Сумма углов треугольника равна 180 градусам
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Доказательство теоремы:
Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.
Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.
Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.
A развернутый угол равен
. Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.
Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.
Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника
Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.
Получим уравнение:
и найдем x = 17.
Тогда
.
Ответ: 51.
Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.
Задача 2.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?
Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен
, а два других равны
.
Ответ: 41.
Задача 3.
На рисунке угол 1 равен
, угол 2 равен
, угол 3 равен
. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5.
Он равен 
Тогда 

Угол 4, смежный с углом 7 равен 
Ответ: 
Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.
Задача 4.
Углы треугольника относятся как
. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.



Тогда 
Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.
Ответ: 40.
Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен
, угол ABC равен
. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:
ALC — внешний угол
и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит,
.
AL — биссектриса
, а это значит, что
.
По теореме о сумме углов треугольника получаем:

Ответ: 125.
Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD,
B=61
D=151
Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов

Тогда
, по теореме о сумме углов треугольника.
Ответ: 74.
Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен
. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:
AC и BD — диаметры окружности. Значит,
— равнобедренный, в нем
— как радиусы.
как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:
.
Ответ: 28.
Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен
, угол CAD равен
. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:
AD — биссектриса, отсюда следует, что
.
Тогда по теореме о сумме углов треугольника
.
Ответ: 66.
Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен
, угол B равен
. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:
В треугольнике ABC угол C равен
, угол B равен
, тогда угол A равен
.
CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит,
.
Поэтому треугольник ADC равнобедренный и
.
Ответ: 55.
Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен
, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:
В треугольнике ABC угол C равен
, отсюда по теореме о сумме углов треугольника
.
Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

Ответ: 119.
Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен
, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:
BD - высота
тогда
— прямоугольный,

CE — высота
тогда
— прямоугольный и
.
Углы
и
— смежные, поэтому
.
Ответ: 124.
Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен
. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по
. Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть
.

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть 
Ответ: 31.
Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны
и
. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть
и
. Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть
.
у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы
и
Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.
Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: 
Ответ: 78.
Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.
Задача 13. В треугольнике два угла равны
и
. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Сумма углов в треугольнике равна
, поэтому
третий угол равен
.
Ответ: 37.
Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34
. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
. Поэтому второй острый угол равен:
.
Ответ: 56.
Задача 15.
В треугольнике ABC известно, что AB=BC,
. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:
В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,
т.е.
.
Ответ: 36.
Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH,
. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:
BH — высота
, тогда
— прямоугольный, в нем
и
Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:

Ответ: 53.
Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна
.
Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен:
.
Ответ: 47.
Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и
. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:
— равнобедренный,
.
— вписанный угол и опирается на дугу BC, а
— центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу,
.
Ответ: 155.
Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и
ABC=123
. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:
— равнобедренный треугольник, отсюда
.
— вписанный угол, он опирается на дугу BC, а
— центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит,
.
Ответ: 57.
Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен
. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:
AC и BD — диаметры, отсюда следует, что
— равнобедренный,
— радиусы.
как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике
.
Ответ: 33.
Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен
. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен
, и треугольник ABC - прямоугольный. И если
, то второй острый угол этого треугольника равен: 
Ответ: 15.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
04.09.2023