Задание 3 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?
Повторим формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?
Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.
Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в \(k\) раз, то его площадь увеличится в \(k^2\) раз, а объем в \(k^3\) раз.
\(S_2=k^2 \cdot S_1\)
\(V_2=k^3 \cdot V_1\)
И решаем задачи. У нас все получится!
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.
3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия \(k=\displaystyle \frac{1}{2}.\) Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен \(\displaystyle \frac{10}{8}=1,25.\)
4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) равен 116. Точка \(E\) — середина ребра \(SB\). Найдите объём треугольной пирамиды \(EABC\).
Площадь основания пирамиды\(EABC\) в 2 раза меньше, чем у пирамиды \(ABCDS\). Высота пирамиды \(EABC\) равна половине высоты пирамиды \(ABCDS\). Значит, объем пирамиды \(EABC\) в 4 раза меньше объема пирамиды \(ABCDS\). Он равен \(\displaystyle \frac{116}{4}=29.\)
5. В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) точка \(E\) – середина ребра \(AB\), боковое ребро \(SC\) равно 4, длина отрезка \(SE\) равна \(\sqrt{10}.\) Найти объем пирамиды \(SABCD\).
Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника \(SAE\) получаем, что \(AE=\sqrt{6}.\) Соответственно, сторона основания пирамиды равна \(2\sqrt{6}.\) Если обозначить центр основания за \(H\), то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора, для треугольника \(SHE\) – она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды \(V=\displaystyle \frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h\), получаем ответ: 16.
Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.
Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.
6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами \(45^{\circ}\). Найдите объем пирамиды.
Пусть точка \(O\) – проекция точки \(S\) на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники \( AOS, \ BOS, \ COS\) равны (по общему катету \(OS\) и острому углу). Значит, \( AO = BO = CO.\)
Точка \(O\), равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\).
Тогда \( AO= BO= CO = OS = R\), где \(R\) – радиус этой окружности.
Радиус описанной окружности найдем по формуле \(R=\displaystyle \frac{abc}{4S}.\)
Площадь \(\triangle ABC\) найдем по формуле Герона:
\(S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p=\displaystyle \frac{15+16+17}{2}=24\) – полупериметр.
\(S_{\triangle ABC}=\ \sqrt{24\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\sqrt{3\cdot 8\cdot 3\cdot 3\cdot 8\cdot 7}=24\sqrt{21};\)
\(R=\displaystyle \frac{15\cdot 16\cdot 17}{4\cdot 24\sqrt{21}}=\displaystyle \frac{5\cdot 17}{2\sqrt{21}};\)
\(V=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot OS=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{21}\cdot \displaystyle \frac{5\cdot 17}{2\cdot \sqrt{21}}=4\cdot5\cdot17=340.\)
Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.
7. В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\), все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\). Ответ дайте в градусах.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку \(CC_1\) и \(AA_1\) параллельны, найдем угол между \(CC_1\) и \(BC_1\). Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.
Ответ: 45.
