previous arrow
next arrow
Slider

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение \frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь \frac{6}{13} умножается на x^2. А в правой части — смешанное число 19\frac{1}{2}. Его целая часть равна 19, а дробная часть равна \frac{1}{2}. Запишем это число в виде неправильной дроби:

19\frac{1}{2}=\ \frac{19\cdot 2+1}{2} = \frac{39}{2}.

Получим:

\frac{6}{13}x^2=\frac{39}{2}

x^2=\frac{39\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{13\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{{13}^2}{4}

x=\pm \frac{13}{2},

x_1=-6,5 или x_2=6,5

Выбираем меньший корень.

Ответ: - 6,5.

2. Решите уравнение \left ( x-6 \right )^2=-24x

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

\left ( x-6 \right )^2=-24x\Leftrightarrow x^2-12x+36=-24x\Leftrightarrow

\Leftrightarrow x^2+12x+36=0\Leftrightarrow \left ( x+6 \right )^2=0\Leftrightarrow x=-6.

Ответ: - 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как \frac{4x-5}{4x-5} и приведем дроби к общему знаменателю:

\frac{5x-3}{4x-5}-\frac{4x-5}{4x-5}=0

\frac{x+2}{4x-5}=0

x= - 2

Это довольно простой тип уравнений. Главное - внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня - квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

\sqrt{\frac{6}{4{x}-54} } =\frac{1}{7}.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\frac{6}{4{x}-{ 54}} =\frac{1}{49}

Решим пропорцию:

4{x}-{ 54}={ 6}\cdot { 49};

4{x}=348;

{ x}={ 87}.

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение \sqrt{72-x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

\left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x\geq 0 \hfill \\x\geq 0 \hfill \end{matrix}\right.

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

\sqrt{72-x}=x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x \geq 0 \\x \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

Мы получили, что x=8. Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

72-x\ge 0.

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: x^2+x-72=0. Находят его корни: x=8 или x=-9. Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение \sqrt{45+4x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение 5^{x-7}=\frac{1}{125}

Вспомним, что 125 = 5{}^{3}. Уравнение приобретает вид: 5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}. Функция y = 5^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

x - 7 = -3, откуда x = 4.

8. Решите уравнение {\left(\frac{1}{49}\right)}^{x-8}=7

Представим {\left(\frac{1}{49}\right)}^{ } как 7^{-2}

{\left(7^{-2}\right)}^{x-8}=7

7^{-2x+16}=7

Функция y = 7^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

-2x+16=1

-2x=-15

x=7,5

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение \left(\frac{1}{9} \right)^{{ x}-13} =3;

Представим {\textstyle\frac{1}{9}} в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что \left({ a}^{{ m}} \right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}

\left(3^{-2} \right)^{{ x}-{ 13}} =3;
3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;

-2{ x}+{ 26}={ 1};

{ x}={ 12,5}.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

{{log}_5 \left(4+x\right)=2 }

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как {{log}_5 25 } - чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

{{log}_5 \left(4+x\right)={{log}_5 25 } }

Функция y = {{log}_5 x } монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

4+x=25
x=21.
Ответ: 21.

11. Решите уравнение: {{log}_8 \left(x^2+x\right)={{log}_8 \left(x^2-4\right) } }

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение: 2^{{{log}_4 \left(4x+5\right) }}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

{{log}_4 b }=\frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=\frac{{{log}_2 b }}{2}

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

{{log}_{x-5} 49=2 }

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

\small \left\{\begin{matrix} \left ( x-5 \right )^2=49\\x-50 \\x-5 \neq 1 \end{matrix}\right.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: x=12 и x=-2

Очевидно, корень x=-2 является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: x=12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? - Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: cos \frac{\pi (x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t. Получим: cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Получаем решения: t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z. Вернемся к переменной x.

\frac{\pi (x+1)}{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z. Поделим обе части уравнения на \pi и умножим на 4.

x+1=\pm 1+8n, n\in Z

\left[ \begin{array}{c}x=8n, n\in Z \\x=-2+8n. \end{array}\right.

Первой серии принадлежат решения -8; 0; 8\dots

Вторая серия включает решения -2; 6; 14\dots

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это x = -2.

Ответ: -2.

15. Решите уравнение tg \frac{\pi \left( x+1\right)}{4}= -1. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t. Получим:tgt=-1. Решения этого уравнения:

t=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z. Вернемся к переменной х:

\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n \in Z. Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на \pi

x+1=-1+4n

x=-2+4n;

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

x=-2 ;2; 6\dots Наименьший положительный корень x = 2.

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!