Решите неравенство: \( \displaystyle 3^{\lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x}.\)
Решение:
\(\displaystyle
3^{lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x};\)
\(\displaystyle
3^{\lg x}+\frac{20}{3} \cdot 3^{\frac{\lg x}{2}} \cdot \frac{2^{\frac{\lg x}{2}}}{2^3} \leq 2^{\lg x}.\)
Обозначим \(\displaystyle
3^{\frac{\lg x}{2}} = t, \, \, 2^{\frac{\lg x}{2}} = z; \, \, t \, \textgreater \, 0, z \, \textgreater \, 0.\)
Тогда \(
3^{\lg x} = t^2, \, 2^{\lg x}=z^2.\)
Получим:
\(\displaystyle t^2 + \frac{20}{3 \cdot 8} \cdot t \cdot z - z^2 \leq 0;\)
\(\displaystyle t^2 + \frac{5}{6}\cdot t \cdot z - z^2 \leq 0.\)
Разделим обе части на \(
z^2 \, \textgreater \, 0:\)
\(\displaystyle 6 \cdot \left (\frac{t}{z}\right )^2+5 \cdot \left (\frac{t}{2}\right ) - 6 \leq 0.\)
Замена переменной: \(\displaystyle \frac{t}{z} = y, \, y \, \textgreater \, 0;\)
\(
6y^2+5y-6\leq 0.\)
В квадратном уравнении \(
6y^2+5y-6=0:\)
\(\displaystyle D=25+4 \cdot 36=169; \, \sqrt{D}=13; \, y = \frac{-5 \pm13}{12};\)
\(\displaystyle 6y^2+5y-6=6\left (y-\frac{2}{3} \right )\left (y+\frac{3}{2} \right ).\)
Получим:
\(\displaystyle \left (y-\frac{2}{3} \right )\left (y+\frac{3}{2} \right ) \leq 0.\)
Поскольку \(y \, \textgreater \, 0,\) поделим обе части неравенства на \(\displaystyle y+ \frac{3}{2} \, \textgreater \, 0.\)
\(\displaystyle y-\frac{2}{3}\leq 0;\)
\(\displaystyle y \leq \frac{2}{3}.\)
Вернёмся к переменной \(x\).
\(\displaystyle y = \frac{t}{z} = \left (\frac{3}{2} \right )^{ \displaystyle \frac{\lg x}{2}};\)
\(\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{\displaystyle \frac{- \lg x}{2}} \leq \left (\frac{2}{3} \right )^1.\)
Показательная функция \(y=a^x\) монотонно убывает при \(
0 \, \textless \, a \, \textless \, 1,\)
и если \(\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{z_1}\leq \left (\frac{2}{3} \right )^{z_2},\) то \(z_1 \geq z_2.\)
Значит, \(\displaystyle - \frac{\lg x}{2} \geq 1;\)
\(
\lg x \leq -2;\)
\(\left\{\begin{matrix}
x \, \textgreater \, 0\\\lg x \leq \lg 0,01
\end{matrix}\right. .\)
Ответ: \(
x \in (0; 0,01].\)
Замена переменной помогла свести это неравенство к алгебраическому однородному. Затем мы вернулись к переменной \(x\) и воспользовались тем, что показательная функция с основанием меньшим единицы монотонно убывает. И конечно, не забываем про область определения логарифмической функции.
Если вы ничего не поняли – читайте наши статьи:
Показательная функция
Показательные неравенства
Что такое логарифмы
Логарифмическая функция
Логарифмические неравенства
