Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \(m=\displaystyle \frac{a+b}{2}\).

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: \(EF=GH,\ \; FG=\displaystyle \frac{a-b}{2}\).

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: \(PQ=MN\).

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: \(\ S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h\).

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: \(S=mh\).

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: \(S=\displaystyle \frac{1}{2}d_1d_2{\sin \alpha \ }\), где \(d_1=AC,\) \(d_2=BD,\) \(\alpha =\angle BOA.\) (Вместо \(\angle BOA\) можно брать \(\angle BOC.)\)

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S=pr\). Таким образом, \(S=\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}\cdot r\).

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны \(\sqrt{2}\).

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины \(B\). Так как сторона квадратной клетки равна \(\sqrt{2}\) , то по теореме Пифагора получаем, что \(h=2\).

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол \({150}^{{}^\circ }\). Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы \(\angle \)ABC и \(\angle \)BAH — односторонние, их сумма равна \({180}^{{}^\circ }\), и тогда \(\angle \)BAH \(=30{}^\circ .\ \)

Из \(\vartriangle \)ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в \({30}^{{}^\circ }\), равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна \(S=\displaystyle \frac{6+18}{2}\cdot 3,5=42\).

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из \(\vartriangle \)ACD находим, что \(x=5.\)

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и \(PQ\parallel BC\). Отсюда получаем, что \(M-\) середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

\(x=MN=PQ-PM-NQ=0,5.\)

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть \(\ \ a+b+c=15.\)

Периметр трапеции равен

\(a+b+4+c+4=\left(a+b+c\right)+8=15+8=23.\)

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол \(63{}^\circ \). Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть \(\angle \)CAD \(=\alpha \), тогда \(\angle \)CAB \(=\alpha \) и \(\angle \)BAD \(=2\alpha \), так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов \(\vartriangle ACD=3\alpha +63{}^\circ =180{}^\circ \), откуда
\(\ \alpha =39{}^\circ .\)
Итак, \(\angle D=78{}^\circ \) , а\(\angle BCD=180{}^\circ -78{}^\circ =102{}^\circ \).

Ответ: \(78{}^\circ ,\ 102{}^\circ \).

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и \(h^2={25}^2-7^2=\left(25-7\right)\left(25+7\right)=18\cdot 32.\) Отсюда, \(h=\sqrt{18\cdot 32}=\sqrt{9\cdot 64}=3\cdot 8=24.\)

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен \({135}^\circ \), а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом \(45{}^\circ \).

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна \(\displaystyle \frac{2+4,8}{2}\cdot 1,4=4,76\).

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м\(^2,\) а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции \(S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h\), то \(60=\displaystyle \frac{8+12}{2}\cdot h\), откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны \(a.\) Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE \(\parallel \) BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что \(S_{ABCD}=S_{ACE}=\displaystyle \frac{1}{2}a^2\).

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{2}a^2\)

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен \(60{}^\circ \).

Решение:

По условию задачи в прямоугольном \(\vartriangle \)ACD

\(\angle \)D \(=60{}^\circ \), следовательно, \(\angle \)CAD \(\ =30{}^\circ \).

Так как AC — биссектриса, то \(\angle \)CAB \(=30{}^\circ \), откуда \(\angle \)DAB \(=60{}^\circ \), то есть, трапеция равнобедренная. \(\angle \)BCA \(=\angle \)CAD \(=30{}^\circ \) как накрест лежащие, поэтому \(\vartriangle \)ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон \(\vartriangle \)ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном \(\vartriangle \)ACD против угла в \(30{}^\circ \) лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом \(60{}^\circ \) меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что \(\vartriangle \)BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и \(\vartriangle \)BCM подобен \(\vartriangle \)ADM c коэффициентом \(k=12:2=6\).

Пусть\(\ S_{BCM}\)\(=S_1\), \(S_{ADM}=S_2\), тогда

\(S_2=k^2\cdot S_1=36{\cdot S}_1. \)

Площадь трапеции будет равна

\(S_{ABCD}=S_2-S_1=36\ S_1-S_1=35\ S_1=35\ S_{BCM}.\)

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна \(90{}^\circ \). Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна \(90{}^\circ \), то \(\angle BEC=90{}^\circ \), поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит \(FG=EG-EF=AG-BF=5-3=2.\)

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна \(S=mh\), а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть \(h=2r, \) то \(24=10\cdot 2r\), откуда \(r=1,2\).

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

\(AB+CD=32:2=16,\) откуда \(AB=16-10=6.\)

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому \(r=3\).

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

\(m=\displaystyle \frac{a+b}{2}=\displaystyle \frac{c+d}{2}=\displaystyle \frac{40}{2}=20.\)

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна \(180{}^\circ \). Она делится на три равные части по \(60{}^\circ .\)

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна \(120{}^\circ \), отсюда \(\angle ADC=60{}^\circ \) и, стало быть, \(\angle C=120{}^\circ =\angle B.\)

Ответ: 120.