Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.
Сейчас задание 13 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.
Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.
Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?
Простейшие тригонометрические уравнения 1
Простейшие тригонометрические уравнения 2
Задачи из сборников Ященко, 2021 год
Что необходимо помнить при решении уравнений?
1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Если в уравнении есть \(tg x\) — помним, что он существует, только если \({cos x\ne 0}.\)
2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.
4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.
5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам \(-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots\) Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений \(x= \displaystyle \frac{\pi}{3}+2\pi n \), где \(n\) — целое, а найти надо корни на отрезке \(\left [ \displaystyle \frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ].\) На указанном промежутке лежит точка \(4 \pi\). От нее и будем отсчитывать. Получим: \(x=4 \pi + \displaystyle \frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.\)
6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!
1. а) Решите уравнение: \(2{{sin}^2 \left( \displaystyle \frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-3\pi ;- \displaystyle \frac{3\pi }{2}\right]. \)
Решение:
\(2{{sin}^2 \left( \displaystyle \frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}. \)
Упростим левую часть по формуле приведения.
\(2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}.\)
Вынесем \({cos x}\) за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
\(cosx(2cosx+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
cosx=0, \\cosx=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n, \; n\in Z, \\x=\pm \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n.
\end{matrix}\right.\)
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \(\left[-3\pi;-\displaystyle \frac{3\pi }{2}\right].\)
Видим, что указанному отрезку принадлежат решения \(-\displaystyle \frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.\)
Ответ: \(-\displaystyle \frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.\)
Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам \(-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots\) Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений \(x=\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n\), где \(n\) — целое, а найти надо корни на отрезке \(\left [\displaystyle \frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}\right ].\)
На указанном промежутке лежит точка \(4 \pi.\) От нее и отсчитываем.
Получим: \(x=4\pi +\displaystyle \frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}.\)
2. а) Решите уравнение: \({({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\pi ;\displaystyle \frac{\pi }{2}\right].\)
Решение:
Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.
а) \(3^{3{cos x{sin x}}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}.\)
Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.
\(3{cos x{sin x}}=\displaystyle \frac{3{cos x}}{2}; \)
\(2{cos x{sin x-{cos x=0}}}; \)
\(cos x\left(sin x-\displaystyle \frac{1}{2}\right)=0. \)
\(\left[\begin{matrix}
cosx=0, \\sinx=\displaystyle \frac{1}{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n, \; n\in Z, \\x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n,
\\x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n.
\end{matrix}\right.\)
Это ответ в пункте (а).
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\pi ;\displaystyle \frac{\pi }{2}\right].\)
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\left[-\pi ;\displaystyle \frac{\pi }{2}\right]\) и найденные серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(x=-\displaystyle \frac{\pi }{2}\) и \(x=\displaystyle \frac{\pi }{2}\) из серии \(x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n, \; n\in Z.\)
Точки серии \(x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\) не входят в указанный отрезок.
А из серии \(x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n, \; n\in Z.\) в указанный отрезок входит точка \(x=\displaystyle \frac{\pi }{6}.\)
Ответ в пункте (б): \(-\displaystyle \frac{\pi }{2}; \; \frac{\pi }{6}; \; \frac{\pi }{2}. \)
3. а) Решите уравнение: \({cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\displaystyle \frac{7\pi }{2}; -2\pi \right]. \)
Решение:
а) \({cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}. \)
Применим формулу косинуса двойного угла: \(\boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }. \)
\(1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5; \)
\({{-sin}^2 x=-0,5}; \)
\({{sin}^2 x=0,5}. \)
Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.
\(\left(sinx-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(sinx+\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
sinx=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, \\sinx=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2};
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z.\)
Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.
б) Для разнообразия отберем корни на отрезке \(\left[-\displaystyle \frac{7\pi }{2}; -2\pi \right]\) с помощью двойного неравенства.
Сначала серия \(x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z: \)
\(-\displaystyle \frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi; \)
\(-\displaystyle \frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2 ;\)
\(-3,75\le n\le -2,25.\)
\(n=-3, \; x_1=\displaystyle \frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}.\)
Теперь серия \(x=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, \; n\in Z: \)
\(-\displaystyle \frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi; \)
\(-\displaystyle \frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2; \)
\(-3,25\le n\le -1,75.\)
\(n=-3, \; x_2=-\displaystyle \frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}; \)
\(n=-2, \; x_3=-\displaystyle \frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}. \)
Ответ: \(-\displaystyle \frac{13\pi }{4};-\frac{11\pi }{4};-\frac{9\pi }{4}.\)
Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».
Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.
Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства.
Например, надо найти корни из серии \(x=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z\) на отрезке \(\left[-\displaystyle \frac{\pi }{2}; 20\pi \right].\) Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.
4. а) Решите уравнение: \(\left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\displaystyle \frac{5\pi }{2};-\pi \right].\)
Решение:
Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие \({11cos x}\ge 0\) заметно сразу. А условие \({cos x}\ne 0\) появляется, поскольку в уравнении есть \({tg x=\displaystyle \frac{{sin x}}{{cos x}}}.\)
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
cosx\geq 0, \\cosx\neq 0;
\end{matrix}\right.\Rightarrow cosx> 0.\)
Уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
tg^{2}x-3=0,\\cosx=0,
\end{matrix}\right. \\cosx> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
tg^{2}x-3=0, \\cosx> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
tgx=\sqrt{3}, \\tgx=-\sqrt{3},
\end{matrix}\right. \\cosx> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi n, \; n\in Z, \\x=-\displaystyle \frac{\pi }{3}+\pi n,
\end{matrix}\right. \\cosx> 0.
\end{matrix}\right.\)
Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых \(cosx> 0\), то есть те, что соответствуют точкам справа от оси \(Y\).
Ответ в пункте (а) \(x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, \; n\in Z. \)
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \(\left[-\displaystyle \frac{5\pi }{2};-\pi \right]. \)
Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки
\(x=\displaystyle \frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}\) и \(x=-\displaystyle \frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}.\)
5. а) Решите уравнение: \(\sqrt{cos x+{sin x}}\left ({cos}^2 x-\displaystyle \frac{1}{2}\right)=0. \)
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку \([-\pi ;4\pi ]. \)
Решение:
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Это значит, что уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
cosx+sinx=0,\\cos^{2}x-\displaystyle \frac{1}{2}=0,
\end{matrix}\right. \\cosx+sinx\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
cosx=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, \\cosx=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},
\\tgx=-1,
\end{matrix}\right. \\cosx+sinx\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Решим эту систему с помощью тригонометрического круга.
Отметим на нем углы, для которых \({cos x}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \({cos x}=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\). Заметим, что среди них находятся и углы, для которых \(tgx=-1.\)
Числа серии \(x=-\displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi n\) не могут быть корнями исходного уравнения, т. к. для этих чисел не выполнено условие \({cos x+{sin x}}\ge 0\).
Остальные серии решений нас устраивают.
Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:
\(\left[\begin{matrix}
x_{1}=\pm \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z, \\x_{2}=\displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi n.
\end{matrix}\right.\)
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку \([-\pi ;4\pi ]\) любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.
На отрезке \(\left[-\pi ;0\right]\) нам подходит корень \(x =-\displaystyle \frac{\pi }{4}\).
На отрезке \(\left[0;2\pi \right]\) нам подходят корни \(x=\displaystyle \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\).
На отрезке \(\left[2\pi ;4\pi \right]\) — корни \(x= \displaystyle \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.\)
Ответ в пункте б): \(-\displaystyle \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.\)
