Slider

Задание 17. Финансовая математика — профильный ЕГЭ по математике

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Речь, как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. Кстати, само задание 17 оценивается на ЕГЭ в 3 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать,

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать,

Комбинированные задачи,

В чем основная сложность «экономической задачи»,

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

  1. Что принимается за 100%?
  2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
  3. Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

S=6902 тыс. рублей - сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

p= 12,5 \% - процент банка,

k=1+\frac{{ p}}{100}=1+\frac{125}{1000}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8} - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

X — сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

- сумма долга увеличивается в k раз,

- Аристарх вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X. Вот что получается:

(\left(\left({ S}\cdot { k}-{ X}\right)\cdot { k}-{ X}\right)\cdot { k}-{ X})\cdot { k}-{ X}=0.

Раскроем скобки:

S{{ k}}^4-{ X}\left({{ k}}^3+{{ k}}^2+{ k}+1\right)=0.

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

1+{{ k}+{{ k}}^2+{ k}}^3. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

{{ Sk}}^4={ X}\cdot \frac{{{ k}}^4-1}{{ k}-1}=0. И выразим из этой формулы X.

{ X}=\frac{{ S}\cdot {{ k}}^4\left({ k}-1\right)}{{{ k}}^4-1}. Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби \frac{9}{8}, Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

{ X}=\frac{{ S}\cdot {{ k}}^4\left({ k}-1\right)}{{{ k}}^4-1}=\frac{{ S}\cdot 9^4\left(\frac{9}{8}-1\right)}{8^4\cdot \left(\frac{9^4}{8^4}-1\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^4-8^4\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^2-8^2\right)\left(9^2+8^2\right)}=\frac{{ S}\cdot 9^4}{8\cdot \left(9+8\right)\left(9^2+8^2\right)}=

=\frac{6902\cdot {81}^2}{8\cdot 17\cdot 145}=\frac{406\cdot {81}^2}{8\cdot 145}=\frac{203\cdot {81}^2}{4\cdot 145}=\frac{29\cdot 7\cdot {81}^2}{4\cdot 29\cdot 5} = 2296,35 тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно, { k}=1+\frac{{ p}}{100}.

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна \frac{1}{24}{ S}. После первой выплаты сумма долга равна \frac{23}{24}{ S}, после второй \frac{22}{24}{ S}.

Тогда первая выплата {{ X}}_1={ kS}-\frac{23}{24}{ S}, Вторая выплата{{ X}}_2={ k}\cdot \frac{23}{24}{ S}-\frac{22}{24}{ S},

\dots

Последняя в году выплата {{ X}}_{12}={ k}\cdot \frac{13}{24}{ S}-\frac{12}{24}{ S}.

Сумма всех выплат в течение первого года:

{ X}={{ X}}_1+{{ X}}_2+\dots +{{ X}}_{12}={ kS}\left(1+\frac{23}{24}+\dots \frac{13}{24}\right)-{ S}\left(\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+\dots +\frac{12}{24}\right).

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой {{ a}}_1=\frac{13}{24};{{ a}}_{{ n}}=\frac{24}{24}=1.  Обозначим эту сумму {{ S}}_1.

{{ S}}_1=\frac{{{ a}}_1+{{ a}}_{12}}{2}\cdot 12=\frac{13+24}{2\cdot 24}\cdot 12=\frac{37}{4}.

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой {{ b}}_1=\frac{12}{24};{{ b}}_{{ n}}=\frac{23}{24}. Эту сумму обозначим {{ S}}_{2.}

{{ S}}_2=\frac{{{ b}}_1+{{ b}}_{12}}{2}\cdot 12=\frac{12+23}{2\cdot 24}\cdot 12=\frac{35}{4}.

Общая сумма выплат за год:

\small X= S \left({ kS}_1-{{ S}}_2\right)=\frac{1800}{4}\left({ 1,01}\cdot 37-35\right)=
=\frac{1800\cdot { 2,37}}{4}={ 2,37}\cdot 450= 1066,5 тыс. рублей

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размереSтыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: { k}=1+\frac{25}{100}=\frac{5}{4},Y=625 тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: { X}=3\cdot \left({ kS}-{ S}\right)+2{ Y}=3{ S}\left({ k}-1\right)+2{ Y.} Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой Y.

Это значит, что { k}\left({ kS}-{ Y}\right)={ Y}, и тогда

{ S}=\frac{\left({ k}+1\right){ Y}}{{{ k}}^2}{ X}=3\cdot \frac{\left({ k}+1\right){ Y}}{{{ k}}^2}\left({ k}-1\right)+2{ Y}=3{ y}\left(\frac{{{ k}}^2-1}{{{ k}}^2}\right)+2{ Y}=
={ Y}\left(5-\frac{3}{{{ k}}^2}\right)=625\left(5-\frac{3\cdot 16}{25}\right)=\frac{625\cdot 77}{25}=77\cdot 25=1925 тысяч рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 17 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары Себестоимость, 1 центнера
Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная 1500 руб 2100 руб
жестяная 1100 руб 1750 руб

 

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компттов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% - компот в жестяных банках.

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках - 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары Доля в общем количестве Производится в сутки Прибыль за 1 центнер
стеклянная x 90x 2100 - 1500 = 600 руб
жестяная y 80y 1750 - 1100 = 650 руб

 

Общая прибыль завода за сутки равна 600\cdot 90x+650\cdot 80y=54000x+52000y=2000\left(27x+26y\right).

По условию, 90x\ge 20 и 80y\ge 20, то есть x\ge \frac{2}{9} и y\ge \frac{1}{4}.

Нужно найти наибольшее значение выражения 2000\cdot \left(27x+26y\right) при выполнении следующих условий:

\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ {{2}\over{9}}\leq x \textless 1, \\ {1\over4}\leq y \textless 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1-x\\ {2\over9}\leq x \leq {3\over4}. \end{matrix}\right.

Подставим y=1-x в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна 2000 \cdot (27x+26(1-x))=2000(26+x). Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при x=\frac{3}{4}. Тогда y=\frac{1}{4} и максимально возможная прибыль завода за день равна

2000\cdot \left(27\cdot \frac{3}{4}+26\cdot \frac{1}{4}\right)=2000\cdot \frac{107}{4}=53500 руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной - здесь:

Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.