Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 1

Решите неравенство: $\displaystyle 3^{\lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x}.$

Решение:

$\displaystyle3^{lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x};$

$\displaystyle3^{\lg x}+\frac{20}{3} \cdot 3^{\frac{\lg x}{2}} \cdot \frac{2^{\frac{\lg x}{2}}}{2^3} \leq 2^{\lg x}.$

Обозначим $\displaystyle3^{\frac{\lg x}{2}} = t, \, \, 2^{\frac{\lg x}{2}} = z; \, \, t \, \textgreater \, 0, z \, \textgreater \, 0.$

Тогда $3^{\lg x} = t^2, \, 2^{\lg x}=z^2.$

Получим:

$\displaystyle t^2 + \frac{20}{3 \cdot 8} \cdot t \cdot z - z^2 \leq 0;$

$\displaystyle t^2 + \frac{5}{6}\cdot t \cdot z - z^2 \leq 0.$

Разделим обе части на $z^2 \, \textgreater \, 0:$

$\displaystyle 6 \cdot \left (\frac{t}{z}\right )^2+5 \cdot \left (\frac{t}{2}\right ) - 6 \leq 0.$

Замена переменной: $\displaystyle \frac{t}{z} = y, \, y \, \textgreater \, 0;$

$6y^2+5y-6\leq 0.$

В квадратном уравнении $6y^2+5y-6=0:$

$\displaystyle D=25+4 \cdot 36=169; \, \sqrt{D}=13; \, y = \frac{-5 \pm13}{12};$

$\displaystyle 6y^2+5y-6=6\left (y-\frac{2}{3} \right )\left (y+\frac{3}{2} \right ).$

Получим:

$\displaystyle \left (y-\frac{2}{3} \right )\left (y+\frac{3}{2} \right ) \leq 0.$

Поскольку $y \, \textgreater \, 0,$ поделим обе части неравенства на $\displaystyle y+ \frac{3}{2} \, \textgreater \, 0.$

$\displaystyle y-\frac{2}{3}\leq 0;$

$\displaystyle y \leq \frac{2}{3}.$

Вернёмся к переменной $x$ .

$\displaystyle y = \frac{t}{z} = \left (\frac{3}{2} \right )^{ \displaystyle \frac{\lg x}{2}};$

$\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{\displaystyle \frac{- \lg x}{2}} \leq \left (\frac{2}{3} \right )^1.$

Показательная функция $y=a^x$ монотонно убывает при $0 \, \textless \, a \, \textless \, 1,$
и если $\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{z_1}\leq \left (\frac{2}{3} \right )^{z_2},$ то $z_1 \geq z_2.$

Значит, $\displaystyle - \frac{\lg x}{2} \geq 1;$

$\lg x \leq -2;$

$\left\{\begin{matrix}x \, \textgreater \, 0\\\lg x \leq \lg 0,01\end{matrix}\right. .$

Ответ: $x \in (0; 0,01].$

Замена переменной помогла свести это неравенство к алгебраическому однородному. Затем мы вернулись к переменной $x$ и воспользовались тем, что показательная функция с основанием меньшим единицы монотонно убывает. И конечно, не забываем про область определения логарифмической функции.
Если вы ничего не поняли – читайте наши статьи:
Показательная функция
Показательные неравенства
Что такое логарифмы
Логарифмическая функция
Логарифмические неравенства

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 13.09.2023

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 1

Это полезно