Центр подготовки к ЕГЭ > Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Оглавление:

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Разложение на множители
Однородные уравнения
Введение дополнительного угла
Универсальная подстановка
Учет ОДЗ уравнения
Метод оценки
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение: $2cos^{2}x+5sinx=5.$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].$

Решение:

а) Рассмотрим уравнение $2cos^{2}x+5sinx=5.$

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

$2\left ( 1-sin^{2} x\right )+5sinx=5;$

$2sin^{2}x-5sinx+3=0.$

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5t+3=0.$

Решая его, получим:

$\displaystyle t_{1}=\frac{3}{2}, t_{2}=1.$

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению $\displaystyle sinx=\frac{3}{2}.$
Оно не имеет решений, поскольку $-1\leq sinx\leq 1.$

Второй корень даёт простейшее уравнение $sinx=1.$

Решаем его: $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in Z.$

б) Найдем корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ]$ с помощью двойного неравенства.

$\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi }{2}+2\pi n\leq 2\pi .$

Разделим обе части неравенства на $\pi :$

$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}+2n\leq 2.$

Вычтем $\displaystyle \frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства:

$-1\leq 2n\leq 1,5.$

Разделим на 2 обе части неравенства:

$-0,5\leq n\leq 0,75.$

Единственное целое решение – это n=0. Тогда $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}$ — это единственный корень, который принадлежит отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].$

Ответ: $\displaystyle \frac{\pi }{2}.$

2. а) Решите уравнение: $cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ].$

Решение:

а) $cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.$

Выразим косинус двойного угла по формуле $cos2x=2cos^{2}x-1.$

Получим:

$2cos^{2}x-1-5\sqrt{2}cosx-5=0;$

$2cos^{2}x-5\sqrt{2}cosx-6 =0.$

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5\sqrt{2}t-6=0;$

$D=50+48=98.$

$\displaystyle t_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}; t_{2}=3\sqrt{2}.$

1) $\displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}; x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z;$

2) $cosx=3\sqrt{2};$ нет решений, т. к. $3\sqrt{2}\textgreater 1.$

Получим: $\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$

б) Отметим отрезок $\displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $\displaystyle x=-2\pi -\frac{3\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}.$

Ответ: а) $\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{11\pi }{4}.$

3. а) Решите уравнение: $\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ].$

Решение:

а) Чтобы упростить уравнение $\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0,$ применяем формулу приведения.

Так как $\displaystyle cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )=sinx,$ получим:

$\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}sinx-9=0.$

Сделаем замену: $sinx=t.$ Получим квадратное уравнение:

$8t^{2}-2\sqrt{3}t-9=0;$

$\displaystyle \frac{D}{4}=3+72=75.$

$\displaystyle t_1={\frac{3\sqrt{3}}{4}}; t_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Сделаем обратную замену.

1) $\displaystyle sinx={\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ — нет решений, т. к. $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}\textgreater 1.$

2) $\displaystyle sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k\in Z\\\displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\\\end{array}\right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ]$ , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений $\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k\in Z$ получим:

$\displaystyle -\frac{5\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi k\leq -\pi;$

$\displaystyle -\frac{13}{12}\leq k\leq -\frac{2}{6}.$

Так как $k\in Z,$ то $\displaystyle k=-1; x=-\frac{7\pi }{3}.$

Для серии решений $\displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ получим:

$\displaystyle -\frac{5\pi }{2}\leq -\frac{2\pi }{3}+2\pi k\leq -\pi;$ отсюда

$\displaystyle -\frac{11}{12}\leq k\leq -\frac{1}{6}.$

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi k; -\frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{7\pi }{3}.$

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение: $sin2x=cosx.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\pi; \pi ].$

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

$2sinxcosx=cosx.$

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

$2sinxcosx-cosx=0;$

$cosx\left ( 2sinx-1 \right )=0.$

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx - 1 = 0.

Получим:

$\left[\begin{array}{c}cosx=0\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\\\end{array}\right. .$

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок $[-\pi; \pi ].$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки $\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{6}; x_{2}=\frac{5\pi }{6}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{6}; \frac{5\pi }{6}.$

5. а) Решите уравнение: $sin3x+sin7x=2sin5x.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ].$

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

$2sin5xcos2x=2sin5x.$

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

$2sin5xcos2x-2sin5x=0;$

$2sin5x\left (cos2x-1 \right )=0.$

Решаем уравнение $sin5x=0$ :

$\displaystyle x=\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$

(1)

Решаем уравнение $cos2x-1=0$ :

$x=\pi n, n\in Z$

(2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а): $\displaystyle x=\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi n}{5}\leq \pi;$

$\displaystyle -\frac{5}{2}\leq {n}\leq 5.$

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

$\displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .$

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение: $sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Решение:

Используем формулу понижения степени: $\displaystyle sin^{2}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}.$

Получаем:

$\displaystyle \frac{1-cos4x}{2}+\frac{1-cos6x}{2}=1;$

$cos4x+cos6x=0.$

Применяем формулу суммы косинусов: $\displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}.$

Получаем: $2cos5x\cdot cosx=0.$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{c}cos5x=0\\cosx=0\\\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle 5x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ],$ с помощью двойного неравенства:

1) $\displaystyle 0\leq \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}\leq \frac{\pi }{2}.$

Решив неравенство, получим: $-0,5\leq n\leq 2,5.$

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения: $\displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.$

2) Из серии решений $\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z$ на указанном отрезке лежит только корень $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}.$ Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.$

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение: $sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ].$

Решение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене $a^{2}+2ab-3b^{2},$ степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на $cos^{2}x$ .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx $\neq$ 0, и мы можем поделить обе его части на $cos^{2}x$ .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: $tg^{2}x+2tgx-3=0.$

Сделаем замену: $tgx=t,$ получим:

$\left[\begin{array}{c}tgx=-3 \\tgx=1\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=-arctg3+\pi k, k\in Z \\\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right..$

б) Отметим отрезок $\displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

$x_{1}=-\pi -arctg3;$

$\displaystyle x_{2}=-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4};$

$x_{3}= -arctg3;$

$\displaystyle x_{4}=\frac{\pi }{4}.$

Ответ: а) $\displaystyle -arctg3+\pi k; \frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z.$
б) $-\pi -arctg3; \displaystyle -\frac{3\pi }{4}; -arctg3; \frac{\pi }{4}.$

8. а) Решите уравнение: $10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение $3(sin^{2}x+cos^{2}x):$

$10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3(sin^{2}x+cos^{2}x);$

$7sin^{2}x+5sinxcosx-2cos^{2}x=0.$

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на $cos^{2}x\neq 0$ .

Получим: $7tg^{2}x+5tgx-2=0.$

Выполним замену: tgx = y, получим:

$7y^{2}x+5y-2=0.$

$D=25+56=81;$

$\displaystyle y_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{14};\left[\begin{array}{c}y=-1\\\displaystyle y=\frac{2}{7}\\\end{array}\right. .$

Обратная замена: $\left[\begin{array}{c}tgx=-1\\\displaystyle tgx=\frac{2}{7}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\\\displaystyle x=arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .$

Ответом в пункте (а) являются две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ],$ с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $\displaystyle x_1=arctg\frac{2}{7}.$

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi k; arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z.$
б) $\displaystyle arctg\frac{2}{7}.$

к оглавлению ▴

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение: $\sqrt{3}sinx+cosx=2.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; 3\pi ].$

Решение:

Делим обе части на 2:

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=1.$

Замечаем, что $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{\pi }{6}; \frac{1}{2}=sin\frac{\pi }{6}:$

$\displaystyle cos\frac{\pi }{6}sinx+sin\frac{\pi }{6}cosx=1.$

В левой части получили синус суммы:

$\displaystyle sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=1,$ отсюда $\displaystyle x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}; x=\frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.$

б) Отметим на единичной окружности отрезок $[0; 3\pi ].$ и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки: $\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{3}; x_{2}=2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{3}; \frac{7\pi }{3}.$

Другой пример.

10. а) Решите уравнение: $cosx+sinx=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; \pi ].$

Решение:

Делим обе части на $\sqrt{2}:$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

$\displaystyle cos\frac{\pi }{4}cosx+sin\frac{\pi }{4}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}};$

$\displaystyle cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}};$

$\displaystyle x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n;$

$\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{2}+2\pi n; x_{2}=2\pi n, n\in Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; \pi ]$ с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и $\displaystyle \frac{\pi }{2}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n; 2\pi n, n\in Z.$
б) $0;$ $\displaystyle \frac{\pi }{2}.$

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Рассмотрим уравнение $acosx+bsinx=c.$

Делим обе части на $\sqrt{a^{2}+b^{2}}:$

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}cosx+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

$\displaystyle \left ( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}=1.$

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла $\varphi$ :

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=cos\alpha , \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=sin\alpha.$

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

$\displaystyle cos\alpha cosx+sin\alpha sinx=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

или

$\displaystyle cos(x-\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол $\alpha .$

к оглавлению ▴

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; \pi ].$

Решение:

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; \pi ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle 0\leq \frac{\pi }{4}+\pi n\leq \pi , n\in Z;$

$\displaystyle -\frac{1}{4}\leq n\leq \frac{3}{4}.$

Получим, что $\displaystyle n=0; x=\frac{\pi }{4}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{4}.$

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

к оглавлению ▴

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ].$

Решение:

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а): .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle \frac{-\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi n\leq \frac{3\pi }{2};$

$\displaystyle -\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{11}{12}.$

Неравенство имеет единственное целое решение $n=0.$

Тогда $\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}.$

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}.$

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

к оглавлению ▴

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение:

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение:

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

$\left\{\begin{matrix}sin^{5}x=sin^{2}x\\cos^{8}x=cos^{2}x\\\end{matrix}\right. .$

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

$\left\{\begin{matrix}sin^{2}x(sin^{3}x-1)=0 \\cos^{2}x(cos^{6}x-1)=0 \\\end{matrix}\right. .$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{c}sinx=0\\sinx=1\\\end{array}\right. \\\left[\begin{array}{c}cosx=0\\cosx=1\\cosx=-1\\\end{array}\right. \\\end{matrix}\right. .$

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Ответ: $\displaystyle 2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \pi +2\pi n, n\in Z.$

к оглавлению ▴

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение:

Сделаем замену .

Как выразить через t? Имеем:

откуда . Получаем:

$t^{2}-1=t+1;$

$t^{2}-t-2=0;$

$t_{1}=-1; t_{2}=2.$

$\left[\begin{array}{c}cosx+sinx=-1\\cosx+sinx=2\\\end{array}\right. .$

Начнем со второго уравнения.

Так как $-1\leq sinx\leq 1$ и $-1\leq cosx\leq 1,$ то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ и получим:

$\displaystyle cosx+sinx=-1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow cosx\cdot cos\frac{\pi }{4}+sinx\cdot sin\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z;$

$\left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z\\x=-\pi +2\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .$

Ответ: $\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k; -\pi +2\pi k, k\in Z.$

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

$\left[\begin{array}{c}sinx=0\\4sin^{2}x+4sinx-3=0\\\end{array}\right. .$

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

Получим: $\displaystyle 4t^{2}+4t-3=0; D=16+48=64; t=-\frac{3}{2}$ или $\displaystyle t=\frac{1}{2}.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{c}\displaystyle sinx=-\frac{3}{2}\\\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x\in \O \\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\end{array}\right. .$

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида $x=\pi k, k\in Z.$

Ответ: $\displaystyle \pi k, k\in Z; \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение:

Выделяем полный квадрат!

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Разложение на множители

Однородные уравнения

Введение дополнительного угла

Универсальная подстановка

Учет ОДЗ уравнения

Метод оценки

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

Это полезно

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения