Самые необходимые тригонометрические формулы

Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!

Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы. Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.

Эти формулы применяются и в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, и в заданиях 2 части.

Эта полезная табличка – только одна из многих страниц Справочника Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ. Скачай Справочник бесплатно здесь.

Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.

Первые 3 блока формул из нашей таблицы часто встречаются в заданиях 1 части ЕГЭ и в задаче из второй части, где надо решить тригонометрическое уравнение.

В первую очередь это основное тригонометрическое тождество:

\(sin{}^2\alpha +cos{}^2 \alpha =1.\)

Это формулы, которые показывают, как выразить тангенс через косинус и котангенс через синус угла.

\(tg {}^2\alpha +1=\displaystyle \frac{1}{{{\cos}^2 \alpha \ }};\)

\(1 + ctg{}^2\alpha =\displaystyle \frac{1}{{{\sin}^2 \alpha \ }}.\)

Формулы синуса и косинуса двойного угла, формулы синуса суммы, косинуса разности, – все это надо знать, чтобы без ошибок решать тригонометрические уравнения.

А вот формулы суммы синусов и косинусов, а также преобразование произведения в сумму могут пригодиться при решении задач с параметрами.

Где же могут встретиться формулы из двух последних блоков, внизу таблицы?

Формулы понижения степени могут присутствовать и в тригонометрических уравнениях, и в «параметрах». И даже в задачах с физическим содержанием из 1 части ЕГЭ, если там вдруг попадется тригонометрия.

А универсальная тригонометрическая замена, когда мы выражаем синус и косинус угла альфа через тангенс половинного угла? А формулы синуса и косинуса тройных углов? Где же они применяются? Оказывается, они помогают решать задачи по геометрии из 2 части ЕГЭ. Так что их тоже стоит знать, если хотите сдать на высокий балл.

Обратите внимание, что в этой таблице нет формул приведения. О них мы рассказываем в отдельной статье нашего сайта.

Как же выучить тригонометрические формулы?

1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.

2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить. Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.

3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.

4. Еще один отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!

5. И конечно, решаем задания ЕГЭ на применение этих формул. Начнем с задач 1 части, преобразование тригонометрических выражений.

1. Найдите \(tg \alpha \), если \(cos\alpha =\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}\) и \(\alpha \in \left(\displaystyle \frac{3\pi }{2};2\pi \right).\)

Решение:

Воспользуемся формулой:

\(tg{}^2x+1=\displaystyle \frac{1}{{\cos}^2x}\ \ \ \Rightarrow tg x =\pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{{\cos}^2x}-1}.\)

Какой знак будет у тангенса, «плюс» или «минус»?

В условии дано, что \(\alpha \in \left(\displaystyle \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\), то есть это угол из четвертой четверти, значит \(tgx < 0.\)

\(tgx =-\sqrt{\displaystyle \frac{100}{10}-1}=-3.\)

Ответ: -3.

2. Найдите \(\displaystyle \frac{10{\sin 6\alpha \ }}{3{\cos 3\alpha \ }},\) если \(sin 3\alpha =0,6.\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha :\)

\(\displaystyle \frac{10{\sin 6\alpha \ }}{3{\cos 3\alpha \ }}=\displaystyle \frac{10\cdot 2{\sin 3\alpha }{\cos 3\alpha \ }}{3{\cos 3\alpha \ }}=\displaystyle \frac{20\cdot {\sin 3\alpha \ }}{3}=\displaystyle \frac{20\cdot 0,6}{3}=4.\)

Ответ: 4.

3. Найдите \(24cos2\alpha ,\) если \(sin \alpha =-0,2.\)

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(cos 2\alpha = 1 - 2sin{}^2 \alpha :\)

\(24cos2\alpha  = 24(1 - 2sin{}^2 \alpha )=24\left(1-2{\left(-0,2\right)}^2\right)=\)

\(=24\cdot \left(1-0,08\right)=24\cdot 0,92=22,08.\)

Ответ: 22,08.

4. Найдите \(\displaystyle \frac{3{\cos \alpha \ }-4{\sin \alpha \ }}{2{\sin \alpha \ }-5{\cos \alpha \ }}, \) если \(tg\alpha =3.\)

Решение:

Вынесем косинус альфа за скобки в числителе и знаменателе:

\(\displaystyle \frac{3{\cos \alpha \ }-4{\sin \alpha \ }}{2{\sin \alpha \ }-5{\cos \alpha \ }}=\displaystyle \frac{{\cos \alpha \ }\left(3-4tg\alpha \right)}{{\cos \alpha \ }\left(2tg\alpha -5\right)}=\displaystyle \frac{3-4\cdot 3}{2\cdot 3-5}=\displaystyle \frac{-9}{1}=-9.\)

Ответ: -9.

5. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{5{\sin 98{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \ }\cdot {\sin 41{}^\circ \ }}.\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\(sin2\alpha= 2sin\alpha cos\alpha ;\) тогда \(sin\alpha cos\alpha = \displaystyle \frac{1}{2}{\sin 2\alpha } .\)

\(\displaystyle \frac{5{\sin 98{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \cdot {\sin 41{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{10{\sin 49{}^\circ \ }\cdot {\cos 49{}^\circ \ }}{{\sin 49{}^\circ \cdot {\sin 41{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{10{\sin 41{}^\circ \ }}{{\sin 41{}^\circ \ }}=10.\)

Ответ: 10.

6. Найдите значение выражения: \(\sqrt{3}cos{}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}sin{}^2 \displaystyle \frac{5\pi }{12} .\)

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\(cos2\alpha = cos{}^2 \alpha - sin{}^2 \alpha.\)

\(2\sqrt{3}-4\sqrt{3}sin^{2}\displaystyle \frac{7\pi }{12}=2\sqrt{3}\left(1-2sin^{2}\displaystyle \frac{7\pi }{12}\right)= 2\sqrt{3}\cdot cos\displaystyle \frac{7\pi }{6}=\)

\(=\sqrt{3}\cdot cos \displaystyle \frac{5\pi }{6}=\sqrt{3}\cdot \left(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1,5.\)

Ответ: -1,5.

7. Найдите значение выражения: \(-50tg 9{}^\circ \cdot tg  81{}^\circ +31.\)

Решение:

Используя формулы приведения, получим: \(tg81{}^\circ= tg\left(90{}^\circ -9{}^\circ \right) = ctg9{}^\circ. \)

Пользуемся также тем, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, \(tg\alpha \cdot ctg\alpha =1.\)

Получим:

\(-50tg 9{}^\circ \cdot ctg 9{}^\circ +31=-50+31 = - 19.\)

Ответ: -19.

8. Найдите значение выражения: \(\sqrt{72}-\sqrt{288}sin {}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}.\)

Решение:

\(\sqrt{72}-\sqrt{288}sin{}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}=6\sqrt{2}-12\sqrt{2}sin{}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8}=6\sqrt{2}\cdot \left(1-2{sin}^2 \displaystyle \frac{21\pi }{8} \right)=\)

\(=6\sqrt{2}cos \left(2\cdot \displaystyle \frac{21\pi }{8}\right)=6\sqrt{2}cos \displaystyle \frac{21\pi }{4}=6\sqrt{2}cos\displaystyle \frac{5\pi }{4}=-6\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-6.\)

Мы вынесли за скобки множитель \(6\sqrt{2} \) и применили формулу косинуса двойного угла, выразив его через квадрат синуса угла.

Ответ: 6.

9. Найдите значение выражения: \(5sin  \displaystyle \frac{11\pi }{12}\cdot cos \displaystyle \frac{11\pi }{12}.\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(sin 2\alpha = 2sin \alpha cos\alpha .\) Также применим одну из формул приведения: \(sin\left(2\pi -\alpha \right) = -sin\alpha .\)

\(5sin \displaystyle \frac{11\pi }{12}cos \displaystyle \frac{11\pi }{12}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot sin  \displaystyle \frac{11\pi }{6}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot sin \left(2\pi -\displaystyle \frac{\pi }{6}\right)=-\displaystyle \frac{5}{2}\cdot sin \displaystyle \frac{\pi }{6}=-\displaystyle \frac{5}{2}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=-1,25.\)

Ответ: -1,25.

10. Найдите значение выражения: \(2\sqrt{3}-4\sqrt{3}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{7\pi }{12}}.\)

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\(cos2\alpha = 1 - 2{\sin}^2 \alpha.\)

\(2\sqrt{3}-4\sqrt{3}sin^{2}\displaystyle \frac{7\pi }{12}=2\sqrt{3}\left(1-2sin^{2}\displaystyle \frac{7\pi }{12}\right)= 2\sqrt{3}\cdot cos\displaystyle \frac{7\pi }{6}=\)

\(=2\sqrt{3}\cdot cos \left(\pi +\displaystyle \frac{\pi }{6}\right)=-2\sqrt{3}\cdot cos \displaystyle \frac{\pi }{6}=-2\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=-3.\)

Ответ: -3.

11. Найдите значение выражения: \(\sqrt{108}{{\cos}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}\ }-\sqrt{27}.\)

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\(cos2\alpha = {\cos}^2 \alpha -\sin{}^2 \alpha = 2\cos{}^2 \alpha -1.\)

\(\sqrt{108}cos{}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}-\sqrt{27}=6\sqrt{3}cos{}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(2{{\cos}^2 \displaystyle \frac{\pi }{12}\ }-1\right)=3\sqrt{3}\cdot cos \displaystyle \frac{\pi }{6}=\)

\(=3\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ =4,5.\)

Ответ: 4,5.

12. Найдите значение выражения: \(-\displaystyle \frac{6{\sin 374{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}.\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{-6{\sin 374{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{-6{\sin 14{}^\circ \ }}{{\sin 14{}^\circ \ }}=-6.\)

Мы воспользовались периодичностью функции синус: \(sin\left(360^\circ +\alpha \right)=sin \alpha .\)

В нашей задаче \(374 = 360 + 14.\)

Ответ: - 6.

13. Найдите значение выражения: \(7\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{15\pi }{8}\cdot {\cos \displaystyle \frac{15\pi }{8}.\ }\ }\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha. \)

\(7\sqrt{2} sin \displaystyle \frac{15\pi }{8}\cdot cos \displaystyle \frac{15\pi }{8}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot sin \displaystyle \frac{15\pi }{4}=\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot sin  \left(4\pi -\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)=-\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot sin \displaystyle \frac{\pi }{4}=\)

\(=-\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-3,5.\)

Ответ: -3,5.

Заметим, что если в задаче нам встретилось произведение синуса альфа на косинус альфа, то, скорее всего, нужно будет применять формулу синуса двойного угла.

14. Найдите \(tg\alpha ,\) если \(cos\alpha =-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}\) и \(\alpha \in \left(\pi ;\displaystyle \frac{3\pi }{2}\right).\)

Решение:

Вспомним основное тригонометрическое тождество: \({{\cos}^2 \alpha \ }+\ {{\sin}^2 \alpha \ }=1.\) Выразим из этой формулы синус альфа:

\(sin\alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos}^2 \alpha }}. \)

Какой же знак выбрать, «плюс» или «минус»?

Угол альфа в третьей четверти, значит, его синус отрицателен.

\(sin\alpha =-\sqrt{1-{\left(-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}\right)}^2}=-\sqrt{1-\displaystyle \frac{25}{41}}=-\sqrt{\displaystyle \frac{16}{41}}=-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}.\)

\(tg\alpha =\displaystyle \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha \ }}=-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}:\left(-\displaystyle \frac{5\sqrt{41}}{41}\right)=\displaystyle \frac{4}{5}=0,8.\)

Ответ: 0,8.

15. Найдите \(sin\alpha ,\) если \(cos\alpha =-\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}\) и \(\alpha \in \left(\displaystyle \frac{\pi }{2};\pi \right).\)

Решение:

Как и в предыдущей задаче, выразим синус альфа из основного тригонометрического тождества:

\(sin\alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos}^2 \alpha }}.\)

Дан угол альфа, принадлежащий второй четверти, значит, его синус положителен.

\(sin\alpha =\sqrt{1-{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}\right)}^2}=\sqrt{\displaystyle \frac{81}{100}}=0,9.\)

Ответ: 0,9.

16. Найдите \(tg\alpha \), если \(sin\alpha =-\displaystyle \frac{4\sqrt{41}}{41}\) и \(\alpha \in \left(\pi ;\displaystyle \frac{3\pi }{2}\right).\)

Решение:

Аналогично предыдущим задачам, выразим косинус альфа из основного тригонометрического тождества:

\(cos\alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin}^2 \alpha \ }}.\)

Угол альфа в третьей четверти, значит, его косинус отрицателен.

\(cos\alpha =-\sqrt{1-\displaystyle \frac{16}{41}}=-\sqrt{\displaystyle \frac{25}{41}}=-\displaystyle \frac{5}{\sqrt{41}}\), тогда \(tg\alpha =\displaystyle \frac{{\sin \alpha \ }}{{\cos \alpha \ }}=-\displaystyle \frac{4}{\sqrt{41}}\div \left(-\displaystyle \frac{5}{\sqrt{41}}\right)=\displaystyle \frac{4}{5}=0,8.\)

Ответ: 0,8.

17. Найдите значение выражения: — \(42tg 34{}^\circ \cdot tg  56{}^\circ +6.\)

Решение:

\(-42tg34{}^\circ \cdot tg {56}^\circ+6 =-42tg 34{}^\circ \cdot tg \left(90{}^\circ -34{}^\circ \right)+6=-42tg 34{}^\circ \cdot ctg 34{}^\circ +6=-42+6=-36.\)

Мы применили формулу приведения, а также то, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, и их произведение равно единице.

Ответ: -42.

18. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{24}{sin^{2}127^{\circ }+4+sin^{2}217^{\circ }}.\)

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

\(\displaystyle \frac{24}{sin^{2}127^{\circ }+4+sin^{2}217^{\circ }}=\frac{24}{sin^{2}(90^{\circ }+37^{\circ })+4+sin^{2}(180^{\circ }+37^{\circ })}=\)

\(=\displaystyle \frac{24}{{{\cos}^2 37{}^\circ +4+{{\sin}^2 37{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{24}{5}=4,8.\)

Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.

Ответ: 4,8.

19. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\sin 68{}^\circ \ }\cdot {\sin 22{}^\circ \ }}.\)

Решение:

Так как \(68{}^\circ +22{}^\circ =90{}^\circ ,\) то заменим \({\sin 68{}^\circ } \) на \(\ {\cos 22 }^\circ\) по формуле приведения и воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\(sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha.\)

\(\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\sin 68{}^\circ \ }{\sin 22{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{2{\sin 136{}^\circ \ }}{{\cos 22{}^\circ \ }{\sin 22{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{4{\sin \left(180{}^\circ -44{}^\circ \right)\ }}{{\sin 44{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{4{\sin 44{}^\circ \ }}{{\sin 44{}^\circ \ }}=4.\)

Ответ: 4.

20. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{21\left({{\sin}^2 66{}^\circ \ }-{{\cos}^2 66{}^\circ \ }\right)}{{\cos 132{}^\circ \ }}.\)

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\({\cos 2\alpha ={{\cos}^2 \alpha \ }-{{\sin}^2 \alpha. \ }\ }\)

\(\displaystyle \frac{21\left({{\sin}^2 66{}^\circ \ }-{{\cos}^2 66{}^\circ \ }\right)}{{\cos 132{}^\circ \ }}=\displaystyle \frac{-21{\cos 132{}^\circ \ }}{{\cos 132{}^\circ \ }}=-21.\)

Ответ: -21.

21. Найдите значение выражения: \(\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{8}\cdot {\cos \displaystyle \frac{7\pi }{8}} }.\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\({\sin 2\alpha =2{\sin \alpha \ }{\cos \alpha .\ }\ }\)

\(\sqrt{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{8}\ }\cdot {\cos \displaystyle \frac{7\pi }{8}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}{\sin \displaystyle \frac{7\pi }{4}\ }\ }=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}{\sin \left(2\pi -\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)\ }=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\sin \displaystyle \frac{\pi }{4}=\)

\(= -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-0,5.\)

Ответ: -0,25.

22. Найдите значение выражения: \(3\sqrt{2}{{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}.\ }\)

Решение:

\(3\sqrt{2}{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ -3\sqrt{2}{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }=3\sqrt{2}\left({{\cos}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }-{{\sin}^2 \displaystyle \frac{9\pi }{8}\ }\right)=3\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{9\pi }{4}\ }=\)

\(=3\sqrt{2}\cos \left(2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{2}\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}=3\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=3.\)

И здесь тоже была формула косинуса двойного угла, но только в другой форме.

Ответ: 3.

23. Найдите значение выражения: \(26\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }{\cos \displaystyle \frac{4\pi }{3}.\ }\)

Решение:

\(26\sqrt{2}{\cos \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }{\cos \displaystyle \frac{4\pi }{3}\ }=26\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\displaystyle \frac{1}{2}\right)=-13.\)

А здесь мы просто вычислили косинус и синус табличного угла \(\displaystyle \frac{\pi }{4}.\)

Ответ: -13.

24. Найдите значение выражения: \(18\sqrt{2}tg\displaystyle \frac{\pi }{4}{\sin \displaystyle \frac{\pi }{4}\ }.\ \)

Решение:

\(18\sqrt{2}\cdot tg\displaystyle \frac{\pi }{4}{\cdot \sin \displaystyle \frac{\pi }{4}=\ }18\sqrt{2}\cdot 1\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=18.\)

Это задача на вычисление тригонометрических функций для табличного угла \(\displaystyle \frac{\pi }{4}.\ \) Если этот угол выразить в градусах, то он равен \(45\) градусов.

Ответ: 18.

25. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{2{\cos \left(2\pi -\beta \right)\ }-3{\sin \left(-\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{2{\cos \left(\beta -3\pi \right)\ }}.\)

Решение:

Используя формулы приведения, получим:

\(\displaystyle \frac{2{\cos \left(2\pi -\beta \right)\ }-3{\sin \left(-\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{2{\cos \left(\beta -3\pi \right)\ }}=\displaystyle \frac{2{\cos \beta \ }+3{\cos \beta \ }}{-2{\cos \beta \ }}=-\displaystyle \frac{5{\cos \beta \ }}{2{\cos \beta \ }}=-2,5.\)

Лайфхак: если вам сложно запомнить формулы приведения, вы можете вместо них использовать формулы косинуса разности и синуса суммы.

Ответ: -2,5.

Посмотрим, как формулы тригонометрии применяются при решении уравнений.

26. Решите уравнение: \({{\sin}^2 \left(\displaystyle \frac{\pi }{4}-x\right)\ }={{\sin}^2 \left(\displaystyle \frac{\pi }{4}+x\right) }.\)

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: \(sin{}^2 x=\displaystyle \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}.\)

\(\displaystyle \frac{1-{\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}-2x\right)\ }}{2}=\displaystyle \frac{1-{\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2x\right)\ }}{2}\Leftrightarrow {\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}-2x\right)\ }={\cos \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2x\right)\Leftrightarrow \ }\)

\(\Leftrightarrow {-\sin 2x}={\sin 2x\Leftrightarrow 2}{\sin 2x=0}\Leftrightarrow sin2x=0 \Leftrightarrow 2x=\pi k, \ k\in Z \Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{\pi k}{2}, \ k\in Z.\)

Ответ: \(x=\displaystyle \frac{\pi k}{2}, \ k\in Z.\)

27. Решите уравнение: \({{\cos}^2 3x\ }+{{\cos}^2 4x\ }+{{\cos}^2 5x\ }=\displaystyle \frac{3}{2}.\)

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: \({{\cos}^2 x\ }=\displaystyle \frac{1+{\cos 2x\ }}{2}.\)

\({\cos}^2 3x+{\cos}^2 4x+{\cos}^2 5x=\displaystyle \frac{3}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+{\cos 6x\ }}{2}+\)

\(+\displaystyle \frac{1+{\cos 8x\ }}{2}+\displaystyle \frac{1+{\cos 10x\ }}{2}=\displaystyle \frac{3}{2}.\)

Умножим обе части на два:

\(1 + \cos6x + 1 + \cos8x + 1 + \cos10x = 3 \Leftrightarrow \cos6x + \cos8x + \cos 10x = 0.\)

Воспользуемся формулой суммы косинусов:

\(cos\alpha + cos \beta = 2cos \displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2} cos \displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2};\)

\(cos6x + cos10x = 2cos8x cos2x.\)

Уравнение примет вид:

\(2cos8x cos2x + cos8x =0.\)

Вынесем общий множитель за скобки. Теперь произведение двух множителей равно нулю, а с этим мы умеем работать.

\({\cos 8x\left(2{\cos 2x+1\ }\right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
{\cos 8x=0,\ } \\
{\cos 2x=-\displaystyle \frac{1}{2};\ } \end{array}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
8x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k, \\
2x=\pm \displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k, \; k\in Z; \end{array}
\right.\right.\ }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{\pi }{16}+\displaystyle \frac{\pi k}{8}, \\
x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k, \; k\in Z. \end{array}
\right. \)

Ответ: \(\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{\pi }{16}+\displaystyle \frac{\pi k}{8}, \\
x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi k, \; k\in Z. \end{array}
\right. \)

Все о решении тригонометрических уравнений здесь.