Почему текстовые задачи относятся к простым?
Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.
Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.
Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.
Запишите в виде математического выражения:
Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)
Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах \(7\) и \(8\). Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что «\(x\) на \(5\) больше \(y\)». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)
Итак, правильные ответы:
Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:
Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.
Что здесь лучше всего обозначить за \(x\)? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на \(40\) километров больше, значит, его скорость равна \(x+40\).
Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по \(50\) км. Можно внести скорость — она равна \(x\) и \(x+40\) для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».
Его мы найдем по формуле: \(t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}\). Для велосипедиста получим \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}\), для автомобилиста \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}\).
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| велосипедист | \(x\) | \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}\) | \(50\) |
| автомобилист | \(x+40\) | \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}\) | \(50\) |
Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на \(4\) часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что \(t_1\) на четыре больше, чем \(t_2\), то есть \(t_2 + 4 = t_1.\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}+4=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}.\)
Решаем уравнение.
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x} - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40} = 4.\)
Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.
Первую дробь домножим на \(x+4\), вторую — на \(x\).
Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!
Получим:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50\left( x+40 \right)-50x}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4;\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50x+2000 -50x}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4;\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2000}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4.\)
Разделим обе части нашего уравнения на \(4\). В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 500}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=1.\)
Умножим обе части уравнения на \(x\left( x + 40 \right)\). Получим:
\(x\left( x + 40 \right)=500.\)
Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:
\(x^2+40x=500;\)
\(x^2+40x-500=0.\)
Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\). Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\), затем корни по формуле \(x_{1,2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle -b \pm \sqrt{D}}{\displaystyle 2a}.\)
В нашем уравнении \(a=1\), \(b=40\), \(c=-500\).
Найдем дискриминант \(D=1600+2000=3600\) и корни:
\(x_1=10\), \(x_2=-50\).
Ясно, что \(x_2\) не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.
Ответ: \(10\).
Следующая задача — тоже про велосипедиста.
Пусть скорость велосипедиста на пути из \(A\) в \(B\) равна \(x\). Тогда его скорость на обратном пути равна \(x+3\). Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — \(70\) километров. Осталось записать время. Поскольку \(t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}\), на путь из \(A\) в \(B\) велосипедист затратит время \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}\), а на обратный путь время \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}\).
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| туда | \(x\) | \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}\) | \(70\) |
| обратно | \(x+3\) | \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}\) | \(70\) |
На обратном пути велосипедист сделал остановку на \(3\) часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из \(A\) в \(B\). Это значит, что на обратном пути он крутил педали на \(3\) часа меньше.
Значит, \(t_2\) на три меньше, чем \(t_1\). Получается уравнение:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}+3=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}.\)
Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x} - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3} = 3.\)
Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70\left( x+3 \right) - 70x}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=3;\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 210}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=3.\)
Разделим обе части уравнения на \(3.\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle70}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=1.\)
Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.
Умножим обе части уравнения на \(x\left( x+3 \right)\), раскроем скобки и соберем все в левой части.
\(x^2+3x-70=0.\)
Находим дискриминант. Он равен \(9+4\cdot 70=289\).
Найдем корни уравнения:
\(x_1=7\). Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ \(x_2 = -10\) не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.
Ответ: \(7\).
Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.
При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.
Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.
А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.
Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна \(x\).
Тогда скорость движения моторки по течению равна \(x+1\), а скорость, с которой она движется против течения \(x-1\).
Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно \(255\) км.
Занесем скорость и расстояние в таблицу.
Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}\), при движении против течения \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}\), причем \(t_2\) на два часа больше, чем \(t_1\).
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| по течению | \(x+1\) | \(t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}\) | \(255\) |
| против течения | \(x-1\) | \(t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}\) | \(255\) |
Условие «\(t_2\) на два часа больше, чем «\(t_1\)» можно записать в виде:
\(t_1+2=t_2.\)
Составляем уравнение:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}+2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}\)
и решаем его:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}=2.\)
Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255\left( x+1 \right)-255\left( x-1 \right)}{\displaystyle \left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}=2.\)
Раскрываем скобки:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 510}{\displaystyle x^2-1}=2.\)
Делим обе части на \(2\), чтобы упростить уравнение:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x^2-1}=1.\)
Умножаем обе части уравнения на \(x^2-1:\)
\(x^2-1=255;\)
\(x^2=256.\)
Вообще-то это уравнение имеет два корня: \(x_1=16\) и \(x_2=-16\) (оба этих числа при возведении в квадрат дают \(256\)). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.
Ответ: \(16\).
Снова обозначим за \(x\) скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна \(15+x\), скорость его движения против течения равна \(15-x\). Расстояния — и туда, и обратно — равны \(200\) км.
Теперь графа «время».
Поскольку \(t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}\), время \(t_1\) движения теплохода по течению равно \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}\), которое теплоход затратил на движение против течения, равно \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}\).
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| по течению | \(x+15\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}\) | \(200\) |
| против течения | \(15-x\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}\) | \(200\) |
В пункт отправления теплоход вернулся через \(40\) часов после отплытия из него. Стоянка длилась \(10\) часов, следовательно, \(30\) часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.
Значит, \(t_1+t_2=30;\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}=30.\)
Прежде всего разделим обе части уравнения на \(10\). Оно станет проще!
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 20}{\displaystyle 15+x}+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 20}{\displaystyle 15-x}=3.\)
Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на \(225-x^2\), получаем квадратное уравнение \(x^2=25\). Поскольку скорость течения положительна, получаем: \(x=5\).
Ответ: \(5\).
Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную \(300\) километров в час — задача решена неверно.
Пусть скорость течения равна \(x\). Тогда по течению баржа плывет со скоростью \(7+x\), а против течения со скоростью \(7-x\).
Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из \(16\) вычесть \(10\), а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что \(1\) час \(20\) минут придется перевести в часы: \(1\) час \(20\) минут \(=1\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}\) часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно \(4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\) часа.
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| по течению | \(x+7\) | \(t_1\) | \(15\) |
| против течения | \(7-x\) | \(t_2\) | \(15\) |
\(t_1+t_2=4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}.\)
Возникает вопрос — какой из пунктов, \(A\) или \(B\), расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-)
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма \(t_1+t_2\), равная \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7+x}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7-x}\).
Итак, \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7+x}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7-x}=4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}.\)
Решим это уравнение. Число \(4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\) в правой части представим в виде неправильной дроби: \(4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 14}{\displaystyle 3}\).
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:
\(30 \cdot 7=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 14}{\displaystyle 3} \cdot \left( 49-x^2 \right).\)
Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на \(14\) и умножим на \(3\), оно станет значительно проще:
\(45=49-x^2;\)
\(x^2=4.\)
Поскольку скорость течения положительна, \(x=2\).
Ответ: 2.
Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
