О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.
Таблица производных
| \(f(x)\) (функция) | \({f}'(x)\) (производная) |
| \(c \) (константа) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^{2}\) | \(2x\) |
| \(x^{n}\) | \(n\cdot x^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle -\frac{1}{x^{2}} \) |
| \(sin x\) | \(cos x\) |
| \(cos x\) | \(-sin x\) |
| \(tg x\) | \(\frac{1}{cos^{2}x}\) |
| \(ctg x\) | \(\displaystyle -\frac{1}{sin^{2}x}\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(a^{x}\) | \(a^{x}\cdot lna\) |
| \(lnx\) | \(\displaystyle \frac{1}{x}\) |
| \(log_{a}x\) | \(\displaystyle \frac{1}{x lna}\) |
| Правила дифференцирования | |
| \({(u+v)}' ={u}' +{v}'\)
\({(u-v)}' ={u}' -{v}'\) \({(u\cdot v)}' ={u}'v +{v}'u\) \({\left (\displaystyle\frac{u}{v}\right)}'=\displaystyle \frac{{u}'v -{v}'u}{v^{2}}\) \({(c\cdot f)}'=c\cdot {f}'\) \(u, v, f\) - функции, \(c\) - константа |
|
Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.
Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.
1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.
А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.
2. Производная функции \(y=x\) равна \(1\). Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции \(y=x\) образует угол \(45\) градусов с положительным направлением оси \(X\). А тангенс \(45\) градусов равен \(1\).
3. Производная функции \(y=e^{x}\) равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение \(x\), тем больше значение функции \(y=e^{x}\)… и тем круче вверх идет график по отношению к оси \(X\). Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.
4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.
5. Производная логарифма в точке \(x_{0}\) обратно пропорциональна \(x_{0}\). Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.
Вспомним, как связаны производная и поведение функции.
Если производная \({f}'(x)\) положительна, то функция \(f(x)\) возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| \(f(x)\) | возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
| \({f}'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.
Задача 1. Найдите точки максимума функции \(\displaystyle y=-\frac{x^{2}+25}{x}.\)
Решение:
Область определения функции: \(x\in (-\infty; 0)\cup (0;+\infty ).\)
Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.
\(\displaystyle {y}'=\left (-\frac{x^{2}+25}{x}\right ){}'=\left (-x-\frac{25}{x}\right ){}'=-1+\frac{25}{x^{2}}=\frac{25-x^{2}}{x^{2}}.\)
\({y}'=0,\) если \(x=\pm 5.\)
Точки \(x = 5\) и \(x = -5\), а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.
Найдем знаки производной на каждом интервале.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка \(5\) на рисунке.
Ответ: 5.
Задача 2. Найдите точки минимума функции \( y=e^{x+10}(8x-3). \)
Решение:
Применим формулу производной произведения.
\({y}'=8\cdot e^{x+10}+e^{x+10}\cdot (8x-3)=e^{x+10}\cdot (8x-3+8)=e^{x+10}\cdot (8x+5).\)
Приравняем производную к нулю:
\({y}'(x)=0\), если \(8x+5=0,\) \(\displaystyle x=\frac{-5}{8}=-0,625.\)
Если \( x< -0,625,\) то \({y}'(x)< 0,\) функция убывает.
Если \( x> -0,625,\) то \({y}'(x)> 0,\) функция возрастает, значит, \( x=-0,625\) – точка минимума функции \(y(x).\)
В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Ответ: -0,625.
Задача 3. Найдите значение функции \(f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9\) в точке максимума.
Решение:
Найдем производную функции: \(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-4x+12.\)
Мы применили формулы производной степени.
Решим уравнение: \(f'(x)=0.\)
\(4x^{3}-12x^{2}-4x+12=0\Leftrightarrow 4x^{3}(x-3)-4(x-3)=0\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\cdot 4\cdot (x-1)\cdot (x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}
x=3,\\
x=1,\\
x=-1.\\
\end{array}\right.\)
Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси \(Х\) и найдём знаки производной.
\(x=1\) – точка максимума.
Найдём значение функции в этой точке: \(f(1)=1-4-2+12+9=16.\)
Ответ: 16.
Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:
Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.
Пусть функция \(f(x)\) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:
Задача 4. Найдите наибольшее значение функции \( y=2\sqrt{2}(sinx+cosx)\) на отрезке \([0;\pi ].\)
Решение:
\( y=2\sqrt{2}(sinx+cosx), x\in [0;\pi ].\)
Найдем производную: \(y'=2\sqrt{2}(cosx-sinx).\)
Приравняем производную к нулю:
\(\displaystyle 2\sqrt{2}(cosx-sinx)=0\Leftrightarrow cosx=sinx\Leftrightarrow tgx=1\Leftrightarrow\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z.\)
Если \(x\in [0;\pi ],\) то \(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}.\)
Так как \(y'(0)> 0, \; y'(\pi )< 0.\)
Точка \(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}\) – точка максимума функции \(\displaystyle y(x); \; y_{max}(x)=y\left (\frac{\pi }{4}\right )=4.\)
В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.
Ответ: 4.
Задача 5. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x-21)e^{x-20}\) на отрезке \([19; 21].\)
Решение:
Найдем производную функции:
\(y'=((x-21)e^{x-20})'=e^{x-20}+(x-21)e^{x-20}=e^{x-20}(1+x-21)=e^{x-20}(x-20).\)
\(y'=0\) при \(x=20.\)
Найдем знаки производной слева и справа от точки \(x=20.\)
Если \( x< 20,\) то \({y}'< 0.\)
Если \( x> 20\) то \({y}'> 0.\)
Значит, \(x=20\) – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается при \(x=20.\)
Это значение равно \(y(20)=-1.\)
Ответ: -1.
Задача 6. Найдите наибольшее значение функции \(y=3x^{2}-13x+7ln+5\) на отрезке \(\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].\)
Решение:
Область определения функции: \( x> 0.\)
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
\( \displaystyle y'=(3x^{2}-13x+7lnx+5)'=6x-13+\frac{7}{x}=\frac{6x^{2}-13x+7}{x}=\)
\( \displaystyle =\frac{6(x-1)\left ( x-\frac{7}{6} \right )}{x}.\)
\(y'=0,\) если \(6x^{2}-13x+7=0.\)
\(D=169-168=1; \; x=1\) или \(\displaystyle x=\frac{7}{6}.\) Второй корень не принадлежит отрезку \(\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].\)
Найдем знаки производной на отрезке:
В точке \( x=1\) производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ]\) достигается при \( x=1.\)
Найдем значение функции при \( x=1:\)
\(y(1)=3-13+7ln1+5=-5.\)
Ответ: -5.
В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.
Задача 7. Найдите наименьшее значение функции \(y=3cosx-\pi x+\pi ^{2}\) на отрезке \([-2\pi ; \pi ].\)
Решение:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
\(y'=-3sinx-\pi.\)
\(\displaystyle y'=0; \; -3sinx=\pi \Leftrightarrow sinx=-\frac{\pi }{3}.\)
У этого уравнения нет решений, так как \(\displaystyle-\frac{\pi }{3}< -1.\)
Это значит, что \(y'=-3sinx-\pi< 0\) при любых \(x,\) то есть \(y'< 0,\) а это означает, что \(y(x)\) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка \([-2\pi ; \pi ].\)
\(y_{min}=y(\pi )=-3.\)
Ответ: -3.
Задача 8. Найдите наибольшее значение функции \(y=7x-6sinx+8\) на отрезке \(\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 0 \right ].\)
Решение:
Найдем производную функции: \(y'=(7x-6sinx+8)'=7-6cosx.\)
\(\displaystyle y'=0; \; cosx=\frac{7}{6}; \; x\in \varnothing .\) Производная функции не равна нулю ни при каком \(x\).
Мы знаем, что \(-1\leq cosx\leq 1.\) Тогда \(-6\leq -6cosx\leq 6.\)
Прибавим \(7\) ко всем частям неравенства:
\(1\leq 7-6cosx\leq 13\Rightarrow y'> 0\) для всех \(x\).
Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при \(x=0.\)
\(y_{max}=y(0)=7\cdot 0-6sin0+8=8.\)
Ответ: 8.
Задача 9. Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle y=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot x-4\sqrt{3}\cdot cosx\) на отрезке \(\displaystyle\left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].\)
Решение:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
\(\displaystyle y'={\left ( 13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot x-4\sqrt{3}\cdot cosx \right )}'=-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}sinx=\)
\(=2\sqrt{3}(2sinx-1).\)
\(y'=0,\) тогда \(\displaystyle sinx=\frac{1}{2}.\)
На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение \(\displaystyle x=\frac{\pi }{6}.\)
Слева от этой точки \(2sinx-1< 0,\) производная отрицательна.
Справа от этой точки \(2sinx-1> 0,\) производная положительна.
Значит, \(\displaystyle x=\frac{\pi }{6}\) – точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.
Найдем значение функции в этой точке:
\(\displaystyle y\left ( \frac{\pi }{6} \right )=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{6}-4\sqrt{3}\cdot cos\frac{\pi }{6}=\)
\(\displaystyle =13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7.\)
Ответ: 7.
В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.
Задача 10. Найдите наименьшее значение функции \(y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).\)
Решение:
Рассмотрим функцию \(y=log_{2}t.\)
Так как функция \(y=log_{2}t\) монотонно возрастает, точка минимума функции \(y=log_{2}(x^{2}+x+0,5)\) будет при том же значении \( x\), что и точка минимума функции \(t(x)=x^{2}+x+0,5.\) А ее найти легко:
\(t'(x)=2x+1;\)
\(t'(x)=0\) при \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}.\)
В точке \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) производная \(t'(x)\) меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) – единственная точка минимума функции \(t(x)\) и функции \(y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).\)
\(\displaystyle y_{min}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=log_{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+0,5 \right )=log_{2}\frac{1}{4}=-2.\)
Ответ: -2.
Задача 11. Найдите наибольшее значение функции \(y=\sqrt{x^{2}-4x+13}\) на отрезке \([-0,5; 6].\)
Решение:
\(y=\sqrt{x^{2}-4x+13}, \; x\in [-0,5; 6].\)
Так как функция \(y=\sqrt{t}\) монотонно возрастает при \(t\geq 0,\) точка минимума функции \(y=\sqrt{x^{2}-4x+13}\) соответствует точке минимума подкоренного выражения \(t(x)={x^{2}-4x+13}.\)
Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.
Функция \(t(x)={x^{2}-4x+13}\) задает параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при \(\displaystyle x=\frac{4}{2}=2.\)
Если \(x\in [-0,5; 2], \; y=\sqrt{x^{2}-4x+13}\) – монотонно убывает.
Если \(x\in [2; 6], \; y=\sqrt{x^{2}-4x+13}\) – монотонно возрастает.
Значит, наибольшее значение функции \(y=\sqrt{x^{2}-4x+13}\) на отрезке \([-0,5; 6]\) достигается в одном из концов этого отрезка.
Сравним \(y=(-0,5)\) и \(y=(6):\)
\(y(-0,5)=\sqrt{0,25+13+2}=\sqrt{15,25}.\)
\(y(6)=\sqrt{25}=5.\)
\(y(-0,5)< y(6).\)
\(y_{max}=6.\)
Ответ: 6.
Задача 12.
Найдите точку максимума функции \(y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.\)
Решение:
Рассмотрим функцию \(t(x)=2+2x-x^{2}.\)
Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при \(x=1.\) Функция \(y(t)=log_{2}t\) монотонно возрастает, и значит, большему значению \(t\) будет соответствовать большее значение \(y(t).\)
Точка максимума функции \(y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2\) будет такой же, как у функции \(t(x)=2+2x-x^{2},\) то есть \(x=1.\)
Ответ: 1.
Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
