$ . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi R^3$ . Осталось решить уравнение:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 6^3+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 8^3+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 10^3=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi R^3;$

$6^3+8^3+10^3=R^3;$

$R^3=1728.$

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

$1728=8 \cdot 216=2^3 \cdot 6^3;$

$R=2 \cdot 6 = 12.$

Ответ: $12$ .

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $2$ , а объем равен $\sqrt{3}$ .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны $60^{\circ}$ и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}a^2 \sin 60^{\circ}$ . Она равна $\sqrt{3}$ . Поскольку $V=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}Sh$ , высота равна $3$ .

5. Найдите объем $V$ конуса, образующая которого равна $2$ и наклонена к плоскости основания под углом $30$ градусов. В ответе укажите $V$ .

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол $O\mkern -3muAS$ .

Из прямоугольного треугольника $AO\mkern -3muS$ находим, что $O\mkern -3muS=h=1, AO=R=\sqrt{3}$ . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на $\pi$ .
Ответ: $1$ .

6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами $2$ , а боковые ребра равны $2\sqrt{3}$ и наклонены к плоскости основания под углом $30$ градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на $6$ одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
$S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}a^2 \sin 60^{\circ}.$

Итак, площадь основания равна $6\sqrt{3}$ . Осталось найти высоту.

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
$h=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}AC=\sqrt{3}.$

Ответ: $18$ .

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $\sqrt{2}$ и образует углы $30$ , $30$ и $45$ градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали $B\mkern -3muD_1$ на нижнее основание будет отрезок $B\mkern -3muD$ . Пусть диагональ образует угол $45$ градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B\mkern -3muD \mkern -3muD_1$ . По теореме Пифагора, $B\mkern -3muD=B\mkern -3muD_1 \cdot \sin 45^{\circ}=1$ . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией $B\mkern -3muD_1$ на переднюю грань будет отрезок $A_1B$ .
Из прямоугольного треугольника $A_1B\mkern -3muD_1$ найдем $A_1\mkern -3muD_1=B\mkern -3muD_1 \cdot \sin 30^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}$ . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок $C_1\mkern -3muD_1$ ) находится аналогично. Она тоже равна $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}$ . Объем параллелепипеда равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ .

Ответ: $0,5$ .

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно $3$ . Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что $ABC$ — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S_{OCH}h$ . В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна $4,5$ . Тогда объем пирамиды равен $4,5$ .

Ответ: $4,5$ .

9.
Объем треугольной пирамиды $S\mkern -2muABC$ , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $S\mkern -2muABC\mkern -3muD\mkern -2muE\mkern -2muF$ , равен $1$ . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в $6$ раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: $6$ .

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты :-)

10. Середина ребра куба со стороной $1,9$ является центром шара радиуса $0,95$ . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $S$ .

Обратите внимание, что $0,95 \cdot 2=1,9$ . Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: $0,9025$ .

11. Вершина $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $1,6$ является центром сферы, проходящей через точку $A_1$ . Найдите площадь $S$ части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину $S$ .

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: $1,28$ .

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

12. Объем треугольной пирамиды равен $15$ . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении $1:2$ , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении $1:2$ , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых $x$ и $2x$ .

Плоскость $AB\mkern -2muM$ делит пирамиду $ABC\mkern -2muS$ на две. У пирамид $ABC\mkern -2muM$ и $ABCS$ общее основание $ABC$ . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры $SO$ и $M\mkern -3muH$ к плоскости основания пирамиды. $SO$ — высота пирамиды $ABCS$ , $M\mkern -3muH$ — высота пирамиды $ABC\mkern -2muM$ . Очевидно, что отрезок $SO$ параллелен отрезку $M\mkern -3muH$ , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки $M, S, C, O$ и $H$ лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники $SOC$ и $M\mkern -3muH\mkern -3muC$ подобны, $MC:SC=M\mkern -3muH:SO=2:3$ .

Значит, $M\mkern -3muH=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}SO$ . Объем пирамиды $ABC\mkern -2muM$ равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ объема пирамиды $ABC\mkern -2muS$ .

Ответ: $10$ .

13.
Ребра тетраэдра равны $1$ . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок $K\mkern -3muL$ параллелен $BS$ поскольку является средней линией треугольника $AS\mkern -3muB$ . И отрезок $M\mkern -3muN$ тоже параллелен $BS$ , потому что является средней линией треугольника $BSC$ . Значит, $K\mkern -3muL$ параллелен $M\mkern -3muN$ . Аналогично $LM$ параллелен $K\mkern -3muN$ . Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, $K\mkern -3muL\mkern -3muM\mkern -3muN$ — ромб, все стороны которого равны $0,5$ . Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка $S$ ) проецируется в центр основания (точка $O$ ). В основании — правильный треугольник. Значит, точка $O$ будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда $O\mkern -3muB$ перпендикулярен $AC$ .

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. $O\mkern -3muB$ является проекцией $S\mkern -2muB$ на плоскость основания, следовательно, отрезок $S\mkern -2muB$ тоже перпендикулярен $AC$ . И тогда $K\mkern -3muL\mkern -3muM\mkern -3muN$ — квадрат. Его площадь равна $0,25$ .

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

14.
Объем тетраэдра равен $1,9$ . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче $B6$ мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной $5$ , в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в $8$ раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: $V-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 8}V=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}V$ .

Ответ: $0,95$ .

15.
Объем параллелепипеда равен $4,5$ . Найдите объем треугольной пирамиды $AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1$ .

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен $4,5$ , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их $a, b$ и $c$ . Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды $AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1$ . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида $AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1$ получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — $ABC\mkern -2muB_1$ , $D_1B_1CC_1$ , $AA_1D_1B_1$ и $ADC\mkern -2muD_1$ . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды $ABC\mkern -2muB_1$ равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$ объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды $AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1$ равен $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$ объема параллелепипеда.

Ответ: $1,5$ .

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче $11$ :

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 04.09.2023

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Это полезно