Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 14 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел \(a_n\) (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

\(a_n=a_{n-1}+d\) или \({d=a}_n-a_{n-1}\).

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d.\)

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_n=a_1+a_2+\dots +a_n\) может быть найдена по одной из двух формул:

\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\), если известно значение \(a_n\),

\(S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n\), если неизвестно значение \(a_n\).

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии \(a_1\) и разность \(d\).

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 -- это первый член прогрессии, т.е. \(a_1=-75\). Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии \(d\). Можно её найти, например, так: \({d=a}_2-a_1=-40-\left(-75\right)=35\) или \({d=a}_3-a_2=-5-\left(-40\right)=35.\)

Для нахождения \(a_9\ (n=9)\) используем формулу общего члена \(a_9=a_1+\left(9-1\right)d\).

Отсюда получаем, \(a_9=-75+8\cdot 35=205\).

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия (\(a_n\)), разность которой равна \(d=\)1,1,\(\ a_1\)=−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. \(a_8\) неизвестно.

Итак,

\(S_8=\frac{2\cdot (-7)+\left(8-1\right)\cdot 1,1}{2}\cdot 8=\frac{-6,3}{2}\cdot 8=-25,2.\)

Ответ: \(-25,2.\)

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию \(a_1=11,2;;\ a_2=10,8\). Тогда разность \({d=a}_2-a_2=10,8-11,2=-0,4.\)

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d=11,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)=11,6-0,4n.\)

Т.к. \(a_n \textgreater 0\), то решим неравенство \(11,6-0,4n \textgreater 0\). Отсюда \(n \textless 29,\) а значит, \(n=28.\)

Тогда \(a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4\).

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения \(a_n\).

\(S_{28}=\frac{a_1+a_{28}}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4.\)

Ответ: \(162,4\).

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел \(b_n\) (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число \(q\ \) (знаменатель прогрессии), т.е.

\(b_n=b_{n-1}\cdot q\) или \(q=\frac{b_n}{b_{n-1}}\).

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
\(b_n=b_1\cdot q^{n-1}.\)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(S_n=b_1+b_2+\dots +b_n\) может быть найдена по формуле:

\(S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}\), если \(q\ne 1\).

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии \(b_1\) и знаменатель \(q\).

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

...; 3; X; 75; −375; ...

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения \(b_1\), но при этом можно найти знаменатель прогрессии: \(q=\frac{X}{3}=\frac{75}{X}=\frac{-375}{75}=-5\). Теперь можно найти Х: \(X=3\cdot \left(-5\right)=-15.\)

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; ... Найдите её пятый член.

Решение. Здесь \(b_1=-196\), а \(q=\frac{392}{-196}=-2\).

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

\(b_5=b_1\cdot q^4=-196\cdot {\left(-2\right)}^4=-196\cdot 16=-3\ 136.\)

Ответ: \(-\)3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия (\(b_n\)), знаменатель которой равен 5, а \(b_1=\frac{2}{5}\). Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу \(S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}\). Подставим все известные значения:

\(S_6=\frac{b_1\cdot (1-q^6)}{1-q}=\frac{\frac{2}{5}\cdot (1-5^6)}{1-5}=\frac{2\cdot (-15~624)}{5\cdot (-4)}=1\ 562,4.\)

Ответ: \(1562,4\).

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, \(b_1=100\), \(b_2=100\cdot \frac{1}{2}=50\), \(b_3=50\cdot \frac{1}{2}=25\).

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/