Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 14 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел $a_n$ (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

$a_n=a_{n-1}+d$ или ${d=a}_n-a_{n-1}$ .

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d.$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$ может быть найдена по одной из двух формул:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ , если известно значение $a_n$ ,

$S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n$ , если неизвестно значение $a_n$ .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии $a_1$ и разность $d$ .

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 -- это первый член прогрессии, т.е. $a_1=-75$ . Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии $d$ . Можно её найти, например, так: ${d=a}_2-a_1=-40-\left(-75\right)=35$ или ${d=a}_3-a_2=-5-\left(-40\right)=35.$

Для нахождения $a_9\ (n=9)$ используем формулу общего члена $a_9=a_1+\left(9-1\right)d$ .

Отсюда получаем, $a_9=-75+8\cdot 35=205$ .

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия ( $a_n$ ), разность которой равна $d=$ 1,1, $\ a_1$ =−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. $a_8$ неизвестно.

Итак,

$S_8=\frac{2\cdot (-7)+\left(8-1\right)\cdot 1,1}{2}\cdot 8=\frac{-6,3}{2}\cdot 8=-25,2.$

Ответ: $-25,2.$

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию $a_1=11,2;;\ a_2=10,8$ . Тогда разность ${d=a}_2-a_2=10,8-11,2=-0,4.$

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d=11,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,4\right)=11,6-0,4n.$

Т.к. $a_n \textgreater 0$ , то решим неравенство $11,6-0,4n \textgreater 0$ . Отсюда $n \textless 29,$ а значит, $n=28.$

Тогда $a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4$ .

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения $a_n$ .

$S_{28}=\frac{a_1+a_{28}}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4.$

Ответ: $162,4$ .

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел $b_n$ (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число $q\$ (знаменатель прогрессии), т.е.

$b_n=b_{n-1}\cdot q$ или $q=\frac{b_n}{b_{n-1}}$ .

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}.$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n=b_1+b_2+\dots +b_n$ может быть найдена по формуле:

$S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}$ , если $q\ne 1$ .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии $b_1$ и знаменатель $q$ .

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

...; 3; X; 75; −375; ...

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения $b_1$ , но при этом можно найти знаменатель прогрессии: $q=\frac{X}{3}=\frac{75}{X}=\frac{-375}{75}=-5$ . Теперь можно найти Х: $X=3\cdot \left(-5\right)=-15.$

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; ... Найдите её пятый член.

Решение. Здесь $b_1=-196$ , а $q=\frac{392}{-196}=-2$ .

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

$b_5=b_1\cdot q^4=-196\cdot {\left(-2\right)}^4=-196\cdot 16=-3\ 136.$

Ответ: $-$ 3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия ( $b_n$ ), знаменатель которой равен 5, а $b_1=\frac{2}{5}$ . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу $S_n=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}$ . Подставим все известные значения:

$S_6=\frac{b_1\cdot (1-q^6)}{1-q}=\frac{\frac{2}{5}\cdot (1-5^6)}{1-5}=\frac{2\cdot (-15~624)}{5\cdot (-4)}=1\ 562,4.$

Ответ: $1562,4$ .

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, $b_1=100$ , $b_2=100\cdot \frac{1}{2}=50$ , $b_3=50\cdot \frac{1}{2}=25$ .

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.05.2023

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Это полезно