Slider

Тригонометрические уравнения

А. Г. Малкова, И. В. Яковлев. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах
их решения. Эта тема — одна из самых сложных для абитуриентов. Тригонометрические уравнения
встречаются в части С вариантов ЕГЭ, а также в заданиях вступительных экзаменов в
ВУЗы.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются
универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются
специфическими именно для тригонометрии, и о них, как правило, рассказывает абитуриенту
репетитор.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Их нужно знать наизусть.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к
простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Простейшие
тригонометрические уравнения мы уже умеем решать.

Теперь — сами методы.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных,
тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение
нужно сначала преобразовать.

1. Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

,

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению

. Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение Решаем его: Это и
есть ответ.

2. Решить уравнение

Здесь нужно применить формулу косинуса двойного угла. Какую именно? Судя по уравнению —
ясно, что ту, которая с косинусом!

,

Теперь замена и. . . дальше вы знаете.

3. Бывает, что оба рассмотренных выше метода нужно комбинировать. Например:

Здесь всё подчиняется синусу. Именно через него выражаем косинус двойного угла, а
выражаем из основного тригонометрического тождества:

Дальше понятно.

Разложение на множители

Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит
произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух
или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен
нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

1. Начнём с уравнения

Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль,
и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель — за
скобки:

,

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и
Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.

Ответ:

2. Рассмотрим уравнение

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

,

Решаем уравнение :

(1)

Решаем уравнение :

(2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в
данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы
получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ:

3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение
надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть —
в сумму косинусов:

,
,
,

Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:

Здесь используем формулу понижения степени:

(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:

,
,

и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:

,

Переносим косинус влево и применяем формулу приведения :

,

Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:

Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:

,
,

Цель достигнута.

Однородные уравнения

Рассмотрим уравнение:

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене

степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней
входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для
однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на
. Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен
нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении
однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному
тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения
удовлетворяет условию
, и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

,

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию
изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :

,

,

и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:

Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!

,

,

,

,

откуда

(3)

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено
другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных
учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются
значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°
.

1. Рассмотрим уравнение

Делим обе части на 2:

Замечаем, что
:

В левой части получили синус суммы:

,

откуда и

2. Другой пример:

Делим обе части на

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

,

,

,

3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение

Делим обе части на
:

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе
и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла
:

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

,

или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод
называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является
угол .

4. Снова решим уравнение

Делим обе части на :

Существует угол такой, что
. Например,
. Получаем:

,

,

,

,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в
качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это
одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию —
тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не
определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки
приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение

Выражаем , используя универсальную подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

,

Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение

А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно
подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.

Теперь обозначаем
и применяем универсальную подстановку:

После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:

,

,

Следовательно, и .

Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3. Рассмотрим уравнение

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении,
как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие
значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

,

,

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать
остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n,
5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь
n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса
одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две
системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность
косинусов:

,

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение

также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует,
что . Следовательно, , причём
равенство возможно в том и только в том случае, когда

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,

,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия
не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением
исходного уравнения служит только серия .

Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно
знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного
угла:

,

,

,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить
через t? Имеем:

,

откуда . Получаем:

,

,

,

Как действовать дальше, мы знаем.

3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать
их на экзамене):

,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

,

,

Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!

,

,

,

,

,

,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно
обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или
иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.