Slider

Задание 9. Вычисления и преобразования

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых можно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №9 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения \frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

\frac{2,88\cdot 44,5}{0,288\cdot 4,45}=\frac{2,88\cdot 44,5}{2,88\cdot 0,445}=\frac{44,5}{0,445}=100

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10 – просто передвинув запятую.

Ответ: 100

2. Найдите значение выражения 7\frac{9}{13}:\frac{5}{13}

7\frac{9}{13}:\frac{5}{13}=\frac{100}{13}\cdot \frac{13}{5}=20

Ответ: 20

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

\left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a;\;\sqrt{a}\geq 0;\;a\geq 0 .

3. Вычислите \sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}} .

\sqrt{12+4\sqrt{5}}\cdot \sqrt{12-4\sqrt{5}}=\sqrt{\left ( 12+4\sqrt{5} \right )\left ( 12-4\sqrt{5} \right )}=

=\sqrt{144-80}=\sqrt{64}=8

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8

4. Вычислите:
\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}

Упростим множители:

\sqrt{28}-\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 7}-\sqrt{3\cdot 4}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )

\sqrt{84}=\sqrt{3\cdot 7\cdot 4}=2\sqrt{3\cdot 7}

\left ( \sqrt{28}-\sqrt{12} \right )\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{10+2\sqrt{3\cdot 7}}=

=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7} \right )^{2}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}=

=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\cdot \sqrt{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3}\right )^{2}}=2\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )=

=2\cdot \left ( 7-3 \right )=8

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

\left ( a^{m} \right )^{n}=\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{mn}

a^{n}b^{n}=\left ( ab \right )^{n}

\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}

5. Найдите значение выражения: \frac{a^{8,9}}{a^{4,9}} при a=4

\frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256

Применили формулу частного степеней \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

6. Вычислите \left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}

\left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}} \right )^{2}=\left ( \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{12}}} \right )^{2}=\left ( 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=\left ( 2^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}} \right )^{2}=

=\left (2^{\frac{1}{2}} \right )^{2}=2

7. Вычислите \frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}, если m=3,7.

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

\frac{5\left ( m^{6} \right )^{5}+13\left ( m^{10} \right )^{3}}{\left ( 2m^{15} \right )^{2}}=\frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=\frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5

8. Вычислите 0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}}

0,75^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 12^{\frac{7}{8}}=\left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( 3\cdot 4 \right )^{\frac{7}{8}}=\frac{3^{\frac{1}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{7}{8}}\cdot 4^{\frac{7}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}}=3\cdot 4=12

Применили формулу для произведения степеней: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

9. Вычислите \frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}

\frac{\sqrt[28]{3}\cdot 3\cdot \sqrt[21]{3}}{\sqrt[12]{3}}=\frac{3^{\frac{1}{28}}\cdot 3\cdot 3^{\frac{1}{21}}}{3^{\frac{1}{12}}}=3^{\frac{1}{28}+1+\frac{1}{21}-\frac{1}{12}}=3^{\frac{3}{84}+1+\frac{4}{84}-\frac{7}{84}}=3

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b.

При этом b> 0, a > 0, a\neq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: \boldsymbol{\log _{a}a^{c}=c, \; a^{\log _{a}b}=b}

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: \boldsymbol{\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c}

Логарифм частного равен разности логарифмов: \boldsymbol{\log _{a}\left ( \frac{b}{c} \right )=\log _{a}b-\log _{a}c}

Формула для логарифма степени: \boldsymbol{\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b}

Формула перехода к новому основанию: \boldsymbol{\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a},\; \log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}}

10. Вычислите: \log _{5}7\cdot \log _{7}25.

\log _{5}7\cdot \log _{7}25=\log _{5}7\cdot \log _{7}5^{2}=2\log _{5}7\cdot \log _{7}5=2

Снова формула перехода к другому основанию.

\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a}, поэтому
\log _{a}b\cdot log _{b}\;a=1

11. Найдите \log _{a}\frac{a^{6}}{b^{4}}, если \log _{a}b=-2.

\log _{a}\frac{a^{6}}{b^{4}}=\log _{a}a^{6}-\log _{a}b^{6}=6-4\log _{a}b=6-4\cdot \left ( -2 \right )=6+8=14

12. Найдите значение выражения \frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}.

\frac{\log _{2}80}{3+\log _{2}10}=\frac{\log _{2}\left (8\cdot 10 \right )}{3+\log _{2}10}=\frac{\log _{2}8+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=\frac{3+\log _{2}10}{3+\log _{2}10}=1

13. Найдите значение выражения \frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}.

\frac{\log _{9}\sqrt[10]{8}}{\log _{9}8}=\frac{\log _{9}8^{\frac{1}{10}}}{\log _{9}8}=\frac{1}{10}=0,1.

14. Найдите значение выражения \left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right ).

\left ( 1-\log _{3}18 \right )\left ( \log _{6}54 -1\right )=-\left ( \log _{3}18-\log _{3}3 \right )\cdot \left ( \log _{6}54-\log _{6}6 \right )=-\log _{3}6\cdot \log _{6}9=-2\log _{3}6\cdot \log _{6}3=-2.

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: 44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right )

44\sqrt{3}tg\left ( -480^{\circ} \right )=44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin \left ( -480^{\circ} \right )}{\cos \left ( -480^{\circ} \right )}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 480^{\circ}}{\cos 480^{\circ}}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 120^{\circ}}{\cos 120^{\circ}}=-44\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}:\left ( -\frac{1}{2} \right )=132

16. Найдите 3\cos \alpha, если \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3} и \alpha \in \left ( \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right ).

\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right )^{2}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}

Т.к. \alpha \in \left ( \frac{3\pi }{2};\;2\pi \right ), то \cos \alpha =\frac{1}{3}
3\cos \alpha =3\cdot \frac{1}{3}=1

17. Найдите tg\alpha, если \sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}} и \alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right )

\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha =1-\left ( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right )^{2}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}

Т.к. \alpha \in \left ( 1,5\pi ;\;2\pi \right ), то
\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}

tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{5}}:\frac{2}{\sqrt{5}}=-2

18. Найдите значение выражения: \frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}

\frac{13\sin 152^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=\frac{13\cdot 2sin 76^{\circ}\cdot \cos 76^{\circ}}{\cos 76^{\circ}\cdot \cos 14^{\circ}}=\frac{26\sin 76^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=\frac{26\sin \left ( 90^{\circ}-14^{\circ} \right )}{\cos 14^{\circ}}=

=\frac{26\cos 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}=26

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: \frac{3cos(\pi - \beta)+sin(\frac{\pi}{2}+\beta)}{cos(\beta+3\pi)}

\frac{3\cos \left ( \pi -\beta \right )+\sin \left ( \frac{\pi }{2}+\beta \right )}{\cos \left ( \beta +3\pi \right )}=\frac{-3\cos \beta +\cos \beta }{-\cos \beta }=\frac{-2\cos \beta }{-\cos \beta }=2

Применили формулу приведения.

20. Найдите 2\cos 2\alpha, если \sin \alpha =-0,7.

2\cos 2\alpha =2\left ( 1-2\sin ^{2}\alpha \right )=2-4\sin ^{2}\alpha =2-4\cdot \left ( -0,7 \right )^{2}=0,04

21. Вычислите \frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }, если tg\alpha =0,3

\frac{1-\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{1-\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{1+\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=

=\frac{2\sin ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^{2}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha \left ( \sin \alpha +\cos \alpha \right )}{\cos \alpha \left ( \cos \alpha +\sin \alpha \right )}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=tg\alpha =0,3

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 9 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти \sqrt{a^{2}}.

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}} при 2\leq a\leq 4.

Запомним: \sqrt{a^{2}}=\left | a \right |

\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( a-4 \right )^{2}}=\left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |.

Если 2\leq a\leq 4, то a-2\geq 0 и \left | a-2 \right |=a-2.

При этом a-4\leq 0 и \left | a-4 \right |=4-a.

При 2\leq a\leq 4 получаем: \left | a-2 \right |+\left | a-4 \right |=a-2+4-a=2.

Ответ: 2

23. Найдите значение выражения

x+\sqrt{x^{2}-24x+144} при x\leq 12.

При x\leq 12 получим:

x+\sqrt{x^{2}-24x+144}=x+\sqrt{\left ( x-12 \right )^{2}}=x+\left | x-12 \right |=x+12-x=12.

Ответ: 12.

24. Найдите \frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}, если g\left ( x \right )=\sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}, при \left | x \right |\neq 5.

Что такое g\left ( x \right )? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число \sqrt[9]{x\left ( 10-x \right )}. Например, g\left ( 0 \right )=0;

g\left ( 1 \right )=\sqrt[9]{1\cdot \left ( 10-1 \right )}=\sqrt[9]{9}

Тогда:

g\left ( 5-x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 10-5+x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5-x \right )\left ( 5+x \right )},

g\left ( 5+x \right )=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 10-5-x \right )}=\sqrt[9]{\left ( 5+x \right )\left ( 5-x \right )}

Заметим, что g\left ( 5-x \right )=g\left ( 5+x \right ).

Значит, при \left | x \right |\neq 5
\frac{g\left ( 5-x \right )}{g\left ( 5+x \right )}=1.

25. Найдите \frac{p\left ( b \right )}{p\left ( \frac{1}{b} \right )}, если p\left ( b \right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right ), при b\neq 0.

p\left ( b \right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right ) — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left ( -9b+\frac{1}{b} \right ).

Тогда при b\neq 0

p\left ( \frac{1}{b} \right )=\left ( \frac{1}{b}-9b \right )\left ( -\frac{9}{b} +b\right )=\left ( b-\frac{9}{b} \right )\left (-9b +\frac{1}{b} \right )=p\left ( b \right ), и значение выражения \frac{p\left ( b \right )}{p\left ( \frac{1}{b} \right )} равно 1.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.