Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Трапеция и ее свойства

Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right) \cdot h$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

$m= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right)$

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер $1$ и $2$ ), и более интересные.

$1$ . Найдите высоту трапеции $ABC \mkern -2mu D$ , опущенную из вершины $B$ , если стороны квадратных клеток равны $\sqrt{2}$ .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины $B$ .

Ответ: $2$ .

$2$ . Основания трапеции равны $18$ и $6$ , боковая сторона, равная $7$ , образует с одним из оснований трапеции угол $150$ . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы $ABC$ и $B \mkern -2mu AH$ — односторонние, значит, их сумма равна $180^{\circ}$ , и тогда угол $B \mkern -2mu AH$ равен $30^{\circ}$ . Из треугольника $AB \mkern -2mu H$ найдем высоту $B \mkern -2mu H$ . Катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что $B \mkern -2mu H=3,5$ и площадь трапеции равна $42$ .

$3$ . Основания трапеции равны $4$ и $10$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция $ABC \mkern -2mu D$ , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, $ABC$ и $AC \mkern -2mu D$ , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника $ACD$ находим: $x=5$ .

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

$4$ . Основания трапеции равны $3$ и $2$ . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем $PQ$ — среднюю линию трапеции, $PQ=2,5$ . Легко доказать, что отрезок $MN$ , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки $PM$ и $NQ$ , являющиеся средними линиями треугольников $ABC$ и $BC \mkern -2mu D$ , а затем отрезок $MN$ . Он равен $0,5$ .

$5$ . Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного $4$ , отсекает треугольник, периметр которого равен $15$ . Найдите периметр трапеции.