Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right) \cdot h$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

$m= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left( a+b \right)$

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер $1$ и $2$ ), и более интересные.

$1$ . Найдите высоту трапеции $ABC \mkern -2mu D$ , опущенную из вершины $B$ , если стороны квадратных клеток равны $\sqrt{2}$ .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины $B$ .

Ответ: $2$ .

$2$ . Основания трапеции равны $18$ и $6$ , боковая сторона, равная $7$ , образует с одним из оснований трапеции угол $150$ . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы $ABC$ и $B \mkern -2mu AH$ — односторонние, значит, их сумма равна $180^{\circ}$ , и тогда угол $B \mkern -2mu AH$ равен $30^{\circ}$ . Из треугольника $AB \mkern -2mu H$ найдем высоту $B \mkern -2mu H$ . Катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что $B \mkern -2mu H=3,5$ и площадь трапеции равна $42$ .

$3$ . Основания трапеции равны $4$ и $10$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция $ABC \mkern -2mu D$ , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, $ABC$ и $AC \mkern -2mu D$ , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника $ACD$ находим: $x=5$ .

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

$4$ . Основания трапеции равны $3$ и $2$ . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем $PQ$ — среднюю линию трапеции, $PQ=2,5$ . Легко доказать, что отрезок $MN$ , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки $PM$ и $NQ$ , являющиеся средними линиями треугольников $ABC$ и $BC \mkern -2mu D$ , а затем отрезок $MN$ . Он равен $0,5$ .

$5$ . Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного $4$ , отсекает треугольник, периметр которого равен $15$ . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть $a+b+c$ .

Периметр трапеции равен $a+b+4+c+4$ .

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: $23$ .

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.