Задание 14 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел \(a_n\) (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.
\(a_n=a_{n-1}+d\) или \({d=a}_n-a_{n-1}\).
Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d.\)
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_n=a_1+a_2+\dots +a_n\) может быть найдена по одной из двух формул:
\(S_n=\displaystyle \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\), если известно значение \(a_n\),
\(S_n=\displaystyle \frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n\), если неизвестно значение \(a_n\).
Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии \(a_1\) и разность \(d\).
Приступим к решению задач.
1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.
Решение:
Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 - это первый член прогрессии, т.е. \(a_1=-75\). Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии \(d\). Можно её найти, например, так:
\({d=a}_2-a_1=-40-\left(-75\right)=35\) или \({d=a}_3-a_2=-5-\left(-40\right)=35.\)
Для нахождения \(a_9 (n=9)\) используем формулу общего члена \(a_9=a_1+\left(9-1\right)d\).
Отсюда получаем, \(a_9=-75+8\cdot 35=205\).
Ответ: 205.
2. Дана арифметическая прогрессия (\(a_n\)), разность которой равна \(d=1,1, \ a_1=−7.\) Найдите сумму первых 8 её членов.
Решение:
Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. \(a_8\) неизвестно.
Итак, \(S_8=\displaystyle \frac{2\cdot (-7)+\left(8-1\right)\cdot 1,1}{2}\cdot 8=\displaystyle \frac{-6,3}{2}\cdot 8=-25,2.\)
Ответ: \(-25,2.\)
3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….
Решение:
По условию \(a_1=11,2;;\ a_2=10,8\). Тогда разность \({d=a}_2-a_2=10,8-11,2=-0,4.\)
Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)d=11,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)=11,6-0,4n.\)
Т.к. \(a_n > 0\), то решим неравенство \(11,6-0,4n > 0\). Отсюда \(n < 29,\) а значит, \(n=28.\)
Тогда \(a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4\).
Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения \(a_n\).
\(S_{28}=\displaystyle \frac{a_1+a_{28}}{2}\cdot 28=\displaystyle \frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4.\)
Ответ: \(162,4\).
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел \(b_n\) (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число \(q\ \) (знаменатель прогрессии), т.е.
\(b_n=b_{n-1}\cdot q\) или \(q=\displaystyle \frac{b_n}{b_{n-1}}\).
Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
\(b_n=b_1\cdot q^{n-1}.\)
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(S_n=b_1+b_2+\dots +b_n\) может быть найдена по формуле:
\(S_n=\displaystyle \frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}\), если \(q\ne 1\).
Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии \(b_1\) и знаменатель \(q\).
Приступим к решению задач.
4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; 3; X; 75; −375; ... Найдите \(X\).
Решение:
В условии этой задачи нет конкретного значения \(b_1\), но при этом можно найти знаменатель прогрессии:
\(q=\displaystyle \frac{X}{3}=\frac{75}{X}=\frac{-375}{75}=-5\).
Теперь можно найти \(X: \ X=3\cdot \left(-5\right)=-15.\)
Ответ: −15.
5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; ... Найдите её пятый член.
Решение:
Здесь \(b_1=-196\), а \(q=\displaystyle \frac{392}{-196}=-2\).
Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:
\(b_5=b_1\cdot q^4=-196\cdot {\left(-2\right)}^4=-196\cdot 16=-3\ 136.\)
Ответ: - 3136.
6. Дана геометрическая прогрессия (\(b_n\)), знаменатель которой равен 5, а \(b_1=\displaystyle \frac{2}{5}\). Найдите сумму первых шести её членов.
Решение:
Используем формулу \(S_n=\displaystyle \frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}\). Подставим все известные значения:
\(S_6=\displaystyle \frac{b_1\cdot (1-q^6)}{1-q}=\displaystyle \frac{\frac{2}{5}\cdot (1-5^6)}{1-5}=\displaystyle \frac{2\cdot (-15~624)}{5\cdot (-4)}=1\ 562,4.\)
Ответ: \(1562,4\).
Решим задачу посложнее.
7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.
Решение:
Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:
\(\left\{\begin{matrix}
b_{1}+b_{2}=150, \\b_{2}+b_{3}=75;
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_{1}+b_{1}\cdot q=150, \\b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^{2}=75;
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_{1}\cdot (1+q)=150, \\q\cdot b_{1}\cdot (1+q)=75;
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_{1}\cdot (1+q)=150, \\q\cdot 150=75;
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_{1}=\displaystyle \frac{150}{1+\frac{1}{2}}=100, \\q=\displaystyle \frac{1}{2}.
\end{matrix}\right. \)
Итак, \(b_1=100, \ b_2=100\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=50, \ b_3=50\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=25\).
Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.
Ответ: 1005025
Больше объяснений и задач:
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
