Задания на упрощение алгебраических выражений есть в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Для преобразования алгебраических выражений мы будем использовать:
- формулы сокращенного умножения;
- метод группировки;
- приведение дробей к общему знаменателю.
Вспомним, что такое алгебраическое выражение.
Например: \(c+4\) – это целое алгебраическое выражение.
В нем есть переменная и нет дробей. Существуют также выражения в виде дробей, их называют - рациональные алгебраические выражения. Вот пример: \(\displaystyle \frac{2c}{a+b}.\)
Также бывают алгебраические выражения со степенями и корнями. Например, \(\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{c}.\)
В числовом выражении есть только числа, а в алгебраическом – и числа, и «буквы», то есть переменные.
Вам знакомо выражение «привести подобные». Что это значит?
Например, у вас есть выражение: \(2x + y + 3c- x + 7y- 10 c\).
Собираем «иксы» в одну «кучку», «игреки» - в другую, а те, в которых есть «\(c\)», в третью. И выполняем действия.
\(2x-x + y + 7y+ 3c -10c = x + 8y - 7c\).
Иксы к иксам, игреки – к игрекам, а те, которые с буквой «\(c\)», в отдельную кучку.
Более сложный пример: \(3xy + 5c -xy + 4c = 2xy + 9c\). Привели подобные.
Вспомним формулы сокращенного умножения:
Формулы сокращенного умножения
| Разность квадратов | \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) |
| Квадрат суммы | \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\) |
| Квадрат разности | \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\) |
| Куб суммы | \((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\) |
| Куб разности | \((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\) |
| Сумма кубов | \(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\) |
| Разность кубов | \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}\) |
Левая часть в каждой такой формуле всегда равна правой части. Такие равенства, которые верны всегда, называются тождества.
Заметим, что эти формулы работают в обе стороны. Можно применять их и слева направо, и справа налево.
Теперь вспомним, что такое метод группировки.
Группировку удобно применять, когда выражение состоит из нескольких слагаемых, которые можно разбить на "кучки".
Вот пример такого выражения: \(ax + bx + 3ay + 3by\).
Как его сгруппировать?
Нам помогут правила:
\(1)\) Находим одинаковые переменные, переписываем выражение так, чтобы слагаемые с этими переменными оказались рядом.
\(2)\) Выносим за скобки эти одинаковые переменные. Их еще называют общими множителями. А в скобках должны получиться одинаковые выражения.
\(3)\) Выносим за скобку эти одинаковые выражения.
Упростим выражение \(ax + bx+ ay + by\).
1 шаг:
Находим повторяющиеся "буквы": \(ax + bx + ay + by\).
2 шаг:
Выносим за скобки повторяющиеся "буквы", то есть переменные: \(x(a + b) + y(a + b)\).
3 шаг:
Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках: \((a + b)(x + y)\).
Мы разложили выражение на множители, применив метод группировки.
Еще один прием – приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.
Действуем так же, как мы это делали с числами.
\(1)\) Находим общий знаменатель для этих дробей.
\(2)\) Находим дополнительные множители для каждой дроби.
\(3)\) Умножаем дополнительный множитель для каждой дроби на ее числитель.
\(4)\) Записываем дроби с новыми числителями и общим знаменателем.
Пример:
Привести дроби \(\displaystyle \frac{2}{ab^2}\) и \(\displaystyle \frac{3}{ac}\) к общему знаменателю.
Идем по алгоритму:
1 шаг:
Общий знаменатель для \(ab^2\) и \(ac\) равен \(acb^2\) . Это выражение делится и на \(ab^2\), и на \(ac\).
2 шаг:
Ищем дополнительные множители для каждой дроби:
\(acb^2:ab^2=c;\)
\(acb^2:ac=b^2.\)
3 шаг:
Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:
\(c\cdot 2 = 2c;\)
\(b^2\cdot 3=3b^2.\)
4 шаг:
Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:
\(\displaystyle \frac{2c}{acb^2}\) и \(\displaystyle \frac{3b^2}{acb^2}.\)
Примеры решения и оформления задач ОГЭ
1. Упростите выражение: \((2-c)^2-c(c+4)\).
Решение:
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности:
\((2-c)^2=2^2-2\cdot 2\cdot c+c^2=4-4c+c^2.\)
Раскроем вторую скобку: \(-c(c+4)=-c^2-4c.\)
Запишем всё вместе и приведем подобные слагаемые:
\(4-4c+c^2-c^2-4c=4-8c+c^2-c^2=4-8c.\)
Ответ: \(4 - 8c.\)
2. Разложить на множители, используя способ группировки: \(xa^2+xb^2-a^2-b^2.\)
Решение:
Находим повторяющиеся "буквы", подчеркиваем их:
\(x\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{a^2}-\underline{b^2}.\)
Сгруппируем:
\(x\underline{a^2}-\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{b^2}.\)
Вынесем за скобки повторяющиеся "буквы":
\(a^2(x-1)+b^2(x - 1).\)
Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках:
\((x - 1)(a^2+b^2).\)
Ответ: \((x-1)(a^2+b^2).\)
3. Привести дроби к общему знаменателю: \(\displaystyle \frac{2c}{ab}\) и \(\displaystyle \frac{4b}{ac}\).
Решение:
Общий знаменатель для \(ab\) и \(ac\) равен \(abc\).
Ищем дополнительные множители для каждой дроби:
\(abc : ab=c;\)
\(abc: ac = b.\)
Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:
\(c\cdot 2c = 2c^2;\)
\(b\cdot 4b = 4b^2.\)
Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:
\(\displaystyle \frac{2c^2}{abc}\) и \(\displaystyle \frac{4b^2}{abc}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{2c^2}{abc}\) и \(\displaystyle \frac{4b^2}{abc}.\)
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
