Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника

Доказательство теоремы:

Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.

Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.

Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.

A развернутый угол равен $180{}^\circ$ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.

Получим уравнение:

$2x+3x=85$ и найдем x = 17.

Тогда $3x=51$ .

Ответ: 51.

Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.

Задача 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен $98^{\circ}$ , а два других равны $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 180-98}{\displaystyle 2}=41^{\circ}$ .

Ответ: 41.

Задача 3.

На рисунке угол 1 равен $46^{\circ}$ , угол 2 равен $30^{\circ}$ , угол 3 равен $44^{\circ}$ . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5.

Он равен $180^{\circ}-\angle 1-\angle 3 = 90^{\circ}.$

Тогда $\angle 6= 90^{\circ}.$

$\angle 7=180^{\circ}-\angle 2-\angle 6=60^{\circ}.$

Угол 4, смежный с углом 7 равен $120^{\circ}.$

Ответ: $120^{\circ}.$

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Задача 4.

Углы треугольника относятся как $2:3:4$ . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

$2x+3x+4x=180^{\circ};$

$9x=180^{\circ};$

$x=20^{\circ};$

Тогда $2x=40^{\circ}.$

Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.

Ответ: 40.

Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен ${48}^\circ$ , угол ABC равен ${41}^\circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\angle$ ALC — внешний угол $\triangle ABL,$ и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, $\angle BAL=\angle ALC-\angle ABL=48{}^\circ -41{}^\circ =7{}^\circ$ .

AL — биссектриса $\angle \ BAC$ , а это значит, что $\angle \ BAC=2\ \angle BAL=2\cdot 7{}^\circ =14{}^\circ$ .

По теореме о сумме углов треугольника получаем:
$\angle ACB=180{}^\circ -41{}^\circ -14{}^\circ =125{}^\circ .$
Ответ: 125.

Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, $\angle$ B=61 ${}^\circ ,$ $\angle$ D=151 ${}^\circ .$ Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов
$\angle DBA+\angle BDA=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\angle B+\angle D\right)=\displaystyle \frac{1}{2}\left(61+151\right)=106{}^\circ .$
Тогда $\angle A=180{}^\circ -106=74{}^\circ$ , по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: 74.

Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен ${124}^\circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Значит, $\triangle BOC$ — равнобедренный, в нем $BO=OC$ — как радиусы.

$\angle AOD=\angle BOC=124{}^\circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:

$\angle OCB=\displaystyle \frac{180{}^\circ -124{}^\circ }{2}=28{}^\circ$ .

Ответ: 28.

Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен ${104}^\circ$ , угол CAD равен ${5}^\circ$ . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD — биссектриса, отсюда следует, что $\angle CAD=\angle DAB=5{}^\circ \Rightarrow \angle CAB=10{}^\circ$ .

Тогда по теореме о сумме углов треугольника $\angle B=180{}^\circ -104{}^\circ -10{}^\circ =66{}^\circ$ .

Ответ: 66.

Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен ${90}^\circ$ , угол B равен ${35}^\circ$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${90}^\circ$ , угол B равен ${35}^\circ$ , тогда угол A равен $90{}^\circ -35{}^\circ =55{}^\circ$ .

CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит, $CD=AD=DB$ .

Поэтому треугольник ADC равнобедренный и $\angle A=\angle ACD=55{}^\circ$ .

Ответ: 55.

Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен ${58}^\circ$ , биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${58}^\circ$ , отсюда по теореме о сумме углов треугольника $\angle A+\angle B=180{}^\circ -58{}^\circ =122{}^\circ$ .

Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

$\angle AOB=180{}^\circ -\displaystyle \frac{1}{2}\left(\angle A+\angle B\right)=180{}^\circ -61{}^\circ =119{}^\circ .$

Ответ: 119.

Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен ${56}^\circ$ , углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BD - высота $\triangle ABC,$ тогда $\triangle ABD$ — прямоугольный,

$\angle ABD=90{}^\circ -56{}^\circ =34{}^\circ .$

CE — высота $\triangle ABC,$ тогда $\triangle BOE\$ — прямоугольный и $\angle BOE=90{}^\circ -34{}^\circ =56{}^\circ$ .

Углы $\angle BOE$ и $\angle EOD\$ — смежные, поэтому $\angle EOD=180{}^\circ -56{}^\circ =124{}^\circ$ .

Ответ: 124.

Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен ${14}^\circ$ . Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по $45{}^\circ$ . Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть $45{}^\circ -14{}^\circ =31{}^\circ$ .

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть $31{}^\circ .$

Ответ: 31.

Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны ${84}^\circ$ и ${6}^\circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть $\angle A=6{}^\circ \$ и $\angle B=84{}^\circ$ . Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть ${6}^\circ$ .

у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы

${84}^\circ$ и

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.

Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: $90{}^\circ -\angle ACM- \angle BCH=90{}^\circ -6{}^\circ -6{}^\circ =78{}^\circ .\ \ \ \$

Ответ: 78.

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Задача 13. В треугольнике два угла равны ${57}^\circ$ и ${86}^\circ$ . Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна $180{}^\circ$ , поэтому

третий угол равен $180{}^\circ -57{}^\circ -86{}^\circ =37{}^\circ$ .

Ответ: 37.

Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34 ${}^\circ$ . Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90{}^\circ$ . Поэтому второй острый угол равен: $90{}^\circ -34{}^\circ =56{}^\circ$ .

Ответ: 56.

Задача 15.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, $\angle ABC=108{}^\circ$ . Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,

т.е. $\angle A=\angle C=\displaystyle \frac{180{}^\circ -108{}^\circ }{2}=36{}^\circ$ .

Ответ: 36.

Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, $\angle BAC=37{}^\circ$ . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BH — высота $\triangle ABC$ , тогда $\triangle ABH$ — прямоугольный, в нем $\angle AHB=90{}^\circ \$ и $\ \angle BAC=37{}^\circ .$ Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:
$\angle ABH=180{}^\circ -\angle AHB-\angle AHB=180{}^\circ -90{}^\circ -37{}^\circ =53{}^\circ .$
Ответ: 53.

Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен ${133}^\circ$ . Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна $180{}^\circ$ .

Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен: $180{}^\circ -133{}^\circ =47{}^\circ$ .

Ответ: 47.

Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и $\angle ABC=25{}^\circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\triangle ABC$ — равнобедренный, $\angle A=\angle C=\displaystyle \frac{180{}^\circ -25{}^\circ }{2}=\displaystyle \frac{155{}^\circ }{2}$ .

$\angle BAC\$ — вписанный угол и опирается на дугу BC, а $\angle BOC\$ — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу, $\angle BOC=2\angle BAC=155{}^\circ$ .

Ответ: 155.

Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и $\angle$ ABC=123 ${}^\circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник, отсюда $\angle BAC=\angle ACB$ .

$\angle BAC$ — вписанный угол, он опирается на дугу BC, а $\angle BOC\$ — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит, $\angle BOC=2\angle BAC=180{}^\circ -123{}^\circ =57{}^\circ$ .

Ответ: 57.

Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен ${114}^\circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры, отсюда следует, что $\triangle BOC$ — равнобедренный, $BO=OC$ — радиусы.

$\angle AOD=\angle BOC=114{}^\circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике $\angle OCB=\displaystyle \frac{180{}^\circ -114{}^\circ }{2}=33{}^\circ$ .

Ответ: 33.

Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен ${75}^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90{}^\circ$ , и треугольник ABC - прямоугольный. И если $\angle BAC=75{}^\circ$ , то второй острый угол этого треугольника равен: $90{}^\circ -75{}^\circ =15{}^\circ$

Ответ: 15.

Сумма углов треугольника

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Это полезно