Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:
|
 |
(3) |
Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений вида
. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.
1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что
:

В левой части получили синус суммы:
,
откуда
и 
2. Другой пример:
Делим обе части на 
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:



3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на
:
|
 |
(4) |
Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла
:

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,
или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол
.
4. Снова решим уравнение
Делим обе части на
:
Существует угол
такой, что
. Например,
. Получаем:
,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!
Универсальная подстановка
Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при
. Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
1. Решим уравнение
Выражаем
, используя универсальную подстановку:
Делаем замену
:
Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень
. Стало быть,
, откуда
.
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало
.
2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем
в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем
и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:


Следовательно,
и
.
Ответ:
.
Метод оценки
В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки
.
3. Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:


Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где
. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:
Ответ:
.
4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.
Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.
5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств
следует, что
. Следовательно,
, причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.
Учёт тригонометрических неравенств
Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:
,
,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством
. Серия
не удовлетворяет этому неравенству, а серия
удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия
.
Ответ:
.
Специальные приёмы
В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.
1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
,
,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.
2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену
. Как выразить
через t? Имеем:
,
откуда
. Получаем:
,
,
,

Как действовать дальше, мы знаем.
3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно
:
,
,

Дальше всё понятно.
4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!
,
,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов:
.
Получим:
,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.
В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.