13. а) Решите уравнение: \(\displaystyle \cos^2 \left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. \(ABCA_1 B_1 C_1\) — правильная призма, сторона \(AB\) равна 16. Через точки \(M\) и \(P,\) лежащие на рёбрах \(AC\) и \(B B_1\) соответственно, проведена плоскость \(\alpha ,\) параллельная прямой \(AB.\) Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите, что периметр сечения плоскостью \(\alpha\) больше 40.
б) Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha ,\) если упомянутый периметр равен 46.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)}>1.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AK\) и \(BL\) пересекаются в точке \(I.\) Известно, что около четырёхугольника \(CKIL\) можно описать окружность.
а) Докажите, что угол \(BCA\) равен \(60^{\circ} .\)
б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если его периметр равен 25 и \(IC = 4 .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. Сравни с задачей 17, вариант 235, сайта Ларина
Евгений хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Евгения было недостаточно денег, а пакет стоил 195 000 рублей. В середине каждого месяца Евгений откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Евгению каждый месяц, чтобы через некоторое время выкупить желаемый пакет акций?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения \(a ,\) при которых уравнение \(\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a\) имеет единственное решение.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Задача из сборника «30 тренировочных вариантов ЕГЭ – 2021» под редакцией И. В. Ященко
Пусть \(\overline{ab}\) обозначает двузначное число, равное \(10a + b,\) где \(a\) и \(b\) – десятичные цифры, \(a\neq 0 .\)
а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры \(a, \ b, \ c\) и \(d,\) что \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99\)?
б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры \(a, b, c\) и \(d,\) что \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693 ,\) если среди цифр \(a, \ b, \ c\) и \(d\) есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc} ,\) если среди цифр \(a, \ b, \ c\) и \(d\) есть цифры 5 и 7?
