Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

$2x+3x=85$ и найдем $x=17$ .

Тогда $3x=51$ .

Ответ: 51.

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен $98^{\circ}$ , а два других равны $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 180-98}{\displaystyle 2}=41^{\circ}$ .

Ответ: 41.

3. На рисунке угол $1$ равен $46^{\circ}$ , угол $2$ равен $30^{\circ}$ , угол $3$ равен $44^{\circ}$ . Найдите угол $4$ . Ответ дайте в градусах.

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол $5$ .

Он равен $180^{\circ}-\angle 1-\angle 3 = 90^{\circ}$

Тогда $\angle 6= 90^{\circ}$

$\angle 7=180^{\circ}-\angle 2-\angle 6=60^{\circ}$ ,

Угол $4$ , смежный с углом $7$ равен $120^{\circ}$ .

Ответ: $120^{\circ}$ .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

4. Углы треугольника относятся как $2:3:4$ . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны $2x$ , $3x$ и $4x$ . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

$2x+3x+4x=180^{\circ}$

$9x=180^{\circ}$

$x=20^{\circ}$

Тогда $2x=40^{\circ}$ .

Ответ: $40$ .

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол $1$ равен углу $A$ (они накрест лежащие). Угол $2$ равен углу $C$ (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен $180^{\circ}$ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Сумма углов треугольника

Это полезно