13. Варианты Восток и Запад
а) Решите уравнение: \(\displaystyle {\sin \frac{7x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+{\cos \frac{7x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = {{\cos}^2 3}x.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Варианты Восток и Запад
В основании пирамиды \(MABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=4\) и \(BC = \sqrt{33},\) все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\), а на рёбрах \(AM\) и \(AB\) — точки \(F\) и \(G\) соответственно так, что \(MF = BE = BG = 3.\)
а) Докажите, что плоскость \(GEF\) проходит через точку \(C\).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(GEF\) пересекает грань \(CMD\) пирамиды.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Варианты Восток и Запад
Решите неравенство: \(3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Варианты Восток и Запад
Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ \(AC\). Также известно, что в \(ABCD\) можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника \(ABCD\), если \(AC=26\) и \(BD=24\).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. Варианты Восток и Запад
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Вариант Запад
Найдите все значения \(a\), при которых система \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\left({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\right)\left({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2\right)\leq 0, \\
{\left(x-a-1\right)}^2+{\left(y-2a-2\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2 \end{array}
\right.\) не имеет решений.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Вариант Восток
Найдите все значения \(a\), при которых система \(\left\{ \begin{array}{c}
\left({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\right)\left({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2\right)\leq 0, \\
{\left(x-a-1\right)}^2+{\left(y-2a-2\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2 \end{array}
\right.\) имеет ровно 2 решения.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Варианты Восток и Запад
а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 250?
б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 8750?
в) Найдите все такие натуральные числа \(n\), что каждое из чисел \(n, \; n+1, \; n+2\) трёхзначное, а десятичная запись их произведения оканчивается на 4000.
