Преобразование алгебраических выражений

Задания на упрощение алгебраических выражений есть в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Для преобразования алгебраических выражений мы будем использовать:

- формулы сокращенного умножения;

- метод группировки;

- приведение дробей к общему знаменателю.

Вспомним, что такое алгебраическое выражение.

Например: \(c+4\) – это целое алгебраическое выражение.

В нем есть переменная и нет дробей. Существуют также выражения в виде дробей, их называют - рациональные алгебраические выражения. Вот пример:

\(\frac{2c}{a+b}\)

Также бывают алгебраические выражения со степенями и корнями. Например,

\(\sqrt{a}+\sqrt{c}\)

В числовом выражении есть только числа, а в алгебраическом – и числа, и «буквы», то есть переменные.

Вам знакомо выражение «привести подобные». Что это значит?

Например, у вас есть выражение:

\(2x + y + 3c- x + 7y- 10 c\).

Собираем «иксы» в одну «кучку», «игреки» - в другую, а те, в которых есть «с», в третью. И выполняем действия.

\(2x-x + y + 7y+ 3c -10c = x + 8y - 7c\).

Иксы к иксам, игреки – к игрекам, а те, которые с буквой «с», в отдельную кучку.

Если сказать совсем простыми словами, то разные переменные – это как разные звери :- )

\(3x + 2x\) – это 3 мышки и еще 2 мышки, всего 5 мышек.

\(5y + y\) – это 5 бегемотов и еще бегемот, 6 бегемотов.

\(4c-c\) – это было 4 кошки, ушла 1 кошка, осталось 3 кошки.

Мышки – с мышками, кошки – с кошками, а бегемоты – с бегемотами. Подобные – с подобными!

А \(3x + 5y\) – это 3 мышки и 5 бегемотов!

Более сложный пример:

\(3xy + 5c -xy + 4c = 2xy + 9c\). Привели подобные.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

Левая часть в каждой такой формуле всегда равна правой части. Такие равенства, которые верны всегда, называются тождества.

Заметим, что эти формулы работают в обе стороны. Можно применять их и слева направо, и справа налево.

Теперь вспомним, что такое метод группировки.

Группировку удобно применять, когда выражение состоит из нескольких слагаемых, которые можно разбить на "кучки".

Вот пример такого выражения:

\(ax + bx + 3ay + 3by\).

Как его сгруппировать?

Нам помогут правила:

1) находим одинаковые переменные, переписываем выражение так, чтобы слагаемые с этими переменными оказались рядом;

2) выносим за скобки эти одинаковые переменные. Их еще называют общими множителями. А в скобках должны получиться одинаковые выражения;

3) выносим за скобку эти одинаковые выражения.

Упростим выражение \(ax + bx+ ay + by\).

1 шаг:

Находим повторяющиеся "буквы":

\(ax + bx + ay + by\).

2 шаг:

Выносим за скобки повторяющиеся "буквы", то есть переменные:

\(x(a + b) + y(a + b)\).

3 шаг:

Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках:

\((a + b)(x + y)\).

Мы разложили выражение на множители, применив метод группировки.

Еще один прием  – приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

Действуем так же, как мы это делали с числами.

1) находим общий знаменатель для этих дробей;

2) находим дополнительные множители для каждой дроби;

3) умножаем дополнительный множитель для каждой дроби на ее числитель;

4) записываем дроби с новыми числителями и общим знаменателем.

Пример:

Привести дроби \(\frac{2}{ab^2}\) и \(\frac{3}{ac}\) к общему знаменателю.

Идем по алгоритму:

1 шаг:

Общий знаменатель для \(ab^2\) и \(ac\) равен \(acb^2\)  . Это выражение делится и на \(ab^2\), и на \(ac\).

2 шаг:

Ищем дополнительные множители для каждой дроби:

\(acb^2:ab^2=c\);

\(acb^2:ac=b^2\)

3 шаг:

Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:

\(c\cdot 2 = 2c\);

\(b^2\cdot 3=3b^2.\)

4 шаг:

Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:
\(\frac{2c}{acb^2}\)  и \(\frac{3b^2}{acb^2}\)

Примеры решения и оформления задач:

1. Упростите выражение: \((2-c)^2-c(c+4)\).

Решение:

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности:

\((2-c)^2=2^2-2\cdot 2\cdot c+c^2=4-4c+c^2\)

Раскроем вторую скобку:

\(-c(c+4)=-c^2-4c\).

Запишем всё вместе и приведем подобные слагаемые:

\(4-4c+c^2-c^2-4c=4-8c+c^2-c^2=4-8c\).

Ответ: \(4 - 8c\).

2. Разложить на множители, используя способ группировки:

\(xa^2+xb^2-a^2-b^2\)

Решение:

Находим повторяющиеся "буквы", подчеркиваем их:

\(x\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{a^2}-\underline{b^2}\)

Сгруппируем:

\(x\underline{a^2}-\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{b^2}\)

Вынесем за скобки повторяющиеся "буквы":

\(a^2(x-1)+b^2(x - 1)\).

Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках:

\((x - 1)(a^2+b^2)\).

Ответ: \((x-1)(a^2+b^2)\).

3. Привести дроби к общему знаменателю: \(\frac{2c}{ab}\) и \(\frac{4b}{ac}\).

Решение:

Общий знаменатель для \(ab\) и \(ac\) равен \(abc\).

Ищем дополнительные множители для каждой дроби:

\(abc : ab=c\);

\(abc: ac = b\).

Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:

\(c\cdot 2c = 2c^2\);

\(b\cdot 4b = 4b^2\).

Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:

\(\frac{2c^2}{abc}\) и \(\frac{4b^2}{abc}\)

Ответ: \(\frac{2c^2}{abc}\) и \(\frac{4b^2}{abc}\)