Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $\frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$\frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}=\frac{2,88\cdot 44,5}{2,88\cdot 0,445}=\frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7\frac{9}{13}:\frac{5}{13}.$

$7\frac{9}{13}:\frac{5}{13}=\frac{100}{13}\cdot \frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ .

$\left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a;\;\sqrt{a}\geq 0;\;a\geq 0$ .

3. Вычислите $\sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}}$ .

$\sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}}=\sqrt{\left ( 12+4\sqrt{5} \right )\left ( 12-4\sqrt{5} \right )}=$

$=\sqrt{144-80}=\sqrt{64}=8.$

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:
$\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}.$

Упростим множители:

$\sqrt{28}-\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 7}-\sqrt{3\cdot 4}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right );$

$\sqrt{84}=\sqrt{3\cdot 7\cdot 4}=2\sqrt{3\cdot 7};$

$\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{10+2\sqrt{3\cdot 7}}=$

$=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7} \right )^{2}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}=$

$=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3}\right )^{2}}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )=$

$=2\cdot \left ( 7-3 \right )=8.$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$\left ( a^{m} \right )^{n}=\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=\left ( ab \right )^{n}.$

$\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $\frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при $a=4.$

$\frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $\left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}.$

$\left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}=\left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{12}}} \right )^{2}=\left ( 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=\left ( 2^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=$

$=\left (2^{\frac{1}{2}} \right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $\frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}$ , если $m=3,7$ .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение $m=3,7.$ Сначала упростим выражение.

$\frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}=\frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=\frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}}.$

$0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}}=\left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( 3\cdot 4 \right )^{\frac{7}{8}}=\frac{3^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{7}{8}}\cdot 4^{\frac{7}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}}=3\cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $\frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}.$

$\frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}=\frac{3^{\frac{1}{28}}\cdot 3\cdot 3^{\frac{1}{21}}}{3^{\frac{1}{12}}}=3^{\frac{1}{28}+1+\frac{1}{21}-\frac{1}{12}}=3^{\frac{3}{84}+1+\frac{4}{84}-\frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

$\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом $b$ > 0, $a$ > 0, $a\neq 1.$

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $\boldsymbol{\log _{a}a^{c}=c, \; a^{\log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\boldsymbol{\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $\boldsymbol{\log _{a}\left ( \frac{b}{c} \right )=\log _{a}b-\log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $\boldsymbol{\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $\boldsymbol{\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a},\; \log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $\log _{5}7\cdot \log _{7}25$ .

$\log _{5}7\cdot \log _{7}25=\log _{5}7\cdot \log _{7}5^{2}=2\log _{5}7\cdot \log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a}$ , поэтому
$\log _{a}b\cdot log _{b}\;a=1.$

11. Найдите $\log _{a}\frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $\log _{a}b=-2$ .

$\log _{a}\frac{a^{6}}{b^{4}}=\log _{a}a^{6}-\log _{a}b^{6}=6-4\log _{a}b=6-4\cdot \left ( -2 \right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $\frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}$ .

$\frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}=\frac{\log _{2}\left (8\cdot 10 \right )}{3+\log _{2}10}=\frac{\log _{2}8+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=\frac{3+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $\frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}$ .

$\frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}=\frac{\log _{9}8^{\frac{1}{10}}}{\log _{9}8}=\frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $\left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right )$ .

$\left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right )=-\left ( \log _{3}18-\log _{3}3 \right )\cdot \left ( \log _{6}54-\log _{6}6 \right )=-\log _{3}6\cdot \log _{6}9=-2\log _{3}6\cdot \log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right ).$

$44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right )=44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin \left ( -480^{\circ} \right )}{\cos \left ( -480^{\circ} \right )}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 480^{\circ}}{\cos 480^{\circ}}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 120^{\circ}}{\cos 120^{\circ}}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}:\left ( -\frac{1}{2} \right )=132.$

16. Найдите $3\cos \alpha$ , если $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $\alpha \in \left ( \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right )$ .

$\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right )^{2}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}.$

Т.к. $\alpha \in \left ( \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right )$ , то $\cos \alpha =\frac{1}{3}.$
$3\cos \alpha =3\cdot \frac{1}{3}=1.$

17. Найдите $tg\alpha$ , если $\sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right ).$

$\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right )^{2}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.$

Т.к. $\alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right )$ , то
$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}.$

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{5}}:\frac{2}{\sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $\frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}.$

$\frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=\frac{13\cdot 2sin 76^{\circ}\cdot \cos 76^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=\frac{26\sin 76^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=\frac{26\sin \left ( 90^{\circ}-14^{\circ} \right )}{\cos 14^{\circ}}=$

$=\frac{26\cos 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $\frac{3cos(\pi - \beta)+sin(\frac{\pi}{2}+\beta)}{cos(\beta+3\pi)}.$

$\frac{3\cos \left ( \pi -\beta \right )+\sin \left ( \frac{\pi }{2}+\beta \right )}{\cos \left ( \beta +3\pi \right )}=\frac{-3\cos \beta +\cos \beta }{-\cos \beta }=\frac{-2\cos \beta }{-\cos \beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите $2\cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha =-0,7.$ .

$2\cos 2\alpha =2\left ( 1-2\sin ^{2}\alpha \right )=2-4\sin ^{2}\alpha =2-4\cdot \left ( -0,7 \right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $\frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }$ , если $tg\alpha =0,3.$

$\frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{1-\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{1+\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=$

$=\frac{2\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha \left ( \sin \alpha +\cos \alpha \right )}{\cos \alpha \left ( \cos \alpha +\sin \alpha \right )}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=tg\alpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $\sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}}$ при $2\leq a\leq 4$ .

Запомним: $\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |.$

$\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}}=\left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |$ .

Если $2\leq a\leq 4$ , то $a-2\geq 0$ и $\left | a-2 \right |=a-2$ .

При этом $a-4\leq 0$ и $\left | a-4 \right |=4-a$ .

При $2\leq a\leq 4$ получаем: $\left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |=a-2+4-a=2$ .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+\sqrt{x^{2}-24x+144}$ при $x\leq 12$ .

При $x\leq 12$ получим:

$x+\sqrt{x^{2}-24x+144}=x+\sqrt{\left ( x-12 \right )^{2}}=x+\left | x-12 \right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $\frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}$ , если $g\left ( x \right )=\sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}$ , при $\left | x \right |\neq 5$ .

Что такое $g\left ( x \right )$ ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число $\sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}$ . Например, $g\left ( 0 \right )=0$ ;

$g\left ( 1 \right )=\sqrt[9]{1\cdot \left ( 10-1 \right )}=\sqrt[9]{9}.$

Тогда:

$g\left ( 5-x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 10-5+x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 5+x \right )};$

$g\left ( 5+x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 10-5-x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 5-x \right )}.$

Заметим, что $g\left ( 5-x \right )=g\left ( 5+x \right )$ .

Значит, при $\left | x \right |\neq 5.$
$\frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}=1$ .

25. Найдите $\frac{p\left ( b \right )}{p\left ( \frac{1}{b} \right )}$ , если $p\left ( b \right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right )$ , при $b\neq 0$ .

$p\left ( b \right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right )$ .

Тогда при $b\neq 0.$

$p\left ( \frac{1}{b} \right )=\left ( \frac{1}{b}-9b \right )\left ( -\frac{9}{b} +b\right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left (-9b +\frac{1}{b} \right )=p\left ( b \right )$ , и значение выражения $\frac{p\left ( b \right )}{p\left ( \frac{1}{b} \right )}$ равно 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования

Это полезно