Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Сумма углов треугольника

Доказательство теоремы:

Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.

Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.

Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.

A развернутый угол равен 180{}^\circ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Сумма углов треугольника

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.

Получим уравнение:

2x+3x=85 и найдем x = 17.

Тогда 3x=51.

Ответ: 51.

Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.

Задача 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен 98^{\circ}, а два других равны \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 180-98}{\displaystyle 2}=41^{\circ}.

Ответ: 41.

Задача 3.

На рисунке угол 1 равен 46^{\circ}, угол 2 равен 30^{\circ}, угол 3 равен 44^{\circ}. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Рисунок 1

Решение:

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Рисунок 2

Сначала найдем угол 5.

Он равен 180^{\circ}-\angle 1-\angle 3 = 90^{\circ}.

Тогда \angle 6= 90^{\circ}.

\angle 7=180^{\circ}-\angle 2-\angle 6=60^{\circ}.

Угол 4, смежный с углом 7 равен 120^{\circ}.

Ответ: 120^{\circ}.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Задача 4.

Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

2x+3x+4x=180^{\circ};

9x=180^{\circ};

x=20^{\circ};

Тогда 2x=40^{\circ}.

Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.

Ответ: 40.

Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен {48}^\circ, угол ABC равен {41}^\circ. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\angle ALC — внешний угол \triangle ABL, и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, \angle BAL=\angle ALC-\angle ABL=48{}^\circ -41{}^\circ =7{}^\circ .

AL — биссектриса \angle \ BAC, а это значит, что \angle \ BAC=2\ \angle BAL=2\cdot 7{}^\circ =14{}^\circ .

По теореме о сумме углов треугольника получаем:
\angle ACB=180{}^\circ -41{}^\circ -14{}^\circ =125{}^\circ .
Ответ: 125.

Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, \angle B=61{}^\circ , \angle D=151{}^\circ . Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов
\angle DBA+\angle BDA=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\angle B+\angle D\right)=\displaystyle \frac{1}{2}\left(61+151\right)=106{}^\circ .
Тогда \angle A=180{}^\circ -106=74{}^\circ , по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: 74.

Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен {124}^\circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Значит, \triangle BOC — равнобедренный, в нем BO=OC — как радиусы.

\angle AOD=\angle BOC=124{}^\circ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:

\angle OCB=\displaystyle \frac{180{}^\circ -124{}^\circ }{2}=28{}^\circ .

Ответ: 28.

Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен {104}^\circ, угол CAD равен {5}^\circ. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD — биссектриса, отсюда следует, что \angle CAD=\angle DAB=5{}^\circ \Rightarrow \angle CAB=10{}^\circ .

Тогда по теореме о сумме углов треугольника \angle B=180{}^\circ -104{}^\circ -10{}^\circ =66{}^\circ .

Ответ: 66.

Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен {90}^\circ, угол B равен {35}^\circ. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен {90}^\circ, угол B равен {35}^\circ, тогда угол A равен 90{}^\circ -35{}^\circ =55{}^\circ .

CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит, CD=AD=DB.

Поэтому треугольник ADC равнобедренный и \angle A=\angle ACD=55{}^\circ .

Ответ: 55.

Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен {58}^\circ, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен {58}^\circ, отсюда по теореме о сумме углов треугольника \angle A+\angle B=180{}^\circ -58{}^\circ =122{}^\circ .

Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

\angle AOB=180{}^\circ -\displaystyle \frac{1}{2}\left(\angle A+\angle B\right)=180{}^\circ -61{}^\circ =119{}^\circ .

Ответ: 119.

Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен {56}^\circ, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BD - высота \triangle ABC, тогда \triangle ABD — прямоугольный,

\angle ABD=90{}^\circ -56{}^\circ =34{}^\circ .

CE — высота \triangle ABC, тогда \triangle BOE\ — прямоугольный и \angle BOE=90{}^\circ -34{}^\circ =56{}^\circ .

Углы \angle BOE и \angle EOD\ — смежные, поэтому \angle EOD=180{}^\circ -56{}^\circ =124{}^\circ .

Ответ: 124.

Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен {14}^\circ. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по 45{}^\circ . Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть 45{}^\circ -14{}^\circ =31{}^\circ .

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть 31{}^\circ .

Ответ: 31.

Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны {84}^\circ и {6}^\circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть \angle A=6{}^\circ \ и \angle B=84{}^\circ . Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть {6}^\circ.

у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы

{84}^\circ и

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.

Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: 90{}^\circ -\angle ACM- \angle BCH=90{}^\circ -6{}^\circ -6{}^\circ =78{}^\circ .\ \ \ \

Ответ: 78.

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Задача 13. В треугольнике два угла равны {57}^\circ и {86}^\circ. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180{}^\circ , поэтому

третий угол равен 180{}^\circ -57{}^\circ -86{}^\circ =37{}^\circ .

Ответ: 37.

Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34{}^\circ. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90{}^\circ . Поэтому второй острый угол равен: 90{}^\circ -34{}^\circ =56{}^\circ .

Ответ: 56.

Задача 15.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, \angle ABC=108{}^\circ. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,

т.е. \angle A=\angle C=\displaystyle \frac{180{}^\circ -108{}^\circ }{2}=36{}^\circ .

Ответ: 36.

Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, \angle BAC=37{}^\circ. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BH — высота \triangle ABC, тогда \triangle ABH — прямоугольный, в нем \angle AHB=90{}^\circ \ и \ \angle BAC=37{}^\circ . Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:
\angle ABH=180{}^\circ -\angle AHB-\angle AHB=180{}^\circ -90{}^\circ -37{}^\circ =53{}^\circ .
Ответ: 53.

Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен {133}^\circ. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна 180{}^\circ .

Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен: 180{}^\circ -133{}^\circ =47{}^\circ .

Ответ: 47.

Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и \angle ABC=25{}^\circ. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\triangle ABC — равнобедренный, \angle A=\angle C=\displaystyle \frac{180{}^\circ -25{}^\circ }{2}=\displaystyle \frac{155{}^\circ }{2}.

\angle BAC\ — вписанный угол и опирается на дугу BC, а \angle BOC\ — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу, \angle BOC=2\angle BAC=155{}^\circ .

Ответ: 155.

Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и \angle ABC=123{}^\circ. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\triangle ABC — равнобедренный треугольник, отсюда \angle BAC=\angle ACB.

\angle BAC — вписанный угол, он опирается на дугу BC, а \angle BOC\ — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит, \angle BOC=2\angle BAC=180{}^\circ -123{}^\circ =57{}^\circ .

Ответ: 57.

Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен {114}^\circ. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры, отсюда следует, что \triangle BOC — равнобедренный, BO=OC — радиусы.

\angle AOD=\angle BOC=114{}^\circ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике \angle OCB=\displaystyle \frac{180{}^\circ -114{}^\circ }{2}=33{}^\circ .

Ответ: 33.

Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен {75}^\circ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90{}^\circ , и треугольник ABC - прямоугольный. И если \angle BAC=75{}^\circ , то второй острый угол этого треугольника равен: 90{}^\circ -75{}^\circ =15{}^\circ

Ответ: 15.

 

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!