13. а) Решите уравнение: \(\left(\sqrt{2}{{sin}^2 x}+{cos x}-\sqrt{2}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi ;\displaystyle \frac{7\pi }{2}\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Все рёбра правильной треугольной пирамиды \(SBCD\) с вершиной \(S\) равны 9. Основание \(O\) высоты \(SO\) этой пирамиды является серединой отрезка \(SS_1, \; M\) — середина ребра \(SB\) , точка \(L\) лежит на ребре \(CD\) так, что \(CL:LD=7:2.\)
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SBCD\) плоскостью \(S_1LM\) — равнобедренная трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{3}{x^2+13x+40}\geq \frac{1}{x^2+15x+56}.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BK\).
а) Докажите, что \(\displaystyle \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC}.\)
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AB=13, \; BC = 7\) и \(\displaystyle BK=\frac{7\sqrt{13}}{4}.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. По вкладу «A» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «A».
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения параметра \(a,\) при каждом из которых система
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2+2\left(2y-x\right)a=1+2a-4a^2, \\
x^2+y^2+4\left(x-y\right)a=4+4a-7a^2 \end{array}
\right.\) имеет единственное решение.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Известно, что \( a, \; b, \; c, \; d, \; e\) и \( f\) — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.
а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{29}{4}\)?
б) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{451}{90}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\)?
