Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Тригонометрические уравнения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение: 2cos^{2}x+5sinx=5.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].

Решение:

а) Рассмотрим уравнение 2cos^{2}x+5sinx=5.

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

2\left ( 1-sin^{2} x\right )+5sinx=5;

2sin^{2}x-5sinx+3=0.

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

2t^{2}-5t+3=0.

Решая его, получим:

\displaystyle t_{1}=\frac{3}{2}, t_{2}=1.

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению \displaystyle sinx=\frac{3}{2}.
Оно не имеет решений, поскольку -1\leq sinx\leq 1.

Второй корень даёт простейшее уравнение sinx=1.

Решаем его: \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in Z.

б) Найдем корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi }{2}+2\pi n\leq 2\pi .

Разделим обе части неравенства на \pi :

\displaystyle -\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}+2n\leq 2.

Вычтем \displaystyle \frac{1}{2} из обеих частей неравенства:

-1\leq 2n\leq 1,5.

Разделим на 2 обе части неравенства:

-0,5\leq n\leq 0,75.

Единственное целое решение – это n=0. Тогда \displaystyle x=\frac{\pi }{2} — это единственный корень, который принадлежит отрезку \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].

Ответ: \displaystyle \frac{\pi }{2}.

2. а) Решите уравнение: cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ].

Решение:

а) cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.

Выразим косинус двойного угла по формуле cos2x=2cos^{2}x-1.

Получим:

2cos^{2}x-1-5\sqrt{2}cosx-5=0;

2cos^{2}x-5\sqrt{2}cosx-6 =0.

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

2t^{2}-5\sqrt{2}t-6=0;

D=50+48=98.

\displaystyle t_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}; t_{2}=3\sqrt{2}.

1) \displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}; x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z;

2) cosx=3\sqrt{2}; нет решений, т. к. 3\sqrt{2}\textgreater 1.

Получим: \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.

б) Отметим отрезок \displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ] и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка \displaystyle x=-2\pi -\frac{3\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}.

Ответ: а) \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.
б) \displaystyle -\frac{11\pi }{4}.

3. а) Решите уравнение: \displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ].

Решение:

а)  Чтобы упростить уравнение \displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0, применяем формулу приведения.

Так как \displaystyle cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )=sinx, получим:

\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}sinx-9=0.

Сделаем замену:  sinx=t.  Получим квадратное уравнение:

8t^{2}-2\sqrt{3}t-9=0;

\displaystyle \frac{D}{4}=3+72=75.

\displaystyle t_1={\frac{3\sqrt{3}}{4}}; t_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Сделаем обратную замену.

1) \displaystyle sinx={\frac{3\sqrt{3}}{4}} — нет решений, т. к.  \displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}\textgreater 1.

2) \displaystyle sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k\in Z\\\displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\\\end{array}\right. .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ], с помощью двойного неравенства.

Для серии решений \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k\in Z получим:

\displaystyle -\frac{5\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi k\leq -\pi;

\displaystyle -\frac{13}{12}\leq k\leq -\frac{2}{6}.

Так как k\in Z, то \displaystyle k=-1; x=-\frac{7\pi }{3}.

Для серии решений \displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k получим:

\displaystyle -\frac{5\pi }{2}\leq -\frac{2\pi }{3}+2\pi k\leq -\pi; отсюда

\displaystyle -\frac{11}{12}\leq k\leq -\frac{1}{6}.

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а) \displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi k; -\frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.
б) \displaystyle -\frac{7\pi }{3}.

 

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение: sin2x=cosx.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-\pi; \pi ].

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

2sinxcosx=cosx.

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

2sinxcosx-cosx=0;

cosx\left ( 2sinx-1 \right )=0.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx - 1 = 0.

Получим:

\left[\begin{array}{c}cosx=0\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\\\end{array}\right. .

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок [-\pi; \pi ]. и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки \displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{6}; x_{2}=\frac{5\pi }{6}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.
б) \displaystyle \frac{\pi }{6}; \frac{5\pi }{6}.

5. а) Решите уравнение: sin3x+sin7x=2sin5x.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ].

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

2sin5xcos2x=2sin5x.

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

2sin5xcos2x-2sin5x=0;

2sin5x\left (cos2x-1 \right )=0.

Решаем уравнение sin5x=0:

\displaystyle x=\frac{\pi n}{5}, n\in Z. (1)

Решаем уравнение cos2x-1=0:

x=\pi n, n\in Z (2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а): \displaystyle x=\frac{\pi n}{5}, n\in Z.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ], с помощью двойного неравенства:

\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi n}{5}\leq \pi;

\displaystyle -\frac{5}{2}\leq {n}\leq 5.

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

\displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi n}{5}, n\in Z.
б) \displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение:sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].

Решение:

Используем формулу понижения степени: \displaystyle sin^{2}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}.

Получаем:

\displaystyle \frac{1-cos4x}{2}+\frac{1-cos6x}{2}=1;

cos4x+cos6x=0.

Применяем формулу суммы косинусов: \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}.

Получаем: 2cos5x\cdot cosx=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{array}{c}cos5x=0\\cosx=0\\\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle 5x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ], с помощью двойного неравенства:

1) \displaystyle 0\leq \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}\leq \frac{\pi }{2}.

Решив неравенство, получим: -0,5\leq n\leq 2,5.

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения: \displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.

2) Из серии решений \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z на указанном отрезке лежит только корень \displaystyle x=\frac{\pi }{2}. Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z.
б) \displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение: sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ].

Решение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a^{2}+2ab-3b^{2}, степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на cos^{2}x.

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx \neq 0, и мы можем поделить обе его части на cos^{2}x.

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: tg^{2}x+2tgx-3=0.

Сделаем замену: tgx=t, получим:

\left[\begin{array}{c}tgx=-3 \\tgx=1\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=-arctg3+\pi k, k\in Z \\\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right..

б) Отметим отрезок \displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ] и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки:

x_{1}=-\pi -arctg3;

\displaystyle x_{2}=-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4};

x_{3}= -arctg3;

\displaystyle x_{4}=\frac{\pi }{4}.

Ответ: а) \displaystyle -arctg3+\pi k; \frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z.
б) -\pi -arctg3; \displaystyle -\frac{3\pi }{4}; -arctg3; \frac{\pi }{4}.

8. а) Решите уравнение: 10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 3(sin^{2}x+cos^{2}x):

10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3(sin^{2}x+cos^{2}x);

7sin^{2}x+5sinxcosx-2cos^{2}x=0.

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на cos^{2}x\neq 0.

Получим: 7tg^{2}x+5tgx-2=0.

Выполним замену: tgx = y, получим:

7y^{2}x+5y-2=0.

D=25+56=81;

\displaystyle y_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{14};\left[\begin{array}{c}y=-1\\\displaystyle y=\frac{2}{7}\\\end{array}\right. .

Обратная замена: \left[\begin{array}{c}tgx=-1\\\displaystyle tgx=\frac{2}{7}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\\\displaystyle x=arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .

Ответом в пункте (а) являются  две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ], с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и  найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка \displaystyle x_1=arctg\frac{2}{7}.

Ответ: а) \displaystyle  -\frac{\pi }{4}+\pi k; arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z.
б) \displaystyle arctg\frac{2}{7}.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение: \sqrt{3}sinx+cosx=2.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [0; 3\pi ].

Решение:

Делим обе части на 2:

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=1.

Замечаем, что \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{\pi }{6}; \frac{1}{2}=sin\frac{\pi }{6}:

\displaystyle cos\frac{\pi }{6}sinx+sin\frac{\pi }{6}cosx=1.

В левой части получили синус суммы:

\displaystyle sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=1, отсюда \displaystyle x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}; x=\frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.

б) Отметим на единичной окружности отрезок [0; 3\pi ]. и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.


Видим, что данному отрезку принадлежат точки: \displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{3}; x_{2}=2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.
б) \displaystyle \frac{\pi }{3}; \frac{7\pi }{3}.

Другой пример.

10. а) Решите уравнение: cosx+sinx=1.
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [0; \pi ].

Решение:

Делим обе части на \sqrt{2}:

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

\displaystyle cos\frac{\pi }{4}cosx+sin\frac{\pi }{4}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}};

\displaystyle cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}};

\displaystyle x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n;

\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{2}+2\pi n; x_{2}=2\pi n, n\in Z.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; \pi ] с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки 0 и \displaystyle \frac{\pi }{2}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n; 2\pi n, n\in Z.
б) 0; \displaystyle \frac{\pi }{2}.

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Рассмотрим  уравнение acosx+bsinx=c.

Делим обе части на \sqrt{a^{2}+b^{2}}:

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}cosx+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. (4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

\displaystyle \left ( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}=1.

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=cos\alpha , \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=sin\alpha.

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

\displaystyle cos\alpha cosx+sin\alpha sinx=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

или

\displaystyle cos(x-\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол \alpha .

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки. 

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [0; \pi ].

Решение:

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену  :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; \pi ],   с помощью двойного неравенства:

\displaystyle 0\leq \frac{\pi }{4}+\pi n\leq \pi , n\in Z;

\displaystyle -\frac{1}{4}\leq n\leq \frac{3}{4}.

Получим, что \displaystyle n=0; x=\frac{\pi }{4}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.
б) \displaystyle \frac{\pi }{4}.

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ].

Решение:

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,

,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а):  .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ], с помощью двойного неравенства:

\displaystyle \frac{-\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi n\leq \frac{3\pi }{2};

\displaystyle -\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{11}{12}.

Неравенство имеет единственное целое решение n=0.

Тогда \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}.

Ответ: а) \displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.
б) \displaystyle -\frac{\pi }{3}.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение: 

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение: 

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение  также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства  следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

\left\{\begin{matrix}sin^{5}x=sin^{2}x\\cos^{8}x=cos^{2}x\\\end{matrix}\right. .

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки ,  получим:

\left\{\begin{matrix}sin^{2}x(sin^{3}x-1)=0 \\cos^{2}x(cos^{6}x-1)=0 \\\end{matrix}\right. .

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{c}sinx=0\\sinx=1\\\end{array}\right. \\\left[\begin{array}{c}cosx=0\\cosx=1\\cosx=-1\\\end{array}\right. \\\end{matrix}\right. .

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Ответ: \displaystyle 2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \pi +2\pi n, n\in Z.

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение: 

Сделаем замену .

Как выразить  через t? Имеем:

,

откуда . Получаем:

t^{2}-1=t+1;

t^{2}-t-2=0;

t_{1}=-1; t_{2}=2.

\left[\begin{array}{c}cosx+sinx=-1\\cosx+sinx=2\\\end{array}\right. .

Начнем со второго уравнения.

Так как -1\leq sinx\leq 1 и  -1\leq cosx\leq 1, то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на \sqrt{2} и получим:

\displaystyle cosx+sinx=-1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow cosx\cdot cos\frac{\pi }{4}+sinx\cdot sin\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z;

\left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z\\x=-\pi +2\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .

Ответ: \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k; -\pi +2\pi k, k\in Z.

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

,

,

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{array}{c}sinx=0\\4sin^{2}x+4sinx-3=0\\\end{array}\right. .

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

Получим: \displaystyle 4t^{2}+4t-3=0; D=16+48=64; t=-\frac{3}{2} или  \displaystyle t=\frac{1}{2}.

Обратная замена:

\left[\begin{array}{c}\displaystyle sinx=-\frac{3}{2}\\\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x\in \O \\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\end{array}\right. .

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида x=\pi k, k\in Z.

Ответ: \displaystyle \pi k, k\in Z; \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение: 

Выделяем полный квадрат!

;

;

;

;

;

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение: 

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

 

 

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2023 по математике
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Математика преподавателям
Решение задач с параметрами,
17 задание ЕГЭ