Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Преобразование алгебраических выражений

Преобразование алгебраических выражений

Задания на упрощение алгебраических выражений есть в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Для преобразования алгебраических выражений мы будем использовать:

- формулы сокращенного умножения;

- метод группировки;

- приведение дробей к общему знаменателю.

Вспомним, что такое алгебраическое выражение.

Например: $c+4$ – это целое алгебраическое выражение.

В нем есть переменная и нет дробей. Существуют также выражения в виде дробей, их называют - рациональные алгебраические выражения. Вот пример:

$\frac{2c}{a+b}$

Также бывают алгебраические выражения со степенями и корнями. Например,

$\sqrt{a}+\sqrt{c}$

В числовом выражении есть только числа, а в алгебраическом – и числа, и «буквы», то есть переменные.

Вам знакомо выражение «привести подобные». Что это значит?

Например, у вас есть выражение:

$2x + y + 3c- x + 7y- 10 c$ .

Собираем «иксы» в одну «кучку», «игреки» - в другую, а те, в которых есть «с», в третью. И выполняем действия.

$2x-x + y + 7y+ 3c -10c = x + 8y - 7c$ .

Иксы к иксам, игреки – к игрекам, а те, которые с буквой «с», в отдельную кучку.

Если сказать совсем простыми словами, то разные переменные – это как разные звери :- )

$3x + 2x$ – это 3 мышки и еще 2 мышки, всего 5 мышек.

$5y + y$ – это 5 бегемотов и еще бегемот, 6 бегемотов.

$4c-c$ – это было 4 кошки, ушла 1 кошка, осталось 3 кошки.

Мышки – с мышками, кошки – с кошками, а бегемоты – с бегемотами. Подобные – с подобными!

А $3x + 5y$ – это 3 мышки и 5 бегемотов!

Более сложный пример:

$3xy + 5c -xy + 4c = 2xy + 9c$ . Привели подобные.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

Левая часть в каждой такой формуле всегда равна правой части. Такие равенства, которые верны всегда, называются тождества.

Заметим, что эти формулы работают в обе стороны. Можно применять их и слева направо, и справа налево.

Теперь вспомним, что такое метод группировки.

Группировку удобно применять, когда выражение состоит из нескольких слагаемых, которые можно разбить на "кучки".

Вот пример такого выражения:

$ax + bx + 3ay + 3by$ .

Как его сгруппировать?

Нам помогут правила:

1) находим одинаковые переменные, переписываем выражение так, чтобы слагаемые с этими переменными оказались рядом;

2) выносим за скобки эти одинаковые переменные. Их еще называют общими множителями. А в скобках должны получиться одинаковые выражения;

3) выносим за скобку эти одинаковые выражения.

Упростим выражение $ax + bx+ ay + by$ .

1 шаг:

Находим повторяющиеся "буквы":

$ax + bx + ay + by$ .

2 шаг:

Выносим за скобки повторяющиеся "буквы", то есть переменные:

$x(a + b) + y(a + b)$ .

3 шаг:

Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках:

$(a + b)(x + y)$ .

Мы разложили выражение на множители, применив метод группировки.

Еще один прием – приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

Действуем так же, как мы это делали с числами.

1) находим общий знаменатель для этих дробей;

2) находим дополнительные множители для каждой дроби;

3) умножаем дополнительный множитель для каждой дроби на ее числитель;

4) записываем дроби с новыми числителями и общим знаменателем.

Пример:

Привести дроби $\frac{2}{ab^2}$ и $\frac{3}{ac}$ к общему знаменателю.

Идем по алгоритму:

1 шаг:

Общий знаменатель для $ab^2$ и $ac$ равен $acb^2$ . Это выражение делится и на $ab^2$ , и на $ac$ .

2 шаг:

Ищем дополнительные множители для каждой дроби:

$acb^2:ab^2=c$ ;

$acb^2:ac=b^2$

3 шаг:

Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:

$c\cdot 2 = 2c$ ;

$b^2\cdot 3=3b^2.$

4 шаг:

Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:
$\frac{2c}{acb^2}$ и $\frac{3b^2}{acb^2}$

Примеры решения и оформления задач:

1. Упростите выражение: $(2-c)^2-c(c+4)$ .

Решение:

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности:

$(2-c)^2=2^2-2\cdot 2\cdot c+c^2=4-4c+c^2$

Раскроем вторую скобку:

$-c(c+4)=-c^2-4c$ .

Запишем всё вместе и приведем подобные слагаемые:

$4-4c+c^2-c^2-4c=4-8c+c^2-c^2=4-8c$ .

Ответ: $4 - 8c$ .

2. Разложить на множители, используя способ группировки:

$xa^2+xb^2-a^2-b^2$

Решение:

Находим повторяющиеся "буквы", подчеркиваем их:

$x\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{a^2}-\underline{b^2}$

Сгруппируем:

$x\underline{a^2}-\underline{a^2}+x\underline{b^2}-\underline{b^2}$

Вынесем за скобки повторяющиеся "буквы":

$a^2(x-1)+b^2(x - 1)$ .

Выносим за скобку одинаковые выражения в скобках:

$(x - 1)(a^2+b^2)$ .

Ответ: $(x-1)(a^2+b^2)$ .

3. Привести дроби к общему знаменателю: $\frac{2c}{ab}$ и $\frac{4b}{ac}$ .

Решение:

Общий знаменатель для $ab$ и $ac$ равен $abc$ .

Ищем дополнительные множители для каждой дроби:

$abc : ab=c$ ;

$abc: ac = b$ .

Умножаем дополнительный множитель каждой дроби на ее числитель:

$c\cdot 2c = 2c^2$ ;

$b\cdot 4b = 4b^2$ .

Записываем дроби с новыми числителями и найденным общим знаменателем:

$\frac{2c^2}{abc}$ и $\frac{4b^2}{abc}$

Ответ: $\frac{2c^2}{abc}$ и $\frac{4b^2}{abc}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Преобразование алгебраических выражений» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 17.09.2023

Преобразование алгебраических выражений

Это полезно