Тригонометрические уравнения
В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.
В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.
Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.
Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.
Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.
Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.
О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.
Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.
к оглавлению ▴
Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.
1. а) Решите уравнение: 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку ![\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%202%5Cpi%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
а) Рассмотрим уравнение 
Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:


Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению 
Оно не имеет решений, поскольку 
Второй корень даёт простейшее уравнение 
Решаем его: 
б) Найдем корни уравнения на отрезке
с помощью двойного неравенства.

Разделим обе части неравенства на 

Вычтем
из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда
— это единственный корень, который принадлежит отрезку ![\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%202%5Cpi%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Ответ: 
2. а) Решите уравнение: 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![\displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ]. \displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-3%5Cpi%20%3B%20-%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
а) 
Выразим косинус двойного угла по формуле 
Получим:


Заменяя cosx на t, приходим к квадратному уравнению:



1) 

2)
нет решений, т. к. 
Получим: 
б) Отметим отрезок
и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка 
Ответ: а) 
б) 
3. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![\displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B5%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%20-%5Cpi%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
а) Чтобы упростить уравнение
применяем формулу приведения.
Так как
получим:

Сделаем замену:
Получим квадратное уравнение:



Сделаем обратную замену.
1)
— нет решений, т. к. 
2) 
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
, с помощью двойного неравенства.
Для серии решений
получим:


Так как
то 
Для серии решений
получим:
отсюда

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.
Ответ: а) 
б) 
к оглавлению ▴
Разложение на множители
Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.
4. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![[-\pi; \pi ]. [-\pi; \pi ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-%5Cpi%3B%20%5Cpi%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:


Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx - 1 = 0.
Получим:

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).
б) Отметим отрезок
и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 
Ответ: а) 
б) 
5. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%20%5Cpi%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:


Решаем уравнение
:
|
 |
(1) |
Решаем уравнение
:
|
 |
(2) |
Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ в пункте (а): 
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью двойного неравенства:


Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

Ответ: а) 
б) 
6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ]. \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%200%3B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Используем формулу понижения степени: 
Получаем:


Применяем формулу суммы косинусов: 
Получаем: 
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью двойного неравенства:
1) 
Решив неравенство, получим: 
Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.
Им соответствуют решения: 
2) Из серии решений
на указанном отрезке лежит только корень
Но он уже входит в первую серию решений.
Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.
Ответ: а) 
б) 
к оглавлению ▴
Однородные уравнения
7. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![\displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Такое уравнение называется однородным.
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.
Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на
.
Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx
0, и мы можем поделить обе его части на
.
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: 
Сделаем замену:
получим:

б) Отметим отрезок
и найденные серии решений на единичной окружности.
О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:




Ответ: а) 
б) 
8. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ]. \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%200%3B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 


Получили однородное уравнение второй степени.
Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на
.
Получим: 
Выполним замену: tgx = y, получим:



Обратная замена: 
Ответом в пункте (а) являются две серии решений.
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка 
Ответ: а) 
б) 
к оглавлению ▴
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.
9. а) Решим уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![[0; 3\pi ]. [0; 3\pi ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B0%3B%203%5Cpi%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Делим обе части на 2:

Замечаем, что 

В левой части получили синус суммы:
отсюда 
б) Отметим на единичной окружности отрезок
и найденные серии решений.
Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки: 
Ответ: а) 
б) 
Другой пример.
10. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![[0; \pi ]. [0; \pi ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B0%3B%20%5Cpi%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Делим обе части на 

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:




б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и 
Ответ: а) 
б)

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.
Рассмотрим уравнение 
Делим обе части на 
|
 |
(4) |
Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла
:

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол 
к оглавлению ▴
Универсальная подстановка
Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.
Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при
. Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
11. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![[0; \pi ]. [0; \pi ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B0%3B%20%5Cpi%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Выражаем
, используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену
:

Получаем кубическое уравнение:


Оно имеет единственный корень
.
Стало быть,
, откуда
.
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало
.
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью двойного неравенства:


Получим, что 
Ответ: а) 
б) 
Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.
к оглавлению ▴
Учет ОДЗ уравнения
12. а) Рассмотрим уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке ![\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ]. \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%3B%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1)
Решение:
Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:
,
,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством
. Серия
не удовлетворяет этому неравенству, а серия
удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия
.
Ответ в пункте (а):
.
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
с помощью двойного неравенства:


Неравенство имеет единственное целое решение 
Тогда 
Ответ: а) 
б) 
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.
Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.
к оглавлению ▴
Метод оценки
В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки
.
13. Рассмотрим уравнение: 
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
;
;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где
. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: 
14. Рассмотрим уравнение: 
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.
Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.
Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.
Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.
15. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок.
В самом деле, из неравенства
следует, что
.
Следовательно,
, причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.
Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Каждое уравнение равносильно совокупности:

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.
Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.
Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.
Ответ: 
к оглавлению ▴
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения
16. Рассмотрим такое уравнение: 
Сделаем замену
.
Как выразить
через t? Имеем:
,
откуда
. Получаем:




Начнем со второго уравнения.
Так как
и
то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.
Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.
Для этого разделим обе части уравнения на
и получим:




Ответ: 
17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно
:
,
,

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.
Получим:
или 
Обратная замена:

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида 
Ответ: 
Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.
18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?
Рассмотрим уравнение: 
Выделяем полный квадрат!
;
;
;
;
;
;

19. А как быть с суммой шестых степеней?
Рассмотрим такое уравнение: 
Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов:
.
Получим:
;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.
В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023