Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

\(\left| x\right|=\left\{\begin{matrix} x, если \; x\geq 0, \\ -x, если \; x< 0. \end{matrix}\right.\)

Если число \(x\) неотрицательное, то модуль \(x\) равен самому числу \(x\).

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу \(-x\).

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, \(|-2|=2\). Другими словами, расстояние от точки \(-2\) до нуля равно \(2\). Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение: \(| x| = 2.\)

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. \(2\) и \(-2\). Значит, у уравнения \(|x|=2\) есть два решения: \(x=2\) и \(x=-2\).

Ответ: \(-2; 2.\)

2. Решите уравнение: \(\left|8x-3\right|=21.\)

Решение:

\(\left|8x-3\right|=21\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
8x-3=21, \\
8x-3=-21; \end{array}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
8x=24, \\
8x=-18; \end{array}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=3, \\
x=-\displaystyle \frac{9}{4}. \end{array}
\right.\right.\right. \)

Ответ: \(-\displaystyle \frac{9}{4};3. \)

3. Решите уравнение: \(\left|2x^2-6x+1\right|=9.\)

Решение:

\(\left|2x^2-6x+1\right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
2x^2-6x+1=9, \\
2x^2-6x+1=-9; \end{array}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
2x^2-6x-8=0, \\
2x^2-6x+10=0; \end{array}
\Leftrightarrow \right.\right.\)

\(\left[ \begin{array}{c}
x^2-3x-4=0, \\
x^2-3x+5=0; \end{array}
\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}
x=4, \\
x=-1. \end{array}
\right.\)

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

\(x^2-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=4, \\
x=-1 \end{array}
\right.\) — применили теорему Виета и нашли корни.

\(x^2-3x+5=0; \;D=9-20=-11< 0; \) корней нет.

Ответ: \(-1;4.\)

4. Решим уравнение: \(|x^2 - 5x + 4| = 4.\)

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

\(x^2 - 5x + 4 = 4\) или \(x^2 - 5x + 4 = -4.\)

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: \(x = 0\) и \(x = 5.\)

Ответ: \(0; 5.\)

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5. \(|2-x|=5-4x.\)

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{\begin{matrix}
2-x\geq 0, \\2-x=5-4x,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
2-x< 0, \\x-2=5-4x. \end{matrix}\right.\end{array} \right.\)

Решение первой системы: \(x = 1\). У второй системы решений нет.

Ответ: \(1.\)

6. \(x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.\)

Решение:

Первый случай: \(x ≥ 3\). Снимаем модуль:

\(x^{2}+4(x-3)-7x+11=0; \)

\(x^{2}-3x-1=0; \)

\(x_{1}=\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}, x_{2}=\displaystyle \frac{3-\sqrt{13}}{2}. \)

Число \(x_2\), будучи отрицательным, не удовлетворяет условию \(x ≥ 3\) и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число \(x_1\). Для этого составим разность и определим её знак:

\(x_{1}-3=\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}-3=\displaystyle \frac{\sqrt{13}-3}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{2}> 0.\)

Значит, \(x_1\) больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: \(x< 3 \). Снимаем модуль:

\(x^{2}+4(3-x)-7x+11=0;\)

\(x^{2}-11x+23=0;\)

\(x_{3}=\displaystyle \frac{11+\sqrt{29}}{2}, x_{4}=\displaystyle \frac{11-\sqrt{29}}{2}.\)

Число \(x_3\). больше, чем \(\displaystyle \frac{11}{2}\), и потому не удовлетворяет условию \(x< 3\). Проверим \(x_4\):

\(x_{4}-3=\displaystyle \frac{11-\sqrt{29}}{2}-3=\displaystyle \frac{5-\sqrt{29}}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{25}-\sqrt{29}}{2}< 0.\)

Значит, \(x_4\) является корнем исходного уравнения.

Ответ:\(\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2};\displaystyle \frac{11-\sqrt{29}}{2}.\)

7. Решите уравнение: \(\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|= x\).
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: \(x\neq 3\). Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие \(x\geq 0.\) Возведем обе части уравнения в квадрат

\(\left|\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right|^{2}=x^{2}\),

\({\left(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}\right)}^2- x{}^{2}= 0\), (разность квадратов)

\( \left(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}-x\right) \left(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+x\right)=0, \)

\(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}- x=0, \)

\(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+ x=0.\)

\(\left[ \begin{array}{c}
x^2\ -\ 4x\ -\ 1=\ 0, \\
x^2\ -\ 2x\ +\ 1=\ 0; \end{array}
\right.\)

\(\left[ \begin{array}{c}
x\ =\ 2\ +\sqrt{5},\ \\
x\ =\ 2\ -\ \sqrt{5\ }, \\
x=\ 1. \end{array}
\right.\ \ \)

Так как \(x = 2- \sqrt{5 }< 0\) — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: \(x = 2 +\sqrt{5}\) или \(x=1.\)

Меньший корень: \(1\).

Ответ: \(1\).

8. \(|2x^2 -3x -4|=6x-1.\)

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида \(| A| = B \) равносильно совокупности двух систем:

\(\left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
A=B, \\B\geq 0,
\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}
A=-B, \\B\geq 0.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)

То же самое, но немного по-другому:

\(|A|=B\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B, \end{matrix}\right. B\geq 0.\)

Иными словами, мы решаем два уравнения, \(A = B\) и \(A = −B\), а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию \( B \geq 0.\)

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

\(2x^{2}-3x-4=6x-1;\)

\(2x^{2}-9x-3=0;\)

\(x_{1}=\displaystyle \frac{9+\sqrt{105}}{4}, x_{2}=\displaystyle \frac{9-\sqrt{105}}{4}.\)

Затем решаем второе уравнение:

\(2x^{2}-3x-4=1-6x;\)

\(2x^{2}+3x-5=0;\)

\(x_{3}=1, x_{4}=\displaystyle \frac{5}{2}.\)

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

\(6x_{1}-1=6\cdot \displaystyle \frac{9+\sqrt{105}}{4}-1=\displaystyle \frac{50+6\sqrt{105}}{4}> 0;\)

\(6x_{2}-1=6\cdot \displaystyle \frac{9-\sqrt{105}}{4}-1=\displaystyle \frac{50-6\sqrt{105}}{4}=\displaystyle \frac{\sqrt{2500}-\sqrt{3780}}{4}< 0;\)

\(6x_{3}-1=6-1> 0;\)

\(6x_{4}-1=-15-1< 0.\)

Подходят только \(x_1\) и \(x_3\).

Ответ: \(1; \displaystyle \frac{9+\sqrt{105}}{4}.\)

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: \(\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)\) .

Это уравнение вида \(\left|A\right|=B.\) Вспомним, что оно равносильно системе:

\(\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}
B\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
A=B, \\
A=-B. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)

Получим:

\(\left|x^2+3x\right|=2\left(x+1\right)\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}
2\left(x+1\right)\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2+3x=2x+2, \\
x^2+3x=-2x-2; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{\ \begin{array}{c}
x\ge -1, \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2+x-2=0, \\
x^2+5x+2=0. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

\(1)\ x^2+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=-2, \\
x=1 \end{array}
\right.\) по теореме Виета.

\(2)\ x^2+5x+2=0.\)

\(D=25-8=17;\ \ x_{1,2}=\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2}, \\
x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}. \end{array}
\right.\)

Система примет вид:

\(\left\{ \begin{array}{c}
x\ge -1, \\
\left[ \begin{array}{c}
x=-2, \\
x=1, \\
x=\displaystyle \frac{-5-\sqrt{17}}{2}, \\
x=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\ \ \)

Сравним \(\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\) и \(-1. \) Для сравнения мы будем использовать вот такой символ: \(\vee .\)

\(\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\vee \ -1\ \).

Умножим обе части этого неравенства на \(2\): \(-5+\sqrt{17}\vee -2\).

Прибавим \(5\) к обеим частям выражения: \(\sqrt{17}\vee 3.\ \) Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, \(17> 9\). Это значит, что \(\sqrt{17}> 3\) и \(\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2}> \ -1.\ \)

Остальные корни, очевидно, меньше, чем \(-1\).

Ответ: \(\displaystyle \frac{-5+\sqrt{17}}{2};1\).

к оглавлению ▴

Квадратные уравнения с заменой \(| x| = t\)

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение: \(x^2 + 2|x| - 3 = 0.\)

Решение:

Поскольку \(x^2 = |x|^2\), удобно сделать замену \(|x| = t\). Получаем:

\(t^{2}+2t-3=0 \, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} t=1,\\ t=-3; \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} |x|=1,\\ |x|=-3; \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=\pm 1,\\ нет \; решений. \end{matrix} \right.\)

Ответ: \(\pm 1\).

к оглавлению ▴

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида \(| A| = | B| .\) Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

\(|A|=|B|\, \, \Leftrightarrow \, \, \left [ \begin{matrix} A=B,\\ A=-B. \end{matrix} \right.\)

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение: \(\left|2x+5\right|=\left|x-1\right|.\)

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

\({\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2.\)

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right);\)

\({\left(2x+5\right)}^2={\left(x-1\right)}^2\Leftrightarrow {\left(2x+5\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0\Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow \left(2x+5-x+1\right)\left(2x+5+x-1\right)=0\Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow \left(x+6\right)\left(3x+4\right)=0\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x+6=0, \\
3x+4=0; \end{array}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=-6, \\
x=-\displaystyle \frac{4}{3}. \end{array}
\right.\right. \)

Ответ: \(-6;-\displaystyle \frac{4}{3}.\)

12. Решим уравнение: \(|3x^2 + 5x - 9| = |6x + 15|\).

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

\(\left [ \begin{matrix} 3x^{2}+5x-9=6x+15,\\ 3x^{2}+5x-9=-6x-15. \end{matrix} \right.\)

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1) \(3x^2-x-24=0;\)

\(D=1+4\cdot 3 \cdot 24 = 289 = 17^2 ;\)

\( \displaystyle x=\frac{1 \pm 17}{6} ; x_{1}=3, \; x_2 = \frac{8}{3}\) — корни первого квадратного уравнения.

2) \(3x^2+11x+6=0;\)

\(D=121-4\cdot 3\cdot 6=49=7^2 ;\)

\(\displaystyle x=\frac{-11\pm 7}{6};\) \(x_3=-3;\) \(\displaystyle x_4=-\frac{2}{3}\) — корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ: \(\displaystyle -3; \;  \frac{8}{3}; \; - \frac{2}{3}; \; 3.\)

к оглавлению ▴

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение: \(|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4.\)

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 3\). Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: \(x\geq 3\). Все модули снимаются с «плюсом»:

\(x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\)

\(x=5.\)

Полученное значение \(x = 5\) удовлетворяет условию \(x\geq 3\) и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: \(2\leq x\leq 3\). Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

\(x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\)

\(x=2.\)

Полученное значение \(x\) также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: \(1\leq x\leq 2\). Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

\(x-1-2(x-2)+3(x-3)=4,\)

\(4=4.\)

Мы получили верное числовое равенство при любом \(x\) из рассматриваемого промежутка \(\left [ 1; 2 \right ]\). Все значения \(x\) из данного промежутка служат решениями данного уравнения.

Случай 4: \(x\leq 1\). Все модули снимаются с «минусом»:

\(1-x-2(2-x)+3(3-x)=4,\)

\(x=1.\)

Ничего нового. Мы и так знаем, что \(x = 1\) является решением.

Ответ: \(\left [ 1; 2 \right ]\cup \begin{Bmatrix} 5\end{Bmatrix}.\)

к оглавлению ▴

Модуль в модуле

14. Решим уравнение: \(||3 - x| - 2x + 1| = 4x - 10.\)

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) \(x\leq 3\). Получаем:

\(\left| 3-x-2x+1\right|=4x-10,\)

\(\left| 4-3x\right|=4x-10.\)

Выражение под модулем обращается в нуль при \(x=\displaystyle \frac{4}{3}\). Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) \(\displaystyle \frac{4}{3}\leq x\leq 3\). Получаем в этом случае:

\(3x-4=4x-10,\)

\( x=6.\)

Это значение \(x\) не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) \(x\leq \displaystyle \frac{4}{3}\). Тогда:

\( 4-3x=4x-10,\)

\( x=2. \)

Это значение \(x\) также не годится.

Итак, при \(x\leq 3\) решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) \(x\geq 3\). Имеем:

\(\left| x-3-2x+1\right|=4x-10,\)

\(\left| x+2\right|=4x-10.\)

Здесь нам повезло: выражение \(x + 2\) положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

\(x+2=4x-10,\)

\(x=4. \)

Это значение \(x\) находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: \(4\).

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции \( y = | x| .\) Он строится согласно определению модуля:

\(\left| x\right|=\left\{\begin{matrix} x, если \; x\geq 0, \\ -x, если \; x< 0. \end{matrix}\right.\)

Для \( x \geq 0\) получаем участок графика \(y = x\).

Для  \(x<0\) получаем участок графика \(y = −x\). Вот этот график:

15. Решите уравнение: \(\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=6.\)

Решение:

Сделаем замену переменной: \(\sqrt{x-9}=t,\ \ \ t\ge 0.\)

Тогда \(x-9=t^2;x=t^2+9.\)

Получим: \(\sqrt{t^2+6t+9}+\sqrt{t^2-6t+9}=6.\)

Мы помним, что \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|;\)

\(\left|t+3\right|+\left|t-3\right|=6.\)

Решим уравнение графически. В левой части — график функции \(y\ \left(t\right)=\ \left|t+3\right|+\left|t-3\right|.\ \)

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций \( y = | t - 3 |\) (точка минимума \((3; 0)\)) и \( y = | t + 3|\) (точка минимума \((-3; 0)\)). Можно сказать, что график функции \( y = | t - 3 | \) сдвинут относительно графика \( y = | t |\) на 3 единицы вправо, а график \( y = | t + 3 |\) — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций \( y = | t - 3 |\) и \(y = | t + 3 | . \)

В точке с абсциссой \(3\) значение одного из слагаемых равно \(0\), другое слагаемое равно \(6\), сумма равна \(6\).

В точке с абсциссой \(-3\) аналогично.

При \(x= 0\) оба слагаемых равны \(3\), сумма равна \(6\).

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при \(- 3 \leq x \leq 3\) получим горизонтальный участок. При \(x> 3\) получим луч с угловым коэффициентом, равным \(2\), а при \(x< - 3\) — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все \(t,\) принадлежащие отрезку от \(-3\) до \(3.\)

\(-3\le t\le 3.\)

Значит, \(-3\le \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \sqrt{x-9}\le 3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x-9\ge 0, \\
x-9\le 9. \end{array}
\Leftrightarrow 9\le x\le 18\right.\)

Ответ: \(x\in \left[9;18\right].\)

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.