Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Цилиндр \(V=\pi r^{2}h,\) \(r \) — радиус основания, \(h\) — высота	\(S=2S_{осн}+S_{бок}=2\pi r^{2}+2\pi h\)
Конус \(V=\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h\)	\(S=S_{осн}+S_{бок}=\pi r^{2}+\pi rl,\) \(l \) — образующая	\(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
Шар \(V=\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^{2}\)	\(S=4\pi r^{2}\)

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.

Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем - в 8 раз. 

(ведь \(2^2=4, \; 2^3=8\)).

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен \(16\). Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в \(8\) раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в \(\sqrt{2}\) раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в \(2\) раза больше.

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких \( \sqrt{2}\) или \(\pi\) у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа \(\pi\) тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на \(\pi\)».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.