previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Задача 15 Вариант 1

Решите неравенство

\displaystyle3^{\lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x}

 

Решение:

\displaystyle3^{lg x}+6 \frac{2}{3} \cdot 3^{0,5 \lg x} \cdot 2^{0,5 (\lg x - 6)} \leq 2^{\lg x}

\displaystyle3^{\lg x}+\frac{20}{3} \cdot 3^{\frac{\lg x}{2}} \cdot \frac{2^{\frac{\lg x}{2}}}{2^3} \leq 2^{\lg x}

Обозначим \displaystyle3^{\frac{\lg x}{2}} = t, \, \, 2^{\frac{\lg x}{2}} = z; \, \, t \, \textgreater \, 0, z \, \textgreater \, 0

Тогда 3^{\lg x} = t^2, \, 2^{\lg x}=z^2

Получим:

\displaystyle t^2 + \frac{20}{3 \cdot 8} \cdot t \cdot z - z^2 \leq 0

\displaystyle t^2 + \frac{5}{6}\cdot t \cdot z - z^2 \leq 0

Разделим обе части на z^2 \, \textgreater \, 0.

\displaystyle 6 \cdot   \left (\frac{t}{z}\right )^2+5 \cdot \left (\frac{t}{2}\right ) - 6 \leq 0

Замена переменной: \displaystyle \frac{t}{z} = y, \, y \, \textgreater \, 0,

6y^2+5y-6\leq 0

В квадратном уравнении 6y^2+5y-6=0

\displaystyle D=25+4 \cdot 36=169; \, \sqrt{D}=13; \, y = \frac{-5 \pm13}{12}

\displaystyle 6y^2+5y-6=6\left (y-\frac{2}{3}  \right )\left (y+\frac{3}{2}  \right )

Получим:

\displaystyle \left (y-\frac{2}{3}  \right )\left (y+\frac{3}{2}  \right ) \leq 0.

Поскольку y \, \textgreater \, 0, поделим обе части неравенства на \displaystyle y+ \frac{3}{2} \, \textgreater \, 0.

\displaystyle y-\frac{2}{3}\leq 0

\displaystyle y \leq \frac{2}{3}.

Вернёмся к переменной x.

\displaystyle y = \frac{t}{z} = \left (\frac{3}{2} \right )^{ \displaystyle \frac{\lg x}{2}}

\displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{\displaystyle \frac{- \lg x}{2}} \leq \left (\frac{2}{3} \right )^1

Показательная функция y=a^x монотонно убывает при 0 \, \textless \, a \, \textless \, 1,
и если \displaystyle \left (\frac{2}{3} \right )^{z_1}\leq \left (\frac{2}{3} \right )^{z_2}, то z_1 \geq z_2.

Значит, \displaystyle - \frac{\lg x}{2} \geq 1

\lg x \leq -2

\left\{\begin{matrix}x \, \textgreater \, 0\\\lg x \leq \lg 0,01\end{matrix}\right.

Ответ: x \in (0; 0,01].

Замена переменной помогла свести это неравенство к алгебраическому однородному. Затем мы вернулись к переменной х и воспользовались тем, что показательная функция с основанием меньшим единицы монотонно убывает. И конечно, не забываем про область определения логарифмической функции.
Если вы ничего не поняли – читайте наши статьи:
Показательная функция 
Показательные неравенства 
Что такое логарифмы
Логарифмическая функция 
Логарифмические неравенства