13. а) Решите уравнение: \(\sqrt{3}tg\left(7\pi -2x\right)=-1.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Точки P и Q — середины рёбер AD и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) соответственно.
а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой \(B_1P.\)
б) Пусть H — проекция точки Q на прямую \(B_1P.\) Найдите PH, если AB=12.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}\leq 1.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \(AB_1C_1.\)
б) Найдите радиус данной окружности, если \(\angle A=45^\circ ,\) \(B_1C_1=6\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в семь раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. 15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,26 млн рублей?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
\(\displaystyle y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}\) содержит отрезок \(\left[0;1\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 3, 4, 5, 6 и 7 (34567, 34576 и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?
б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.
