Slider

Задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ по математике. Приемы и секреты

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.


Рисунок к задаче 11. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды AB\mkern -3muD\mkern -3muA_1.

Мы помним, что объем параллелепипеда равен S_{OCH} \cdot h. А объем пирамиды равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S_{OCH} \cdot h. Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.


Рисунок к задаче 22. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба.

Ответ: 2.


3. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi R^3. Осталось решить уравнение:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 6^3+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 8^3+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi 10^3=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} \pi R^3

6^3+8^3+10^3=R^3

R^3=1728

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

1728=8 \cdot 216=2^3 \cdot 6^3

R=2 \cdot 6 = 12

Ответ: 12.


Рисунок к задаче 44. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен \sqrt{3}.

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60^{\circ} и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}a^2 \sin 60^{\circ}. Она равна \sqrt{3}. Поскольку V=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}Sh,
высота равна 3.


5.Рисунок к задаче 5 Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол O\mkern -3muAS.

Из прямоугольного треугольника AO\mkern -3muS находим, что O\mkern -3muS=h=1, AO=R=\sqrt{3}. Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на \pi.
Ответ: 1.


6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2\sqrt{3} и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.


Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.



Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
S=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}a^2 \sin 60^{\circ}.

Итак, площадь основания равна 6\sqrt{3}. Осталось найти высоту.


Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
h=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}AC=\sqrt{3}.

Ответ: 18.


7.Рисунок к задаче 7 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \sqrt{2} и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Рисунок к задаче 7

Проекцией диагонали B\mkern -3muD_1 на нижнее основание будет отрезок B\mkern -3muD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник B\mkern -3muD \mkern -3muD_1. По теореме Пифагора, B\mkern -3muD=B\mkern -3muD_1 \cdot \sin 45^{\circ}=1. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией B\mkern -3muD_1 на переднюю грань будет отрезок A_1B.
Из прямоугольного треугольника A_1B\mkern -3muD_1 найдем A_1\mkern -3muD_1=B\mkern -3muD_1 \cdot \sin 30^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}. Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C_1\mkern -3muD_1) находится аналогично. Она тоже равна \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}. Объем параллелепипеда равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}.

Ответ: 0,5.


8.

Рисунок к задаче 8
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что ABC — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S_{OCH}h. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.

Ответ: 4,5.


9.Рисунок к задаче 9 Объем треугольной пирамиды S\mkern -2muABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды S\mkern -2muABC\mkern -3muD\mkern -2muE\mkern -2muF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: 6.

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты :-)


10. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S.

Обратите внимание, что 0,95 \cdot 2=1,9. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025.


11. Вершина A куба ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A_1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S.

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28.

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.


12. Рисунок  к задаче 12Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1:2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых x и 2x.

Плоскость AB\mkern -2muM делит пирамиду ABC\mkern -2muS на две. У пирамид ABC\mkern -2muM и ABC\mkern -2muS общее основание ABC. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и M\mkern -3muH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды ABC\mkern -2muS, M\mkern -3muH — высота пирамиды ABC\mkern -2muM. Очевидно, что отрезок SO параллелен отрезку M\mkern -3muH, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки M, S, C, O и H лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и M\mkern -3muH\mkern -3muC подобны, MC:SC=M\mkern -3muH:SO=2:3.

Значит, M\mkern -3muH=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}SO. Объем пирамиды ABC\mkern -2muM равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} объема пирамиды ABC\mkern -2muS.

Ответ: 10.


13.Рисунок  к задаче 13 Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок K\mkern -3muL параллелен BS (поскольку является средней линией треугольника AS\mkern -3muB. И отрезок M\mkern -3muN тоже параллелен BS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, K\mkern -3muL параллелен M\mkern -3muN. Аналогично LM параллелен K\mkern -3muN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, K\mkern -3muL\mkern -3muM\mkern -3muN — ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка O). В основании — правильный треугольник. Значит, точка O будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда O\mkern -3muB перпендикулярен AC.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. O\mkern -3muB является проекцией S\mkern -2muB на плоскость основания, следовательно, отрезок S\mkern -2muB тоже перпендикулярен AC. И тогда K\mkern -3muL\mkern -3muM\mkern -3muN — квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.


14.Рисунок  к задаче 14 Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче B6 мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной 5, в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в 8 раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: V-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 8}V=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}V.

Ответ: 0,95.


15.Рисунок  к задаче 15 Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1.

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5, но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1. Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABC\mkern -2muB_1, D_1B_1CC_1, AA_1D_1B_1 и ADC\mkern -2muD_1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды ABC\mkern -2muB_1 равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды AD_1\mkern -2muC\mkern -2muB_1 равен \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче 11:


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.