Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.
Например, задание №7 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.
И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.
Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения
Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета
Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!
1. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}.\)
Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.
\(\displaystyle \frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}=\frac{2,88\cdot 44,5}{2,88\cdot 0,445}=\displaystyle \frac{44,5}{0,445}=100. \)
Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.
Ответ: 100.
2. Найдите значение выражения: \(7\displaystyle \frac{9}{13}:\frac{5}{13}.\)
\(7\displaystyle \frac{9}{13}:\frac{5}{13}=\frac{100}{13}\cdot \frac{13}{5}=20.\)
Ответ: 20.
Корни и степени. Иррациональные выражения
Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
\(\left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a;\;\sqrt{a}\geq 0;\;a\geq 0 \).
3. Вычислите: \(\sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}}.\)
\(\sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}}=\sqrt{\left ( 12+4\sqrt{5} \right )\left ( 12-4\sqrt{5} \right )}=\sqrt{144-80}=\sqrt{64}=8.\)
Применили одну из формул сокращенного умножения.
Ответ: 8.
4. Вычислите: \(\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}.\)
Упростим множители:
\(\sqrt{28}-\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 7}-\sqrt{3\cdot 4}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right );\)
\(\sqrt{84}=\sqrt{3\cdot 7\cdot 4}=2\sqrt{3\cdot 7};\)
\(\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{10+2\sqrt{3\cdot 7}}=\)
\(=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7} \right )^{2}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}=\)
\(=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3}\right )^{2}}=
2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )=\)
\(=2\cdot \left ( 7-3 \right )=8.\)
Ответ: 8.
Действия со степенями
Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.
\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.\)
\(\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.\)
\(\left ( a^{m} \right )^{n}=\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{mn}.\)
\(a^{n}b^{n}=\left ( ab \right )^{n}.\)
\(\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )^{n}.\)
5. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}\) при \(a=4.\)
\(\displaystyle \frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.\)
Применили формулу частного степеней \(\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.\)
Ответ: 256.
6. Вычислите: \(\left (\displaystyle \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}.\)
\(\left ( \displaystyle \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}=\left ( \displaystyle \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{12}}} \right )^{2}=\left ( 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=
\left (\displaystyle 2^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=\left (2^{\frac{1}{2}} \right )^{2}=2.\)
Ответ: 2.
7. Вычислите: \(\displaystyle \frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}\), если \(m=3,7\).
Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение \(m=3,7.\) Сначала упростим выражение.
\(\displaystyle \frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}=\displaystyle \frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=\frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.\)
Ответ: 4,5.
8. Вычислите: \(0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}}.\)
\(0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}} =\left ( \displaystyle \frac{3}{4} \right )^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( 3\cdot 4 \right )^{\frac{7}{8}}=\frac{3^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{7}{8}}\cdot 4^{\frac{7}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}}=3\cdot 4=12.\)
Применили формулу для произведения степеней: \( a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.\)
Ответ: 12.
9. Вычислите: \(\displaystyle \frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}.\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}=\displaystyle \frac{3^{\frac{1}{28}}\cdot 3\cdot 3^{\frac{1}{21}}}{3^{\frac{1}{12}}}=
3^{\frac{1}{28}+1+\frac{1}{21}-\frac{1}{12}}=3^{\frac{3}{84}+1+\frac{4}{84}-\frac{7}{84}}=3.\)
Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.
Ответ: 3.
Логарифмические выражения
Темы для повторения:
Логарифмы
Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
\(\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b\).
При этом \(b > 0, \ a > 0, \ a\neq 1.\)
Основные логарифмические формулы:
Основное логарифмическое тождество: \(\boldsymbol{\log _{a}a^{c}=c, \; a^{\log _{a}b}=b}.\)
Логарифм произведения равен сумме логарифмов: \(\boldsymbol{\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c}.\)
Логарифм частного равен разности логарифмов: \(\boldsymbol{\log _{a}\left (\displaystyle \frac{b}{c} \right )=\log _{a}b-\log _{a}c}.\)
Формула для логарифма степени: \(\boldsymbol{\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b}.\)
Формула перехода к новому основанию: \(\boldsymbol{\log _{a}b=\displaystyle \frac{1}{\log _{b}a},
\; \log _{a}b=\displaystyle \frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}}.\)
10. Вычислите: \(\log _{5}7\cdot \log _{7}25\).
\(\log _{5}7\cdot \log _{7}25=\log _{5}7\cdot \log _{7}5^{2}=2\log _{5}7\cdot \log _{7}5=2.\)
Снова формула перехода к другому основанию.
\(\log _{a}b=\displaystyle \frac{1}{\log _{b}a}\), поэтому \(\log _{a}b\cdot log _{b}\;a=1.\)
11. Найдите \(\log _{a}\displaystyle \frac{a^{6}}{b^{4}}\), если \(\log _{a}b=-2\).
\(\log _{a}\displaystyle \frac{a^{6}}{b^{4}}=\log _{a}a^{6}-\log _{a}b^{6}=6-4\log _{a}b=6-4\cdot \left ( -2 \right )=6+8=14.\)
12. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}\).
\(\displaystyle \frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}=\frac{\log _{2}\left (8\cdot 10 \right )}{3+\log _{2}10}=
\displaystyle \frac{\log _{2}8+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=\frac{3+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=1.\)
13. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}\).
\(\displaystyle \frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}=\frac{\log _{9}8^{\frac{1}{10}}}{\log _{9}8}=\frac{1}{10}=0,1\).
14. Найдите значение выражения \(\left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right )\).
\(\left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right )=
-\left ( \log _{3}18-\log _{3}3 \right )\cdot \left ( \log _{6}54-\log _{6}6 \right )=-\log _{3}6\cdot \log _{6}9=-2\log _{3}6\cdot \log _{6}3=-2.\)
Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения
Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.
15. Вычислите: \(44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right ).\)
\(44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right )=
44\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sin \left ( -480^{\circ} \right )}{\cos \left ( -480^{\circ} \right )}=
-44\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sin 480^{\circ}}{\cos 480^{\circ}}=
-44\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sin 120^{\circ}}{\cos 120^{\circ}}=-44\sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}:\left ( \displaystyle -\frac{1}{2} \right )=132.\)
16. Найдите \(3\cos \alpha\), если \(\sin \alpha =-\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\) и \(\alpha \in \left (\displaystyle \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right )\).
\(\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( \displaystyle -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right )^{2}=1-\displaystyle \frac{8}{9}=\frac{1}{9}.\)
Т.к. \(\alpha \in \left ( \displaystyle \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right )\), то \(\cos \alpha =\displaystyle \frac{1}{3}.\)
\(3\cos \alpha =3\displaystyle \cdot \frac{1}{3}=1.\)
17. Найдите \(tg\alpha\), если \(\sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}\) и \(\alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right ).\)
\(\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{5}} \right )^{2}=1-\displaystyle \frac{1}{5}=\frac{4}{5}.\)
Т.к. \(\alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right )\), то
\( \cos \alpha =\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}.\)
\(tg\alpha =\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}:\frac{2}{\sqrt{5}}=-2.\)
18. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}.\)
\(\displaystyle \frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=
\displaystyle \frac{13\cdot 2sin 76^{\circ}\cdot \cos 76^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=\displaystyle \frac{26\sin 76^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=\displaystyle \frac{26\sin \left ( 90^{\circ}-14^{\circ} \right )}{\cos 14^{\circ}}=\displaystyle \frac{26\cos 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=26.\)
Применили формулу приведения.
19. Упростите выражение: \(\displaystyle \frac{3cos(\pi - \beta)+sin(\frac{\pi}{2}+\beta)}{cos(\beta+3\pi)}.\)
\(\displaystyle \frac{3\cos \left ( \pi -\beta \right )+\sin \left (\frac{\pi }{2}+\beta \right )}{\cos \left ( \beta +3\pi \right )}=\frac{-3\cos \beta +\cos \beta }{-\cos \beta }=\frac{-2\cos \beta }{-\cos \beta }=2.\)
Применили формулу приведения.
20. Найдите \(2\cos 2\alpha\), если \(\sin \alpha =-0,7.\).
\(2\cos 2\alpha =2\left ( 1-2\sin ^{2}\alpha \right )=2-4\sin ^{2}\alpha =2-4\cdot \left ( -0,7 \right )^{2}=0,04. \)
21. Вычислите \(\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }\), если \(tg\alpha =0,3.\)
\(\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }=\displaystyle \frac{1-\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{1+\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\)
\(=\displaystyle \frac{2\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\displaystyle \frac{\sin \alpha \left ( \sin \alpha +\cos \alpha \right )}{\cos \alpha \left ( \cos \alpha +\sin \alpha \right )}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=tg\alpha =0,3.\)
Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?
Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти \(\sqrt{a^{2}}\).
Другие типы заданий
Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.
22. Найдите значение выражения \(\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}}\) при \(2\leq a\leq 4\).
Запомним: \(\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |.\)
\(\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}}=\left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |\).
Если \(2\leq a\leq 4\), то \(a-2\geq 0\) и \(\left | a-2 \right |=a-2\).
При этом \(a-4\leq 0\) и \(\left | a-4 \right |=4-a\).
При \(2\leq a\leq 4\) получаем: \(\left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |=a-2+4-a=2\).
Ответ: 2.
23. Найдите значение выражения \(x+\sqrt{x^{2}-24x+144}\) при \(x\leq 12\).
При \(x\leq 12\) получим:
\(x+\sqrt{x^{2}-24x+144}=x+\sqrt{\left ( x-12 \right )^{2}}=x+\left | x-12 \right |=x+12-x=12.\)
Ответ: 12.
24. Найдите \(\displaystyle \frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}\), если \(g\left ( x \right )=\sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}\), при \(\left | x \right |\neq 5\).
Что такое \(g\left ( x \right )\)? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число \(\sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}\). Например, \(g\left ( 0 \right )=0\);
\(g\left ( 1 \right )=\sqrt[9]{1\cdot \left ( 10-1 \right )}=\sqrt[9]{9}.\)
Тогда:
\(g\left ( 5-x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 10-5+x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 5+x \right )};\)
\(g\left ( 5+x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 10-5-x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 5-x \right )}.\)
Заметим, что \(g\left ( 5-x \right )=g\left ( 5+x \right )\).
Значит, при \(\left | x \right |\neq 5.\)
\(\displaystyle \frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}=1\).
25. Найдите \(\displaystyle \frac{p\left ( b \right )}{p\left ( \frac{1}{b} \right )}\), если \(p\left ( b \right )=\left ( \displaystyle b-\frac{9}{b} \right )\left ( \displaystyle -9b+\frac{1}{b} \right )\), при \(b\neq 0\).
\(p\left ( b \right )=\left ( b-\displaystyle \frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\displaystyle \frac{1}{b} \right )\) — функция, каждому числу \(b\) ставящая в соответствии число \(\left ( b-\displaystyle \frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\displaystyle \frac{1}{b} \right )\).
Тогда при \(b\neq 0.\)
\(p\left (\displaystyle \frac{1}{b} \right )=\left ( \displaystyle \frac{1}{b}-9b \right )\left ( \displaystyle -\frac{9}{b} +b\right )=\left ( \displaystyle b-\frac{9}{b} \right )\left (\displaystyle -9b +\frac{1}{b} \right )=p\left ( b \right )\), и значение выражения \(\displaystyle \frac{p\left ( b \right )}{p\left (\frac{1}{b} \right )}\) равно 1.
