Тригонометрические уравнения

А. Г. Малкова, И. В. Яковлев. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах
их решения. Эта тема — одна из самых сложных для абитуриентов. Тригонометрические уравнения
встречаются в части С вариантов ЕГЭ, а также в заданиях вступительных экзаменов в
ВУЗы.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются
универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются
специфическими именно для тригонометрии, и о них, как правило, рассказывает абитуриенту
репетитор.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Их нужно знать наизусть.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к
простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Простейшие
тригонометрические уравнения мы уже умеем решать.

Теперь — сами методы.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных,
тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение
нужно сначала преобразовать.

1. Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

,

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению

. Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение Решаем его: Это и
есть ответ.

2. Решить уравнение

Здесь нужно применить формулу косинуса двойного угла. Какую именно? Судя по уравнению —
ясно, что ту, которая с косинусом!

,

Теперь замена и. . . дальше вы знаете.

3. Бывает, что оба рассмотренных выше метода нужно комбинировать. Например:

Здесь всё подчиняется синусу. Именно через него выражаем косинус двойного угла, а
выражаем из основного тригонометрического тождества:

Дальше понятно.

Разложение на множители

Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит
произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух
или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен
нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

1. Начнём с уравнения

Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль,
и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель — за
скобки:

,

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и
Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.

Ответ:

2. Рассмотрим уравнение

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

,

Решаем уравнение :

Решаем уравнение :

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в
данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы
получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ:

3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение
надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть —
в сумму косинусов:

Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:

Здесь используем формулу понижения степени:

(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:

и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:

Переносим косинус влево и применяем формулу приведения :

Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:

Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:

Цель достигнута.

Однородные уравнения

Рассмотрим уравнение:

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене

степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней
входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для
однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на
. Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен
нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении
однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному
тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения
удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

,

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию
изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :

,

,

и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:

Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!

,

,

,

,

откуда

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено
другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных
учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются
значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°
.

1. Рассмотрим уравнение

Делим обе части на 2:

Замечаем, что
:

В левой части получили синус суммы:

,

откуда и

2. Другой пример:

Делим обе части на

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

,

,

,

3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение

Делим обе части на
:

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе
и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла
:

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

,

или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод
называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является
угол .

4. Снова решим уравнение

Делим обе части на :

Существует угол такой, что
. Например,
. Получаем:

,

,

,

,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в
качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это
одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию —
тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не
определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки
приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение

Выражаем , используя универсальную подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

,

Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение

А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно
подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.

Теперь обозначаем
и применяем универсальную подстановку:

После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:

,

,

Следовательно, и .

Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3. Рассмотрим уравнение

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении,
как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие
значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

,

,

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать
остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n,
5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь
n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса
одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две
системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность
косинусов:

,

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение

также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует,
что . Следовательно, , причём
равенство возможно в том и только в том случае, когда

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,

,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия
не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением
исходного уравнения служит только серия .

Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно
знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного
угла:

,

,

,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить
через t? Имеем:

,

откуда . Получаем:

,

,

,

Как действовать дальше, мы знаем.

3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать
их на экзамене):

,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

,

,

Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!

,

,

,

,

,

,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно
обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или
иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.