Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 16 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.
В этой статье:
Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.
Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.
Комбинированные задачи.
В чем основная сложность «экономической» задачи.
Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.
Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.
Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:
- Что принимается за 100%?
- Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
- Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?
Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.
Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты
Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.
Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.
В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.
Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.
Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.
Давайте потренируемся.
1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.
Введем обозначения:
\(S=6902\) тыс. рублей - сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
\( p= 12,5 \%\) - процент банка,
\( k=1+\frac{{ p}}{100}=1+\frac{125}{1000}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8} \)- коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
\(X\) — сумма ежегодного платежа.
Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:
- сумма долга увеличивается в \(k\) раз;
- Аристарх вносит на счет сумму \(X\) в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на \(X\).
Вот что получается:
\((\left(\left({ S}\cdot { k}-{ X}\right)\cdot { k}-{ X}\right)\cdot { k}-{ X})\cdot { k}-{ X}=0. \)
Раскроем скобки:
\( S{{ k}}^4-{ X}\left({{ k}}^3+{{ k}}^2+{ k}+1\right)=0.\)
Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как
\( 1+{{ k}+{{ k}}^2+{ k}}^3\). В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.
Применим формулу суммы геометрической прогрессии:
\( {{ Sk}}^4={ X}\cdot \frac{{{ k}}^4-1}{{ k}-1}=0.\) И выразим из этой формулы \(X\).
\( { X}=\frac{{ S}\cdot {{ k}}^4\left({ k}-1\right)}{{{ k}}^4-1}.\) Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби \(\frac{9}{8}\), Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!
И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.
\({ X}=\frac{{ S}\cdot {{ k}}^4\left({ k}-1\right)}{{{ k}}^4-1}=\frac{{ S}\cdot 9^4\left(\frac{9}{8}-1\right)}{8^4\cdot \left(\frac{9^4}{8^4}-1\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^4-8^4\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^2-8^2\right)\left(9^2+8^2\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9+8\right)\left(9^2+8^2\right)}=
\)
\( =\frac{6902\cdot {81}^2}{8\cdot 17\cdot 145}=\frac{406\cdot {81}^2}{8\cdot 145}=\frac{203\cdot {81}^2}{4\cdot 145}=\frac{29\cdot 7\cdot {81}^2}{4\cdot 29\cdot 5} = 2296,35\) тыс.руб.
Ответ: 2296350 рублей.
Вот следующая задача.
2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.
Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.
Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.
Как обычно, \({ k}=1+\frac{{ p}}{100}.\)
Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна \(\frac{1}{24}{ S}.\) После первой выплаты сумма долга равна \(\frac{23}{24}{ S},\) после второй \(\frac{22}{24}{ S}.\)
Тогда первая выплата \({{ X}}_1={ kS}-\frac{23}{24}{ S},\) вторая выплата\( {{ X}}_2={ k}\cdot \frac{23}{24}{ S}-\frac{22}{24}{ S}\),
\( \dots \)
Последняя в году выплата \({{ X}}_{12}={ k}\cdot \frac{13}{24}{ S}-\frac{12}{24}{ S}.\)
Сумма всех выплат в течение первого года:
\({ X}={{ X}}_1+{{ X}}_2+\dots +{{ X}}_{12}={ kS}\left(1+\frac{23}{24}+\dots \frac{13}{24}\right)-{ S}\left(\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+\dots +\frac{12}{24}\right). \)
В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой \({{ a}}_1=\frac{13}{24};{{ a}}_{{ n}}=\frac{24}{24}=1.\) Обозначим эту сумму \({{ S}}_1.\)
\({{ S}}_1=\frac{{{ a}}_1+{{ a}}_{12}}{2}\cdot 12=\frac{13+24}{2\cdot 24}\cdot 12=\frac{37}{4}. \)
Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой \({{ b}}_1=\frac{12}{24};{{ b}}_{{ n}}=\frac{23}{24}.\) Эту сумму обозначим \({{ S}}_{2.}\)
\({{ S}}_2=\frac{{{ b}}_1+{{ b}}_{12}}{2}\cdot 12=\frac{12+23}{2\cdot 24}\cdot 12=\frac{35}{4}. \)
Общая сумма выплат за год:
\(\small X= S \left({ kS}_1-{{ S}}_2\right)=\frac{1800}{4}\left({ 1,01}\cdot 37-35\right)=\)
\( =\frac{1800\cdot { 2,37}}{4}={ 2,37}\cdot 450= 1066,5\) тыс. рублей.
Ответ: 1066500 рублей.
Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.
3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Введем переменные: \({ k}=1+\frac{25}{100}=\frac{5}{4},Y=625 \) тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат: \({ X}=3\cdot \left({ kS}-{ S}\right)+2{ Y}=3{ S}\left({ k}-1\right)+2{ Y.}\) Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой \(Y\).
Это значит, что \( { k}\left({ kS}-{ Y}\right)={ Y},\) и тогда
\({ S}=\frac{\left({ k}+1\right){ Y}}{{{ k}}^2}{ X}=3\cdot \frac{\left({ k}+1\right){ Y}}{{{ k}}^2}\left({ k}-1\right)+2{ Y}=3{ y}\left(\frac{{{ k}}^2-1}{{{ k}}^2}\right)+2{ Y}=\)
\( ={ Y}\left(5-\frac{3}{{{ k}}^2}\right)=625\left(5-\frac{3\cdot 16}{25}\right)=\frac{625\cdot 77}{25}=77\cdot 25=1925\) тысяч рублей.
Ответ: 1925 тыс. рублей.
Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.
4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
| Вид тары | Себестоимость, 1 центнера |
Отпускная цена, 1 центнера |
| стеклянная | 1500 руб | 2100 руб |
| жестяная | 1100 руб | 1750 руб |
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.
Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% - компот в жестяных банках).
Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках - 80y центнеров в сутки.
Составим таблицу.
| Вид тары | Доля в общем количестве | Производится в сутки | Прибыль за 1 центнер |
| стеклянная | \(x\) | \(90x\) | 2100 - 1500 = 600 руб |
| жестяная | \(y\) | \(80y\) | 1750 - 1100 = 650 руб |
Общая прибыль завода за сутки равна \(600\cdot 90x+650\cdot 80y=54000x+52000y=2000\left(27x+26y\right).\)
По условию, \( 90x\ge 20\) и \(80y\ge 20\), то есть \(x\ge \frac{2}{9}\) и \(y\ge \frac{1}{4}.\)
Нужно найти наибольшее значение выражения \(2000\cdot \left(27x+26y\right)\) при выполнении следующих условий:
\(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ {{2}\over{9}}\leq x \textless 1, \\ {1\over4}\leq y \textless 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1-x\\ {2\over9}\leq x \leq {3\over4} \end{matrix}\right. .\)
Подставим \(y=1-x\) в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна \(2000 \cdot (27x+26(1-x))=2000(26+x).\) Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при \( x=\frac{3}{4}.\) Тогда \( y=\frac{1}{4}\) и максимально возможная прибыль завода за день равна
\(2000\cdot \left(27\cdot \frac{3}{4}+26\cdot \frac{1}{4}\right)=2000\cdot \frac{107}{4}=53500\) руб.
Ответ: 53500 руб.
Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной - здесь:
Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная
Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.
Если вам понравился наш материал - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
