Многие старшеклассники считают, что задача 9 Профильного ЕГЭ по математике — это «физика». А поскольку с физикой дружат не все, то и задачу считают «сложной» и обходят стороной.
С другой стороны, на Ютьюбе и вообще в интернете появляются «полезные» советы по решению этой задачи. Условие, мол, читать не надо, главное — найти формулу, подставить в нее все «буковки» и посчитать, что получилось.
На самом деле это, конечно, не физика. Это обычная математика, школьный курс. Правда, знать нужно немало. И обязательно читать условие. И очень внимательно.
Первая задача — простая.
1. При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=110\) Гц и определяется следующим выражением: \(f=f_0\displaystyle \frac{c+u}{c-v}\) (Гц), где \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u=9\) м/с и \(v=15\) м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмникеf будет не менее 120 Гц?
Решение:
По условию, частота сигнала \(f\ge 120\) Гц.
Подставим данные в выражение для \(f\). Получим: \( 110\cdot \displaystyle \frac{c+9}{c-15}\ge 120. \)
\(\displaystyle \frac{c+9}{c-15}\ge \frac{12}{11}; \)
\(\displaystyle \frac{11c+99-12c+180}{11(c-15)}\ge 0;\)
\(\displaystyle \frac{279-c}{c-15}\ge 0. \)
\( 15\le c \le 279. \) Значит, наибольшее возможное значение \(c\) равно 279.
Ответ: 279.
Линейные уравнения и неравенства (и сводящиеся к ним)
Следующая — настоящая ловушка для старшеклассников. Сколько раз эта задача встречалась и на диагностических работах, и на реальных ЕГЭ! И все равно многие в ней ошибаются.
2. При температуре \(0^{\circ}C\) рельс имеет длину \(l {}_{0} =10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t)\), где \(\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\) — коэффициент теплового расширения, \(t\) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решите самостоятельно — и проверьте, что получилось. Дело в том, что учащиеся часто получают в этой задаче абсурдные ответы. Например, говорят, что рельс удлинится на 3 миллиметра при температуре 7000 градусов. Но это больше, чем температура на поверхности Солнца! Рельс расплавится.
Решение:
Зависимость \(l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t)\) — это функция длины рельса от температуры. Длина рельса зависит от температуры по определенному правилу. Мы помним из физики, что при нагревании тела расширяются, а при охлаждении — сжимаются, и особенно это заметно для металлов. При изменении температуры длина металлического рельса может измениться на несколько миллиметров.
Подставим в эту формулу начальные значения: \(l {}_{0 } =10\) м и \(\alpha=1,2\cdot {10}^{-5}.\) Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса \(l\left(t\right)\) стала равной 10 м + 3 мм.
Теперь переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра (\(1\) мм \(=0,001\) м \(=10^{-3}\) метра).
\( l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3}\). (м)
Получим: \(10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t). \)
Это линейное уравнение с одной переменной \(t\). Раскроем скобки в правой части:
\(10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t. \)
Находим \(t: \ t=\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\displaystyle \frac{100}{4}=25. \)
При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.
Ответ: 25.
Парабола и квадратные неравенства
Темы для повторения:
3. Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \(q=85-5p.\) Выручка предприятия за месяц \(r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p)=q\cdot p.\) Определите наибольшую цену \(p\), при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее 210 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Здесь точно придется читать условие. И решать именно неравенство, а не уравнение.
Решение:
Поскольку месячная выручка не менее 210 тысяч рублей,
\(r(p)=q\cdot p=(85-5p)\cdot p\ge 210-5p^2+85p\ge 210.\)
График функции в левой части неравенства — квадратичная парабола с ветвями вниз.
\(p^2-17p+42\le 0. \)
Заметим, что это неравенство не превращается в уравнение \( p^2-17p+42=0\). Уравнение здесь нужно для того, чтобы найти, при каких значениях \(p\) выручка равна 210. Решив его, получим: \(p= 3\) или \(p = 14\). Решения неравенства:
\(3\le p\le 14. \)
Наибольшее значение \(p\) равно 14.
Ответ: 14.
- «Отлично, - скажете вы. Берем больший из корней квадратного уравнения, и готово». Так ли это? - Конечно, нет. Надо внимательно прочитать условие и понять, что же будет ответом задачи.
4. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону \(h(t) = 1,6 + 8t - 5t {}^{2}\), где \(h\) — выcота в метрах, \(t\) - время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?
Решение:
Запишем, что \(h(t) \geq 3:\)
\(1,6+8t-5t^2 \geq 3. \)
Построим график функции в левой части — то есть зависимость высоты мяча от времени.
Мы видим, что через \(t_1 {}_{ }\) секунд после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась. Затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени \(t_2\) снова стала равна трём метрам над землей. Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение \(t=t_2-t_1\) секунд.
Осталось найти разность \(t_2-t_1. \)
Для этого решим квадратичное неравенство \(5t {}^{2 } - 8t + 1,4 \leq 0.\)
Работать с дробными коэффициентами неудобно. Умножим обе части неравенства на 5:
\(25t {}^{2 } - 40t + 7 \leq 0.\)
Найдем корни соответствующего уравнения \(25t {}^{2} - 40t+7 = 0. \)
\(t {}_{1 } = 0,2; \, \, t {}_{2 } = 1,4. \)
Разность \(t {}_{2 } - t {}_{1} {}_{ } = 1,4 - 0,2 = 1,2.\)
Ответ: 1,2.
Вот еще одна задача из первой части варианта профильного ЕГЭ, в которой больше \(90\%\) решающих получают неправильный ответ. Только потому, что не пользуются графиком.
5. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением \(T(t) = T {}_{0 } + bt + at {}^{2}\), где \(t\) - время в минутах, \(T {}_{0 } = 1400 \)K, \(a = -10\) K/мин, \(b = 200\) K/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 K прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Решите самостоятельно. Какой ответ у вас получился?
По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
\(T(t) = 1400 + 200t - 10t {}^{2}.\)
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство \(T \leq 1760\), или \(1400+200t-10t^2\le 1760. \)
Нарисуем график зависимости температуры нагревателя от времени: \(T\left(t\right)=1400+200t-10t^2\). Это квадратичная парабола с ветвями вниз.
Мы включаем прибор в момент времени \(t = 0.\) Температура нагревателя повышается и в момент времени \(t {}_{1}\) достигает 1760 К. Если в этот момент прибор не выключить, температура продолжает повышаться. Но это значит, что прибор испортится, то есть сгорит! Ясно, что отключать его надо в момент времени \(t {}_{1} {}_{} .\)
Осталось найти \(t {}_{1} {}_{ }.\) Решим квадратичное неравенство: \(-t^2+20t-36\le 0.\)
Корни соответствующего квадратного уравнения: \(t {}_{1 } = 2, \, \, t {}_{2 } = 18.\)
Мы нашли, что \(t {}_{1} {}_{ } = 2. \)
Ответ: 2.
Ну как? Вы все еще считаете, что условие можно не читать? : -)
Квадратичные функции в задании №8 Профильного ЕГЭ — это еще не всё. Впереди степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и даже неравенства.
Степенные уравнения и неравенства
Тема для повторения: Степенная функция
6. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^{k}=3,2\cdot10^{6}\cdot \Pi a \cdotм^{5}\), где \(p\) — давление в газе в паскалях, \(B\) — объeм газа в кубических метрах, \(k=\displaystyle \frac{4}{3}.\) Найдите, какой объём \(V\)(в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(2\cdot 10^{5} \Pi a .\)
Решение:
Подставим данные в уравнение \(pV^k=3,2\cdot {10}^6:\)
\(2\cdot {10}^5\cdot V^{\frac{4}{3}}=3,2\cdot {10}^6; \)
\(V^{\frac{4}{3}}=16; \)
\(V^{\frac{1}{3}}=2; \)
\(V=8. \)
Ответ: 8.
Показательные уравнения и неравенства
Темы для повторения:
7. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^\alpha=const\), где \(p\)(Па) — давление в газе, \(V\) — объём газа в кубических метрах, \(\alpha\) — положительная константа. При каком наименьшем значении константы \(\alpha\) уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Решение:
Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами — давлением, объемом, температурой. По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что \(pV^a=const.\) Это значит, что
\(p_1{V_1}^{\alpha }=p_2{V_2}^{\alpha }. \)
\(\displaystyle \frac{\rho _2}{\rho _1}=\left(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\right )^{\alpha }.\)
Объем уменьшился вдвое, то есть \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=2.\)
Поскольку \(\displaystyle \frac{\rho _2}{\rho _1}\ge 4\), получим, что \(2^{\alpha }\ge 4.\) Тогда \(\alpha \ge 2.\)
Наименьшее значение \(\alpha=2\) записываем в ответ.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения и неравенства
Темы для повторения:
8. Водолазный колокол, содержащий \(v=5\) моля воздуха при давлении \(\rho_1=1,75\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(\rho_2.\) Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha v T{log}_2\displaystyle \frac{\rho_2}{\rho_1}\), где \(\alpha=9,7\) — постоянная, \(T=300K\) — температура воздуха. Найдите, какое давление \(\rho_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.
Решение:
Подставим все данные в уравнение для совершенной водой работы:
\(9,7\cdot 5\cdot 300\cdot {log}_2\displaystyle \frac{\rho_2}{1,75}=29100; \)
\(9,7\cdot 5\cdot {log}_2\displaystyle \frac{\rho_2}{1,75}=97; \)
\({log}_2\displaystyle \frac{\rho_2}{1,75}=2; \)
\(\displaystyle \frac{\rho_2}{1,75}=4
\rho_2=7. \)
Ответ: 7.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Темы для повторения: Тригонометрия
9. При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda =400\) нм на дифракционную решeтку с периодом \(d\) нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол \(\varphi \) (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума \(k\) связаны соотношением \(dsin \varphi =k\lambda \). Под каким минимальным углом \(\varphi \) (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?
Решение:
Запишем условие задачи в виде неравенства. Заметим, что нам нужен третий максимум, то есть номер максимума \(k=3.\)
\(2400\cdot sin \varphi \ge 3\cdot 400. \)
\(sin \varphi \ge \displaystyle \frac{1}{2}.\)
Поскольку угол \(\varphi\) — острый, \(\varphi_{min}={30}^{{}^\circ }. \)
Ответ: 30.
Это была простая задача по тригонометрии. А закончим мы самыми сложными, какие только могут встретиться в этой теме, - тригонометрическими неравенствами.
10. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону \(v\left(t\right)=0,5sin\pi t\), где \(t\) — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле \(E=\displaystyle \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) — масса груза (в кг), - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5\(\cdot {10}^{-3}\) Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение:
\(E=\displaystyle \frac{mv^2}{2}=\frac{{sin}^2\pi t\cdot 0,08}{8}\ge 5\cdot {10}^{-3}. \)
\({sin}^2\pi t\ge 5\cdot {10}^{-3}:{10}^{-2}; \)
\({sin}^2\pi t\ge \displaystyle \frac{1}{2}.\)
Применим формулу понижения степени: \(\displaystyle \frac{1-cos2\pi t}{2}\ge \displaystyle \frac{1}{2}; \, \, cos2\pi t\le 0.\)
Нарисуем график функции \(y\left(t\right)=cos2\pi t\) при \(t\in [0;1] :\)
Значения этой функции не больше нуля ровно половину времени из первой секунды.
Ответ: 0,5.
11. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону \(v\left(t\right)=1,6{cos \pi t}\), где \(t\) — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле \(E=\displaystyle \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) — масса груза (в кг), \(v\) — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее \(2,4\cdot {10}^{-1}\) Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение:
\(E\ge 2,4\cdot {10}^{-1};\)
\(E=\displaystyle \frac{mv^2}{2}=\frac{0,25}{2}\cdot {(1,6\,{cos \pi t)}}^2\displaystyle \frac{1}{8}\cdot {1,6}^2\cdot {{cos}^2 \pi t}; \)
\(\displaystyle \frac{1}{8}\cdot \frac{{16}^2}{{10}^2}{cos}^2\pi t\ge \frac{2,4}{10}; \)
\({cos}^2\pi t\ge \displaystyle \frac{3}{4}. \)
По формуле понижения степени: \( {cos}^2\pi t=\displaystyle \frac{cos2\pi t+1}{2}.\)
Отсюда \(cos2\pi t\ge \displaystyle \frac{1}{2}. \)
Построим график функции \(y=cos2\pi t\) при \( t\in [0;1]:\)
\(cos0=1 \) (при \(t=0\));
\(cos2\pi =1\) (при \(t=1\));
\(cos\pi =-1 \) (при \( t=\displaystyle \frac{1}{2}\));
\(cos\displaystyle \frac{\pi }{2}=0\) (при \( t=\displaystyle \frac{1}{4}\) );
\(cos\displaystyle \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} \) (при \( t=\displaystyle \frac{1}{6}\) );
\(cos\displaystyle \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}\) (при \( t=\displaystyle \frac{5}{6}\)).
Найдем, каждую часть из первой секунды выполняется неравенство \(cos2\pi t\ge \displaystyle \frac{1}{2}.\)
Получим, что \(cos\pi t\ge \displaystyle \frac{1}{2}\) при \(t\in [0; 1]\) на \(0\le t\le \displaystyle \frac{1}{6} \) и \(\displaystyle \frac{5}{6}\le t\le 1.\)
Вместе эти отрезки составляют \(\displaystyle \frac{1}{3}\) от первой секунды; \(\displaystyle \frac{1}{3}\approx 0,33.\)
Ответ: 0,33.
Кому-то удобнее рисовать в этой задаче не график, а тригонометрический круг. Это дело вкуса. Главное — не решать тригонометрические неравенства в уме. И конечно, внимательно читать и анализировать условие : -)
