Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right) \cdot h$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

$m= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right)$

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер $1$ и $2$ ), и более интересные.

$1$ . Найдите высоту трапеции $ABC \mkern -2mu D$ , опущенную из вершины $B$ , если стороны квадратных клеток равны $\sqrt{2}$ .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины $B$ .

Ответ: $2$ .

$2$ . Основания трапеции равны $18$ и $6$ , боковая сторона, равная $7$ , образует с одним из оснований трапеции угол $150$ . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы $ABC$ и $B \mkern -2mu AH$ — односторонние, значит, их сумма равна $180^{\circ}$ , и тогда угол $B \mkern -2mu AH$ равен $30^{\circ}$ . Из треугольника $AB \mkern -2mu H$ найдем высоту $B \mkern -2mu H$ . Катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что $B \mkern -2mu H=3,5$ и площадь трапеции равна $42$ .

$3$ . Основания трапеции равны $4$ и $10$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция $ABC \mkern -2mu D$ , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, $ABC$ и $AC \mkern -2mu D$ , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника $ACD$ находим: $x=5$ .

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

$4$ . Основания трапеции равны $3$ и $2$ . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем $PQ$ — среднюю линию трапеции, $PQ=2,5$ . Легко доказать, что отрезок $MN$ , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки $PM$ и $NQ$ , являющиеся средними линиями треугольников $ABC$ и $BC \mkern -2mu D$ , а затем отрезок $MN$ . Он равен $0,5$ .

$5$ . Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного $4$ , отсекает треугольник, периметр которого равен $15$ . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть $a+b+c$ .

Периметр трапеции равен $a+b+4+c+4$ .

На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Ответ: $23$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.