Slider

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием — профильный ЕГЭ по математике.

Многие старшеклассники считают, что задача 10 Профильного ЕГЭ по математике — это «физика». А поскольку с физикой дружат не все, то и задачу считают «сложной» и обходят стороной.

С другой стороны, на Ютьюбе и вообще в интернете появляются «полезные» советы по решению этой задачи. Условие, мол, читать не надо, главное — найти формулу, подставить в нее все «буковки» и посчитать, что получилось.

На самом деле это, конечно, не физика. Это обычная математика, школьный курс. Правда, знать нужно немало. И обязательно читать условие. И очень внимательно.

Первая задача — простая.

1. При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0=110 Гц и определяется следующим выражением: f=f_0\frac{c+u}{c-v} (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=9 м/с и v=15 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмникеf будет не менее 120 Гц?

По условию, частота сигнала f\ge 120 Гц.

Подставим данные в выражение для f. Получим: 110\cdot \frac{c+9}{c-15}\ge 120

\frac{c+9}{c-15}\ge \frac{12}{11}

\frac{11c+99-12c+180}{11(c-15)}\ge 0,

\frac{279-c}{c-15}\ge 0

15\le c \le 279. Значит, наибольшее возможное значение c равно 279.

Ответ: 279.

Линейные уравнения и неравенства (и сводящиеся к ним)

Следующая — настоящая ловушка для старшеклассников. Сколько раз эта задача встречалась и на диагностических работах, и на реальных ЕГЭ! И все равно многие в ней ошибаются.

2. При температуре 0^{\circ}C рельс имеет длину l {}_{0} =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t), где \alpha =1,2\cdot {10}^{-5} — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решите самостоятельно — и проверьте, что получилось. Дело в том, что учащиеся часто получают в этой задаче абсурдные ответы. Например, говорят, что рельс удлинится на 3 миллиметра при температуре 7000 градусов. Но это больше, чем температура на поверхности Солнца! Рельс расплавится.

Зависимость l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t) — это функция длины рельса от температуры. Длина рельса зависит от температуры по определенному правилу. Мы помним из физики, что при нагревании тела расширяются, а при охлаждении — сжимаются, и особенно это заметно для металлов. При изменении температуры длина металлического рельса может измениться на несколько миллиметров.

Подставим в эту формулу начальные значения: l {}_{0 } =10 м и \alpha=1,2\cdot {10}^{-5}. Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса l\left(t\right) стала равной 10 м + 3 мм.

Теперь переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра ().

l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3} (м)

Получим:

10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t)

Это линейное уравнение с одной переменной t. Раскроем скобки в правой части

10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t

Находим t:

t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25.

При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.

Ответ: 25.

Парабола и квадратные неравенства

Темы для повторения:

Квадратичная функция

Квадратичные неравенства

3. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс.руб.) задаётся формулой q=85-5p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс.руб.) вычисляется по формуле r(p)=q\cdot p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 210 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.руб.

Здесь точно придется читать условие. И решать именно неравенство, а не уравнение.

Поскольку месячная выручка не менее 210 тысяч рублей,

r(p)=q\cdot p=(85-5p)\cdot p\ge 210-5p^2+85p\ge 210

График функции в левой части неравенства — квадратичная парабола с ветвями вниз.

p^2-17p+42\le 0

Заметим, что это неравенство не превращается в уравнение p^2-17p+42=0. Уравнение здесь нужно для того, чтобы найти, при каких значениях p выручка равна 210. Решив его, получим: p= 3 или p = 14. Решения неравенства:

3\le p\le 14

Наибольшее значение p равно 14.

Ответ: 14.

- «Отлично, - скажете вы. Берем больший из корней квадратного уравнения, и готово». Так ли это? - Конечно, нет. Надо внимательно прочитать условие и понять, что же будет ответом задачи.

4. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t - 5t {}^{2}, где h — выcота в метрах, t - время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Запишем, что h(t) \geq 3:

1,6+8t-5t^2 \geq 3.

Построим график функции в левой части — то есть зависимость высоты мяча от времени.

Мы видим, что через t_1 {}_{ } секунд после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась. Затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t_2 снова стала равна трём метрам над землей. Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t=t_2-t_1 секунд.

Осталось найти разность t_2-t_1.

Для этого решим квадратичное неравенство 5t {}^{2 } - 8t + 1,4 \leq 0.

Работать с дробными коэффициентами неудобно. Умножим обе части неравенства на 5:

25t {}^{2 } - 40t + 7 \leq 0.

Найдем корни соответствующего уравнения 25t {}^{2} - 40t+7 = 0.

t {}_{1 } = 0,2; \, \, t {}_{2 } = 1,4.

Разность t {}_{2 } - t {}_{1} {}_{ } = 1,4 - 0,2 = 1,2.

Ответ: 1,2.

Вот еще одна задача из первой части варианта профильного ЕГЭ, в которой больше 90\% решающих получают неправильный ответ. Только потому, что не пользуются графиком.

5. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T {}_{0 } + bt + at {}^{2}, где t - время в минутах, T {}_{0 } = 1400 K, a = -10 K/мин, b = 200 K/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 K прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решите самостоятельно. Какой ответ у вас получился?

По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t - 10t {}^{2}.

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T \leq 1760, или 1400+200t-10t^2\le 1760.

Нарисуем график зависимости температуры нагревателя от времени:

T\left(t\right)=1400+200t-10t^2. Это квадратичная парабола с ветвями вниз.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и в момент времени t {}_{1} достигает 1760 К. Если в этот момент прибор не выключить, температура продолжает повышаться. Но это значит, что прибор испортится, то есть сгорит! Ясно, что отключать его надо в момент времени t {}_{1} {}_{} .

Осталось найти t {}_{1} {}_{ }. Решим квадратичное неравенство: -t^2+20t-36\le 0.

Корни соответствующего квадратного уравнения: t {}_{1 } = 2, \, \, t {}_{2 } = 18

Мы нашли, что t {}_{1} {}_{ } = 2.

Ответ: 2.

Ну как? Вы все еще считаете, что условие можно не читать? : -)

Квадратичные функции в задании №10 Профильного ЕГЭ — это еще не всё. Впереди степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и даже неравенства.

Степенные уравнения и неравенства

Тема для повторения: Степенная функция

6. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  где p — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах, k=\frac{4}{3} Найдите, какой объём V(в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном .

Подставим данные в уравнение pV^k=3,2\cdot {10}^6:

2\cdot {10}^5\cdot V^{\frac{4}{3}}=3,2\cdot {10}^6

V^{\frac{4}{3}}=16

V^{\frac{1}{3}}=2

V=8

Показательные уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Показательная функция.

Показательные неравенства.

7. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pV^\alpha=const, где p(Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, \alpha — положительная константа. При каком наименьшем значении константы \alpha уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами — давлением, объемом, температурой. По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что pV^a=const. Это значит, что

p_1{V_1}^{\alpha }=p_2{V_2}^{\alpha }.

\frac{\rho _2}{\rho _1}= ({\frac{V_1}{V_2})}^{\alpha }

Объем уменьшился вдвое, то есть \frac{V_1}{V_2}=2.

Поскольку \frac{\rho _2}{\rho _1}\ge 4, получим, что 2^{\alpha }\ge 4. Тогда \alpha \ge 2.

Наименьшее значение \alpha=2 записываем в ответ.

Логарифмические уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Логарифмы.

Логарифмические неравенства.

8. Водолазный колокол, содержащий v=5 моля воздуха при давлении \rho_1=1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \rho_2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=\alpha v T{log}_2\frac{\rho_2}{\rho_1}, где \alpha=9,7 — постоянная, T=300K — температура воздуха. Найдите, какое давление \rho_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.

Подставим все данные в уравнение для совершенной водой работы:

9,7\cdot 5\cdot 300\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=29100

9,7\cdot 5\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=97

{log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=2

\frac{\rho_2}{1,75}=4\rho_2=7.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Темы для повторения: Тригонометрия

9. При нормальном падении света с длиной волны \lambda =400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол \varphi (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsin \varphi =k\lambda . Под каким минимальным углом \varphi (вградусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Запишем условие задачи в виде неравенства. Заметим, что нам нужен третий максимум, то есть номер максимума k=3.

2400\cdot sin \varphi \ge 3\cdot 400

sin \varphi \ge \frac{1}{2}

Поскольку угол \varphi — острый, \varphi_{min}={30}^{{}^\circ }

Ответ: 30.

Это была простая задача по тригонометрии. А закончим мы самыми сложными, какие только могут встретиться в этой теме, - тригонометрическими неравенствами.

10. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v\left(t\right)=0,5sin\pi t, где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле E=\frac{mv^2}{2}, где m — масса груза (в кг), - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5\cdot {10}^{-3} Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

E=\frac{mv^2}{2}=\frac{{sin}^2\pi t\cdot 0,08}{8}\ge 5\cdot {10}^{-3}

{sin}^2\pi t\ge 5\cdot {10}^{-3}:{10}^{-2}

{sin}^2\pi t\ge \frac{1}{2}. Применим формулу понижения степени:

\frac{1-cos2\pi t}{2}\ge \frac{1}{2}; \, \, cos2\pi t\le 0.

Нарисуем график функции y\left(t\right)=cos2\pi t при t\in [0;1]

Значения этой функции не больше нуля ровно половину времени из первой секунды.

Ответ: 0,5.

11. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v\left(t\right)=1,6{cos \pi t}, где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле E=\frac{mv^2}{2}, где m — масса груза (вкг), v — скорость груза (вм/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 2,4\cdot {10}^{-1} Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

E\ge 2,4\cdot {10}^{-1};

E=\frac{mv^2}{2}=\frac{0,25}{2}\cdot {(1,6\,{cos \pi t)}}^2=\frac{1}{8}\cdot {1,6}^2\cdot {{cos}^2 \pi t};

\frac{1}{8}\cdot \frac{{16}^2}{{10}^2}{cos}^2\pi t\ge \frac{2,4}{10};

{cos}^2\pi t\ge \frac{3}{4};

По формуле понижения степени,

{cos}^2\pi t=\frac{cos2\pi t+1}{2}. Отсюда

cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.

Построим график функции y=cos2\pi t при t\in [0;1]

cos0=1 (при t=0)

cos2\pi =1 (при t=1)

cos\pi =-1 (при t=\frac{1}{2})

cos\frac{\pi }{2}=0 (при t=\frac{1}{4} )

cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} (при t=\frac{1}{6} )

cos\frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2} (при t=\frac{5}{6})

Найдем, каждую часть из первой секунды выполняется неравенство cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.

Получим, что cos\pi t\ge \frac{1}{2} при t\in [0; 1] на 0\le t\le \frac{1}{6} и \frac{5}{6}\le t\le 1.

Вместе эти отрезки составляют \frac{1}{3} от первой секунды; \frac{1}{3}\approx 0,33

Ответ: 0,33.

Кому-то удобнее рисовать в этой задаче не график, а тригонометрический круг. Это дело вкуса. Главное — не решать тригонометрические неравенства в уме. И конечно, внимательно читать и анализировать условие : -)

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.