previous arrow
next arrow
Slider

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием — профильный ЕГЭ по математике.

Многие старшеклассники считают, что задача 10 Профильного ЕГЭ по математике — это «физика». А поскольку с физикой дружат не все, то и задачу считают «сложной» и обходят стороной.

С другой стороны, на Ютьюбе и вообще в интернете появляются «полезные» советы по решению этой задачи. Условие, мол, читать не надо, главное — найти формулу, подставить в нее все «буковки» и посчитать, что получилось.

На самом деле это, конечно, не физика. Это обычная математика, школьный курс. Правда, знать нужно немало. И обязательно читать условие. И очень внимательно.

Первая задача — простая.

1. При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0=110 Гц и определяется следующим выражением: f=f_0\frac{c+u}{c-v} (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=9 м/с и v=15 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмникеf будет не менее 120 Гц?

По условию, частота сигнала f\ge 120 Гц.

Подставим данные в выражение для f. Получим: 110\cdot \frac{c+9}{c-15}\ge 120

\frac{c+9}{c-15}\ge \frac{12}{11}

\frac{11c+99-12c+180}{11(c-15)}\ge 0,

\frac{279-c}{c-15}\ge 0

15\le c \le 279. Значит, наибольшее возможное значение c равно 279.

Ответ: 279.

Линейные уравнения и неравенства (и сводящиеся к ним)

Следующая — настоящая ловушка для старшеклассников. Сколько раз эта задача встречалась и на диагностических работах, и на реальных ЕГЭ! И все равно многие в ней ошибаются.

2. При температуре 0^{\circ}C рельс имеет длину l {}_{0} =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t), где \alpha =1,2\cdot {10}^{-5} — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решите самостоятельно — и проверьте, что получилось. Дело в том, что учащиеся часто получают в этой задаче абсурдные ответы. Например, говорят, что рельс удлинится на 3 миллиметра при температуре 7000 градусов. Но это больше, чем температура на поверхности Солнца! Рельс расплавится.

Зависимость l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t) — это функция длины рельса от температуры. Длина рельса зависит от температуры по определенному правилу. Мы помним из физики, что при нагревании тела расширяются, а при охлаждении — сжимаются, и особенно это заметно для металлов. При изменении температуры длина металлического рельса может измениться на несколько миллиметров.

Подставим в эту формулу начальные значения: l {}_{0 } =10 м и \alpha=1,2\cdot {10}^{-5}. Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса l\left(t\right) стала равной 10 м + 3 мм.

Теперь переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра ().

l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3} (м)

Получим:

10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t)

Это линейное уравнение с одной переменной t. Раскроем скобки в правой части

10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t

Находим t:

t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25.

При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.

Ответ: 25.

Парабола и квадратные неравенства

Темы для повторения:

Квадратичная функция

Квадратичные неравенства

3. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс.руб.) задаётся формулой q=85-5p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс.руб.) вычисляется по формуле r(p)=q\cdot p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 210 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.руб.

Здесь точно придется читать условие. И решать именно неравенство, а не уравнение.

Поскольку месячная выручка не менее 210 тысяч рублей,

r(p)=q\cdot p=(85-5p)\cdot p\ge 210-5p^2+85p\ge 210

График функции в левой части неравенства — квадратичная парабола с ветвями вниз.

p^2-17p+42\le 0

Заметим, что это неравенство не превращается в уравнение p^2-17p+42=0. Уравнение здесь нужно для того, чтобы найти, при каких значениях p выручка равна 210. Решив его, получим: p= 3 или p = 14. Решения неравенства:

3\le p\le 14

Наибольшее значение p равно 14.

Ответ: 14.

- «Отлично, - скажете вы. Берем больший из корней квадратного уравнения, и готово». Так ли это? - Конечно, нет. Надо внимательно прочитать условие и понять, что же будет ответом задачи.

4. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t - 5t {}^{2}, где h — выcота в метрах, t - время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Запишем, что h(t) \geq 3:

1,6+8t-5t^2 \geq 3.

Построим график функции в левой части — то есть зависимость высоты мяча от времени.

Мы видим, что через t_1 {}_{ } секунд после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась. Затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t_2 снова стала равна трём метрам над землей. Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t=t_2-t_1 секунд.

Осталось найти разность t_2-t_1.

Для этого решим квадратичное неравенство 5t {}^{2 } - 8t + 1,4 \leq 0.

Работать с дробными коэффициентами неудобно. Умножим обе части неравенства на 5:

25t {}^{2 } - 40t + 7 \leq 0.

Найдем корни соответствующего уравнения 25t {}^{2} - 40t+7 = 0.

t {}_{1 } = 0,2; \, \, t {}_{2 } = 1,4.

Разность t {}_{2 } - t {}_{1} {}_{ } = 1,4 - 0,2 = 1,2.

Ответ: 1,2.

Вот еще одна задача из первой части варианта профильного ЕГЭ, в которой больше 90\% решающих получают неправильный ответ. Только потому, что не пользуются графиком.

5. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T {}_{0 } + bt + at {}^{2}, где t - время в минутах, T {}_{0 } = 1400 K, a = -10 K/мин, b = 200 K/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 K прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решите самостоятельно. Какой ответ у вас получился?

По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t - 10t {}^{2}.

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T \leq 1760, или 1400+200t-10t^2\le 1760.

Нарисуем график зависимости температуры нагревателя от времени:

T\left(t\right)=1400+200t-10t^2. Это квадратичная парабола с ветвями вниз.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и в момент времени t {}_{1} достигает 1760 К. Если в этот момент прибор не выключить, температура продолжает повышаться. Но это значит, что прибор испортится, то есть сгорит! Ясно, что отключать его надо в момент времени t {}_{1} {}_{} .

Осталось найти t {}_{1} {}_{ }. Решим квадратичное неравенство: -t^2+20t-36\le 0.

Корни соответствующего квадратного уравнения: t {}_{1 } = 2, \, \, t {}_{2 } = 18

Мы нашли, что t {}_{1} {}_{ } = 2.

Ответ: 2.

Ну как? Вы все еще считаете, что условие можно не читать? : -)

Квадратичные функции в задании №10 Профильного ЕГЭ — это еще не всё. Впереди степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и даже неравенства.

Степенные уравнения и неравенства

Тема для повторения: Степенная функция

6. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  где p — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах, k=\frac{4}{3} Найдите, какой объём V(в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном .

Подставим данные в уравнение pV^k=3,2\cdot {10}^6:

2\cdot {10}^5\cdot V^{\frac{4}{3}}=3,2\cdot {10}^6

V^{\frac{4}{3}}=16

V^{\frac{1}{3}}=2

V=8

Показательные уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Показательная функция.

Показательные неравенства.

7. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pV^\alpha=const, где p(Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, \alpha — положительная константа. При каком наименьшем значении константы \alpha уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами — давлением, объемом, температурой. По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что pV^a=const. Это значит, что

p_1{V_1}^{\alpha }=p_2{V_2}^{\alpha }.

\frac{\rho _2}{\rho _1}= ({\frac{V_1}{V_2})}^{\alpha }

Объем уменьшился вдвое, то есть \frac{V_1}{V_2}=2.

Поскольку \frac{\rho _2}{\rho _1}\ge 4, получим, что 2^{\alpha }\ge 4. Тогда \alpha \ge 2.

Наименьшее значение \alpha=2 записываем в ответ.

Логарифмические уравнения и неравенства

Темы для повторения:

Логарифмы.

Логарифмические неравенства.

8. Водолазный колокол, содержащий v=5 моля воздуха при давлении \rho_1=1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \rho_2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=\alpha v T{log}_2\frac{\rho_2}{\rho_1}, где \alpha=9,7 — постоянная, T=300K — температура воздуха. Найдите, какое давление \rho_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.

Подставим все данные в уравнение для совершенной водой работы:

9,7\cdot 5\cdot 300\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=29100

9,7\cdot 5\cdot {log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=97

{log}_2\frac{\rho_2}{1,75}=2

\frac{\rho_2}{1,75}=4\rho_2=7.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Темы для повторения: Тригонометрия

9. При нормальном падении света с длиной волны \lambda =400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол \varphi (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsin \varphi =k\lambda . Под каким минимальным углом \varphi (вградусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Запишем условие задачи в виде неравенства. Заметим, что нам нужен третий максимум, то есть номер максимума k=3.

2400\cdot sin \varphi \ge 3\cdot 400

sin \varphi \ge \frac{1}{2}

Поскольку угол \varphi — острый, \varphi_{min}={30}^{{}^\circ }

Ответ: 30.

Это была простая задача по тригонометрии. А закончим мы самыми сложными, какие только могут встретиться в этой теме, - тригонометрическими неравенствами.

10. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v\left(t\right)=0,5sin\pi t, где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле E=\frac{mv^2}{2}, где m — масса груза (в кг), - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5\cdot {10}^{-3} Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

E=\frac{mv^2}{2}=\frac{{sin}^2\pi t\cdot 0,08}{8}\ge 5\cdot {10}^{-3}

{sin}^2\pi t\ge 5\cdot {10}^{-3}:{10}^{-2}

{sin}^2\pi t\ge \frac{1}{2}. Применим формулу понижения степени:

\frac{1-cos2\pi t}{2}\ge \frac{1}{2}; \, \, cos2\pi t\le 0.

Нарисуем график функции y\left(t\right)=cos2\pi t при t\in [0;1]

Значения этой функции не больше нуля ровно половину времени из первой секунды.

Ответ: 0,5.

11. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v\left(t\right)=1,6{cos \pi t}, где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле E=\frac{mv^2}{2}, где m — масса груза (вкг), v — скорость груза (вм/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 2,4\cdot {10}^{-1} Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

E\ge 2,4\cdot {10}^{-1};

E=\frac{mv^2}{2}=\frac{0,25}{2}\cdot {(1,6\,{cos \pi t)}}^2=\frac{1}{8}\cdot {1,6}^2\cdot {{cos}^2 \pi t};

\frac{1}{8}\cdot \frac{{16}^2}{{10}^2}{cos}^2\pi t\ge \frac{2,4}{10};

{cos}^2\pi t\ge \frac{3}{4};

По формуле понижения степени,

{cos}^2\pi t=\frac{cos2\pi t+1}{2}. Отсюда

cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.

Построим график функции y=cos2\pi t при t\in [0;1]

cos0=1 (при t=0)

cos2\pi =1 (при t=1)

cos\pi =-1 (при t=\frac{1}{2})

cos\frac{\pi }{2}=0 (при t=\frac{1}{4} )

cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} (при t=\frac{1}{6} )

cos\frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2} (при t=\frac{5}{6})

Найдем, каждую часть из первой секунды выполняется неравенство cos2\pi t\ge \frac{1}{2}.

Получим, что cos\pi t\ge \frac{1}{2} при t\in [0; 1] на 0\le t\le \frac{1}{6} и \frac{5}{6}\le t\le 1.

Вместе эти отрезки составляют \frac{1}{3} от первой секунды; \frac{1}{3}\approx 0,33

Ответ: 0,33.

Кому-то удобнее рисовать в этой задаче не график, а тригонометрический круг. Это дело вкуса. Главное — не решать тригонометрические неравенства в уме. И конечно, внимательно читать и анализировать условие : -)