Задача 8 ЕГЭ по математике Профиль - с прикладным содержанием

Многие старшеклассники считают, что задача 8 Профильного ЕГЭ по математике — это «физика». А поскольку с физикой дружат не все, то и задачу считают «сложной» и обходят стороной.

С другой стороны, на Ютьюбе и вообще в интернете появляются «полезные» советы по решению этой задачи. Условие, мол, читать не надо, главное — найти формулу, подставить в нее все «буковки» и посчитать, что получилось.

На самом деле это, конечно, не физика. Это обычная математика, школьный курс. Правда, знать нужно немало. И обязательно читать условие. И очень внимательно.

Первая задача — простая.

1. При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=110$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=9$ м/с и $v=15$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмникеf будет не менее 120 Гц?

По условию, частота сигнала $f\ge 120$ Гц.

Подставим данные в выражение для $f$ . Получим: $110\cdot \frac{c+9}{c-15}\ge 120.$

$\frac{c+9}{c-15}\ge \frac{12}{11};$

$\frac{11c+99-12c+180}{11(c-15)}\ge 0;$

$\frac{279-c}{c-15}\ge 0.$

$15\le c \le 279.$ Значит, наибольшее возможное значение $c$ равно 279.

Ответ: 279.

Линейные уравнения и неравенства (и сводящиеся к ним)

Следующая — настоящая ловушка для старшеклассников. Сколько раз эта задача встречалась и на диагностических работах, и на реальных ЕГЭ! И все равно многие в ней ошибаются.

2. При температуре $0^{\circ}C$ рельс имеет длину $l {}_{0} =10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t)$ , где $\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}$ — коэффициент теплового расширения, $t$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решите самостоятельно — и проверьте, что получилось. Дело в том, что учащиеся часто получают в этой задаче абсурдные ответы. Например, говорят, что рельс удлинится на 3 миллиметра при температуре 7000 градусов. Но это больше, чем температура на поверхности Солнца! Рельс расплавится.

Зависимость $l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t)$ — это функция длины рельса от температуры. Длина рельса зависит от температуры по определенному правилу. Мы помним из физики, что при нагревании тела расширяются, а при охлаждении — сжимаются, и особенно это заметно для металлов. При изменении температуры длина металлического рельса может измениться на несколько миллиметров.

Подставим в эту формулу начальные значения: $l {}_{0 } =10$ м и $\alpha=1,2\cdot {10}^{-5}$ . Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса $l\left(t\right)$ стала равной 10 м + 3 мм.

Теперь переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра
().

$l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3}$ . (м)

Получим:

$10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t).$

Это линейное уравнение с одной переменной $t$ . Раскроем скобки в правой части

$10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t.$

Находим $t$ :

$t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25.$

При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.

Ответ: 25.

Парабола и квадратные неравенства

Темы для повторения:

Квадратичная функция

Квадратичные неравенства

3. Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс.руб.) задаётся формулой $q=85-5p$ . Выручка предприятия за месяц $r$ (в тыс.руб.) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p$ . Определите наибольшую цену $p$ , при которой месячная выручка $r(p)$ составит не менее 210 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.руб.

Здесь точно придется читать условие. И решать именно неравенство, а не уравнение.

Поскольку месячная выручка не менее 210 тысяч рублей,

$r(p)=q\cdot p=(85-5p)\cdot p\ge 210-5p^2+85p\ge 210.$

График функции в левой части неравенства — квадратичная парабола с ветвями вниз.

$p^2-17p+42\le 0.$

Заметим, что это неравенство не превращается в уравнение $p^2-17p+42=0$ . Уравнение здесь нужно для того, чтобы найти, при каких значениях $p$ выручка равна 210. Решив его, получим: $p= 3$ или $p = 14$ . Решения неравенства:

$3\le p\le 14.$

Наибольшее значение $p$ равно 14.

Ответ: 14.

- «Отлично, - скажете вы. Берем больший из корней квадратного уравнения, и готово». Так ли это? - Конечно, нет. Надо внимательно прочитать условие и понять, что же будет ответом задачи.

4. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону $h(t) = 1,6 + 8t - 5t {}^{2}$ , где $h$ — выcота в метрах, $t$ - время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Запишем, что $h(t) \geq 3:$

$1,6+8t-5t^2 \geq 3.$

Построим график функции в левой части — то есть зависимость высоты мяча от времени.

Мы видим, что через $t_1 {}_{ }$ секунд после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась. Затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени $t_2$ снова стала равна трём метрам над землей. Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение $t=t_2-t_1$ секунд.

Осталось найти разность $t_2-t_1.$

Для этого решим квадратичное неравенство $5t {}^{2 } - 8t + 1,4 \leq 0.$

Работать с дробными коэффициентами неудобно. Умножим обе части неравенства на 5:

$25t {}^{2 } - 40t + 7 \leq 0.$

Найдем корни соответствующего уравнения $25t {}^{2} - 40t+7 = 0.$

$t {}_{1 } = 0,2; \, \, t {}_{2 } = 1,4.$

Разность $t {}_{2 } - t {}_{1} {}_{ } = 1,4 - 0,2 = 1,2.$

Ответ: 1,2.

Вот еще одна задача из первой части варианта профильного ЕГЭ, в которой больше $90\%$ решающих получают неправильный ответ. Только потому, что не пользуются графиком.

5. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением $T(t) = T {}_{0 } + bt + at {}^{2}$ , где $t$ - время в минутах, $T {}_{0 } = 1400$ K, $a = -10$ K/мин, $b = 200$ K/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 K прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решите самостоятельно. Какой ответ у вас получился?

По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

$T(t) = 1400 + 200t - 10t {}^{2}.$

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство $T \leq 1760$ , или $1400+200t-10t^2\le 1760.$

Нарисуем график зависимости температуры нагревателя от времени:

$T\left(t\right)=1400+200t-10t^2$ . Это квадратичная парабола с ветвями вниз.

Мы включаем прибор в момент времени $t = 0.$ Температура нагревателя повышается и в момент времени $t {}_{1}$ достигает 1760 К. Если в этот момент прибор не выключить, температура продолжает повышаться. Но это значит, что прибор испортится, то есть сгорит! Ясно, что отключать его надо в момент времени $t {}_{1} {}_{} .$

Осталось найти $t {}_{1} {}_{ }.$ Решим квадратичное неравенство: $-t^2+20t-36\le 0.$

Корни соответствующего квадратного уравнения: $t {}_{1 } = 2, \, \, t {}_{2 } = 18.$

Мы нашли, что $t {}_{1} {}_{ } = 2.$

Ответ: 2.

Ну как? Вы все еще считаете, что условие можно не читать? : -)

Квадратичные функции в задании №8 Профильного ЕГЭ — это еще не всё. Впереди степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и даже неравенства.

Степенные уравнения и неравенства

Тема для повторения: Степенная функция

6. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон где $p$ — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах, $k=\frac{4}{3}$ Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$ , равном .

Подставим данные в уравнение $pV^k=3,2\cdot {10}^6:$

$2\cdot {10}^5\cdot V^{\frac{4}{3}}=3,2\cdot {10}^6;$

$V^{\frac{4}{3}}=16;$

$V^{\frac{1}{3}}=2;$

$V=8.$

Ответ: 8.

Показательные уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Показательная функция.

Показательные неравенства.

7. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^\alpha=const$ , где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $\alpha$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $\alpha$ уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами — давлением, объемом, температурой. По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что $pV^a=const.$ Это значит, что

$p_1{V_1}^{\alpha }=p_2{V_2}^{\alpha }.$

$\frac{\rho _2}{\rho _1}= ({\frac{V_1}{V_2})}^{\alpha }.$

Объем уменьшился вдвое, то есть $\frac{V_1}{V_2}=2.$

Поскольку $\frac{\rho _2}{\rho _1}\ge 4$ , получим, что $2^{\alpha }\ge 4.$ Тогда $\alpha \ge 2.$

Наименьшее значение $\alpha=2$ записываем в ответ.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Логарифмы.

Логарифмические неравенства.

8. Водолазный колокол, содержащий $v=5$ моля воздуха при давлении $\rho_1=1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $\rho_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha v T{log}_2\frac{\rho_2}{\rho_1}$ , где $\alpha=9,7$ — постоянная, $T=300K$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $\rho_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.

Подставим все данные в уравнение для совершенной водой работы:

$9,7\cdot 5\cdot 300\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=29100;$

$9,7\cdot 5\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=97;$

${log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=2;$

$\frac{\rho_2}{1,75}=4\rho_2=7.$

Ответ: 7.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Темы для повторения: Тригонометрия

9. При нормальном падении света с длиной волны $\lambda =400$ нм на дифракционную решeтку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $dsin \varphi =k\lambda$ . Под каким минимальным углом $\varphi$ (вградусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Запишем условие задачи в виде неравенства. Заметим, что нам нужен третий максимум, то есть номер максимума $k=3$ .

$2400\cdot sin \varphi \ge 3\cdot 400.$

$sin \varphi \ge \frac{1}{2}.$

Поскольку угол $\varphi$ — острый, $\varphi_{min}={30}^{{}^\circ }.$

Ответ: 30.

Это была простая задача по тригонометрии. А закончим мы самыми сложными, какие только могут встретиться в этой теме, - тригонометрическими неравенствами.

10. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v\left(t\right)=0,5sin\pi t$ , где $t$ — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле $E=\frac{mv^2}{2}$ , где $m$ — масса груза (в кг), - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 $\cdot {10}^{-3}$ Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{{sin}^2\pi t\cdot 0,08}{8}\ge 5\cdot {10}^{-3}.$

${sin}^2\pi t\ge 5\cdot {10}^{-3}:{10}^{-2}.$

${sin}^2\pi t\ge \frac{1}{2}$ . Применим формулу понижения степени:

$\frac{1-cos2\pi t}{2}\ge \frac{1}{2}; \, \, cos2\pi t\le 0.$

Нарисуем график функции $y\left(t\right)=cos2\pi t$ при $t\in [0;1]$

Значения этой функции не больше нуля ровно половину времени из первой секунды.

Ответ: 0,5.

11. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v\left(t\right)=1,6{cos \pi t}$ , где $t$ — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^2}{2}$ , где $m$ — масса груза (вкг), $v$ — скорость груза (вм/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $2,4\cdot {10}^{-1}$ Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

$E\ge 2,4\cdot {10}^{-1};$

$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{0,25}{2}\cdot {(1,6\,{cos \pi t)}}^2=\frac{1}{8}\cdot {1,6}^2\cdot {{cos}^2 \pi t};$

$\frac{1}{8}\cdot \frac{{16}^2}{{10}^2}{cos}^2\pi t\ge \frac{2,4}{10};$

${cos}^2\pi t\ge \frac{3}{4}.$

По формуле понижения степени

${cos}^2\pi t=\frac{cos2\pi t+1}{2}.$ Отсюда

$cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.$

Построим график функции $y=cos2\pi t$ при $t\in [0;1]:$

$cos0=1$ (при $t=0$ );

$cos2\pi =1$ (при $t=1$ );

$cos\pi =-1$ (при $t=\frac{1}{2}$ );

$cos\frac{\pi }{2}=0$ (при $t=\frac{1}{4}$ );

$cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (при $t=\frac{1}{6}$ );

$cos\frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (при $t=\frac{5}{6}$ ).

Найдем, каждую часть из первой секунды выполняется неравенство $cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.$

Получим, что $cos\pi t\ge \frac{1}{2}$ при $t\in [0; 1]$ на $0\le t\le \frac{1}{6}$ и $\frac{5}{6}\le t\le 1.$

Вместе эти отрезки составляют $\frac{1}{3}$ от первой секунды; $\frac{1}{3}\approx 0,33.$

Ответ: 0,33.

Кому-то удобнее рисовать в этой задаче не график, а тригонометрический круг. Это дело вкуса. Главное — не решать тригонометрические неравенства в уме. И конечно, внимательно читать и анализировать условие : -)

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание №8. Задачи с прикладным содержанием u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 06.06.2023

Задание №8. Задачи с прикладным содержанием — профильный ЕГЭ по математике.

Это полезно