Slider

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 12 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел a_n (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

a_n=a_{n-1}+d или {d=a}_n-a_{n-1}.

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+\dots +a_n может быть найдена по одной из двух формул:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n, если известно значение a_n,

S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n, если неизвестно значение a_n.

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии a_1 и разность d.

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 -- это первый член прогрессии, т.е. a_1=-75. Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии d. Можно её найти, например, так: {d=a}_2-a_1=-40-\left(-75\right)=35 или {d=a}_3-a_2=-5-\left(-40\right)=35.

Для нахождения a_9\ (n=9) используем формулу общего члена a_9=a_1+\left(9-1\right)d.

Отсюда получаем, a_9=-75+8\cdot 35=205.

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна d=1,1,\ a_1=−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. a_8 неизвестно.

Итак,

S_8=\frac{2\cdot (-7)+\left(8-1\right)\cdot 1,1}{2}\cdot 8=\frac{-6,3}{2}\cdot 8=-25,2.

Ответ: -25,2.

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию a_1=11,2;;\ a_2=10,8. Тогда разность {d=a}_2-a_2=10,8-11,2=-0,4.

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

a_n=a_1+\left(n-1\right)d=11,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)=11,6-0,4n.

Т.к. a_n \textgreater 0, то решим неравенство 11,6-0,4n \textgreater 0. Отсюда n \textless 29, а значит, n=28.

Тогда a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4.

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения a_n.

S_{28}=\frac{a_1+a_{28}}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4.

Ответ: 162,4.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел b_n (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число q\ (знаменатель прогрессии), т.е.

b_n=b_{n-1}\cdot q или q=\frac{b_n}{b_{n-1}}.

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
b_n=b_1\cdot q^{n-1}.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S_n=b_1+b_2+\dots +b_n может быть найдена по формуле:

S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}, если q\ne 1.

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии b_1 и знаменатель q.

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

...; 3; X; 75; −375; ...

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения b_1, но при этом можно найти знаменатель прогрессии: q=\frac{X}{3}=\frac{75}{X}=\frac{-375}{75}=-5. Теперь можно найти Х: X=3\cdot \left(-5\right)=-15.

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; ... Найдите её пятый член.

Решение. Здесь b_1=-196, а q=\frac{392}{-196}=-2.

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

b_5=b_1\cdot q^4=-196\cdot {\left(-2\right)}^4=-196\cdot 16=-3\ 136.

Ответ: -3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 5, а b_1=\frac{2}{5}. Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}. Подставим все известные значения:

S_6=\frac{b_1\cdot (1-q^6)}{1-q}=\frac{\frac{2}{5}\cdot (1-5^6)}{1-5}=\frac{2\cdot (-15~624)}{5\cdot (-4)}=1\ 562,4.

Ответ: 1562,4.

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, b_1=100, b_2=100\cdot \frac{1}{2}=50, b_3=50\cdot \frac{1}{2}=25.

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных