icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
banner

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 12 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел a_n (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

a_n=a_{n-1}+d или {d=a}_n-a_{n-1}.

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d.

previous arrow
next arrow
Slider

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+\dots +a_n может быть найдена по одной из двух формул:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n, если известно значение a_n,

S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n, если неизвестно значение a_n.

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии a_1 и разность d.

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 -- это первый член прогрессии, т.е. a_1=-75. Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии d. Можно её найти, например, так: {d=a}_2-a_1=-40-\left(-75\right)=35 или {d=a}_3-a_2=-5-\left(-40\right)=35.

Для нахождения a_9\ (n=9) используем формулу общего члена a_9=a_1+\left(9-1\right)d.

Отсюда получаем, a_9=-75+8\cdot 35=205.

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна d=1,1,\ a_1=−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. a_8 неизвестно.

Итак,

S_8=\frac{2\cdot (-7)+\left(8-1\right)\cdot 1,1}{2}\cdot 8=\frac{-6,3}{2}\cdot 8=-25,2.

Ответ: -25,2.

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию a_1=11,2;;\ a_2=10,8. Тогда разность {d=a}_2-a_2=10,8-11,2=-0,4.

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d=11,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)=11,6-0,4n.

Т.к. a_n \textgreater 0, то решим неравенство 11,6-0,4n \textgreater 0. Отсюда n \textless 29, а значит, n=28.

Тогда a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4.

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения a_n.

S_{28}=\frac{a_1+a_{28}}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4.

Ответ: 162,4.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел b_n (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число q\ (знаменатель прогрессии), т.е.

b_n=b_{n-1}\cdot q или q=\frac{b_n}{b_{n-1}}.

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
b_n=b_1\cdot q^{n-1}.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S_n=b_1+b_2+\dots +b_n может быть найдена по формуле:

S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}, если q\ne 1.

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии b_1 и знаменатель q.

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

...; 3; X; 75; −375; ...

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения b_1, но при этом можно найти знаменатель прогрессии: q=\frac{X}{3}=\frac{75}{X}=\frac{-375}{75}=-5. Теперь можно найти Х: X=3\cdot \left(-5\right)=-15.

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; ... Найдите её пятый член.

Решение. Здесь b_1=-196, а q=\frac{392}{-196}=-2.

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

b_5=b_1\cdot q^4=-196\cdot {\left(-2\right)}^4=-196\cdot 16=-3\ 136.

Ответ: -3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 5, а b_1=\frac{2}{5}. Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}. Подставим все известные значения:

S_6=\frac{b_1\cdot (1-q^6)}{1-q}=\frac{\frac{2}{5}\cdot (1-5^6)}{1-5}=\frac{2\cdot (-15~624)}{5\cdot (-4)}=1\ 562,4.

Ответ: 1562,4.

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, b_1=100, b_2=100\cdot \frac{1}{2}=50, b_3=50\cdot \frac{1}{2}=25.

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Поделиться страницей

Это полезно

Разбираем ЕГЭ-2020!
Обзор ЕГЭ-2020 и нерешаемая питерская задача №19!
Курс для преподавателей (20/21)
Как решался ЕГЭ
по математике 10 июля?
WP Filter Posts Powered By : XYZScripts.com