В задании №6 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.
Вот список тем, которые стоит повторить:
Арифметический квадратный корень
Простейшие тригонометрические уравнения 1
Уравнения, сводящиеся к квадратным
1. Решите уравнение: \(\displaystyle \frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней
Решение:
Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.
С левой частью уравнения все понятно. Дробь \(\displaystyle \frac{6}{13}\) умножается на \(x^2.\) А в правой части — смешанное число \(19\displaystyle \frac{1}{2}.\) Его целая часть равна \(19\), а дробная часть равна \(\displaystyle \frac{1}{2}.\) Запишем это число в виде неправильной дроби:
\(19\displaystyle \frac{1}{2}=\ \frac{19\cdot 2+1}{2} = \frac{39}{2}. \)
Получим:
\(\displaystyle \frac{6}{13}x^2=\frac{39}{2};\)
\(x^2=\displaystyle \frac{39\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{13\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{{13}^2}{4};\)
\(x=\pm \displaystyle \frac{13}{2};\)
\(x_1=-6,5\) или \(x_2=6,5.\)
Выбираем меньший корень.
Ответ: -6,5.
2. Решите уравнение: \(\left ( x-6 \right )^2=-24x.\)
Решение:
Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:
\(\left ( x-6 \right )^2=-24x\Leftrightarrow x^2-12x+36=-24x\Leftrightarrow x^2+12x+36=0\Leftrightarrow \left ( x+6 \right )^2=0\Leftrightarrow x=-6.\)
Ответ: -6.
Дробно-рациональные уравнения
3. Найдите корень уравнения \(\displaystyle \frac{5x-3}{4x-5}=1.\)
Решение:
Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим \(1\) как \(\displaystyle \frac{4x-5}{4x-5}\) и приведем дроби к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{5x-3}{4x-5}-\frac{4x-5}{4x-5}=0;\)
\(\displaystyle \frac{x+2}{4x-5}=0;\)
\(x= - 2.\)
Ответ: -2.
Это довольно простой тип уравнений. Главное - внимательность.
Иррациональные уравнения
Так называются уравнения, содержащие знак корня - квадратного, кубического или n-ной степени.
4. Решите уравнение: \(\sqrt{\displaystyle \frac{6}{4{x}-54} } =\displaystyle \frac{1}{7}.\)
Решение:
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.
Значит, \(4x-54> 0.\)
Возведём обе части уравнения в квадрат:
\(\displaystyle \frac{6}{4{x}-{ 54}} =\frac{1}{49}.\)
Решим пропорцию:
\(4{x}-{ 54}={ 6}\cdot { 49};\)
\(4{x}=348;\)
\({ x}={ 87}.\)
Условие \(4x-54> 0\) при этом выполняется.
Ответ: 87.
5. Решите уравнение: \(\sqrt{72-x}=x.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix} 72-x=x^2,\\72-x\geq 0, \hfill \\x\geq 0. \hfill \end{matrix}\right.\)
Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:
\(\sqrt{72-x}=x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 72-x=x^2,\\72-x \geq 0, \\x \geq 0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+x-72=0, \\ x\leq 72,
\\x\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=8, \\ x=-9,
\end{matrix}\right. \\x\leq 72,
\\x\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=8.\)
Мы получили, что \(x=8\). Это единственный корень уравнения.
Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:
\(72-x\ge 0.\)
Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: \(x^2+x-72=0.\) Находят его корни: \(x=8\) или \(x=-9.\) Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.
Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число \(-9\) корнем этого уравнения быть не может.
Ответ: 8.
6. Решите уравнение: \(\sqrt{45+4x}=x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов:
\(\sqrt{45+4x}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
45+4x\geq 0, \\x\geq 0,
\\45+4x=x^{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\geq 0, \\x^{2}-4x-45=0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=9, \\x=-5;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=9.\)
Ответ: 9.
Показательные уравнения
При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.
7. Решите уравнение: \(5^{x-7}=\displaystyle \frac{1}{125}.\)
Решение:
Вспомним, что \(125 = 5{}^{3}.\) Уравнение приобретает вид: \(5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}.\)
Функция \(y = 5^x \) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.
\(x - 7 = -3,\) откуда \(x = 4.\)
Ответ: 4.
8. Решите уравнение: \({\left(\displaystyle \frac{1}{49}\right)}^{x-8}=7.\)
Решение:
Представим \({\left(\displaystyle \frac{1}{49}\right)}^{ }\) как \( 7^{-2}:\)
\( {\left(7^{-2}\right)}^{x-8}=7;\)
\(7^{-2x+16}=7. \)
Функция \(y = 7^x\) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.
\(-2x+16=1; \)
\(-2x=-15; \)
\(x=7,5. \)
Ответ: 7,5.
9. Решите уравнение: \(\left(\displaystyle \frac{1}{9} \right)^{{ x}-13} =3.\)
Решение:
Представим \(\displaystyle \frac{1}{9}\) в виде степени с основанием \(3\) и воспользуемся тем, что \(\left({ a}^{{ m}} \right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}. \)
\(\left(3^{-2} \right)^{{ x}-{ 13}} =3; \)
\( 3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;\)
\( -2{ x}+{ 26}={ 1}; \)
\( { x}={ 12,5}. \)
Ответ: 12,5.
Логарифмические уравнения
Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.
И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:
Логарифмы определены только для положительных чисел.
Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.
10. Решите уравнение: \( {{log}_5 \left(4+x\right)=2 }. \)
Решение:
Область допустимых значений: \(4+x> 0.\) Значит, \(x> -4.\)
Представим \(2\) в правой части уравнения как \({{log}_5 25 }\), чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию \(5\).
\( {{log}_5 \left(4+x\right)={{log}_5 25 } }. \)
Функция \(y = {{log}_5 x } \) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом \(x> -4.\)
\(4+x=25; \)
\(x=21. \)
Ответ: 21.
11. Решите уравнение: \({{log}_8 \left(x^2+x\right)={{log}_8 \left(x^2-4\right) } }.\)
Решение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
\(log_{8}(x^{2}+x)=log_{8}(x^{2}-4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0, \\x^{2}-4> 0,
\\x^{2}+x=x^{2}-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0, \\x^{2}-4> 0,
\\x=-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4.\)
Ответ: -4.
12. Решите уравнение: \(2^{{{log}_4 \left(4x+5\right) }}=9.\)
Решение:
Перейдем от логарифма по основанию \(4\) (в показателе) к логарифму по основанию \(2\). Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
\( {{log}_4 b }=\displaystyle \frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=\displaystyle \frac{{{log}_2 b }}{2}. \)
Записываем решение как цепочку равносильных переходов.
\(2^{log_{4}(4x+5)}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2^{\frac{log_{2}(4x+5)}{2}}=9, \\4x+5> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(2^{log_{2}(4x+5)})^{\frac{1}{2}}=9, \\x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(4x+5)^{\frac{1}{2}}=9, \\x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{4x+5}=9, \\x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4x+5=81, \\x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=19, \\x> -1\displaystyle\frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.\)
Ответ: 19.
13. Решите уравнение \( {{log}_{x-5} 49=2 }. \) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.
Получим систему:
\(\small \left\{\begin{matrix} \left ( x-5 \right )^2=49,\\x-50, \\x-5 \neq 1.\end{matrix}\right.\)
Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.
Квадратное уравнение имеет два корня: \(x=12\) и \( x=-2. \)
Очевидно, корень \(x=-2\) является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным.
Значит, единственный корень уравнения: \(x=12. \)
Ответ: 12.
Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)
Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? - Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.
14. Найдите корень уравнения: \(cos \displaystyle \frac{\pi (x+1)}{4}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.
Сделаем замену: \(\displaystyle \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.\) Получим: \(cos t=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Получаем решения: \(t=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z.\) Вернемся к переменной \(x\).
\(\displaystyle \frac{\pi (x+1)}{4}=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z. \) Поделим обе части уравнения на \(\pi\) и умножим на \(4\).
\( x+1=\pm 1+8n, \; n\in Z; \)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=8n, \; n\in Z, \\
x=-2+8n. \end{array}
\right.\)
Первой серии принадлежат решения \(-8; 0; 8\dots \)
Вторая серия включает решения \(-2; 6; 14\dots \)
Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это \(x = -2. \)
Ответ: -2.
15. Решите уравнение: \(tg \displaystyle \frac{\pi \left( x+1\right)}{4}= -1.\) В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение:
Сделаем замену: \(\displaystyle \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.\) Получим:\( tgt=-1.\) Решения этого уравнения:
\( t=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z.\) Вернемся к переменной \(x\):
\(\displaystyle \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n \in Z.\) Умножим обе части уравнения на \(4\) и разделим на \(\pi\).
\(x+1=-1+4n; \)
\( x=-2+4n. \)
Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:
\(x=-2 ; 2; 6\dots\) Наименьший положительный корень \(x = 2. \)
Ответ: 2.
Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №6 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!
