Что такое функция

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула $\smash{p=?gh}$ – это зависимость давления жидкости $\smash{p}$ от глубины $h$ .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение $y=f \left( x \right)$ как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины $x$ по определенному закону, или правилу, обозначаемому $f$ .

Другими словами: меняем $x$ (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется $y$ .

Совсем необязательно обозначать переменные $x$ и $y$ . Например, $L\left( t \right) = L_0 \left( 1+?t \right)$ – зависимость длины $L$ от температуры $t$ , то есть закон теплового расширения. Сама запись $L\left( t \right)$ означает, что величина $L$ зависит от $t$ .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину $x$ , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину $y$ .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается $x$ – а на выходе получается $y$ .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция $y=2x$ каждому действительному числу $x$ ставит в соответствие число в два раза большее, чем $x$ .

Это соответствие можно изобразить так:

Повторим еще раз: каждому элементу множества $X$ по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества $Y$ . Множество $X$ называется областью определения функции. Множество $Y$ – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция $y=3x+2$ . Каждому значению $x$ соответствует одно и только одно значение $y$ . И наоборот – зная $y$ , можно однозначно найти $x$ .

$x$	-3	-2	-1	0	1	2
$y=3x+2$	-7	-4	-1	2	5	8

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция $y=x^2$ . Один и тот же элемент второго множества $y=4$ соответствует двум разным элементам первого множества – $x=2$ и $x=-2$ .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению $x$ соответствует не одно, а целых три значения $y$ .

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

$y=\cos(x)$ , $y=x^3-2x^2$ , $z=f\left( t \right)$ , $L\left( t \right) = L_0 \left( 1+?t \right)$ – примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легковывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» - строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция $y=|x|$ задается описанием:

$|x|=\left\{\begin{matrix}x, x\geq 0 & & \\ -x, x<0& &\end{matrix}\right.$

Звоните нам: (495) 984 09 27 ЕГЭ-Студия.
Или нажмите на кнопку «Запишитесь в группу», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно вам перезвоним.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Что такое функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 14.09.2023

Что такое функция

Рекомендуем

Это полезно