Slider

Задание №13. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 13 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть tg x — помним, что он существует, только если {cos x\ne 0}.

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам -4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений x=\frac{\pi}{3}+2\pi n , где n — целое, а найти надо корни на отрезке \left [\frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ]. На указанном промежутке лежит точка 4 \pi. От нее и будем отсчитывать. Получим: x=4 \pi +\frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение 2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right]

2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}

Упростим левую часть по формуле приведения.

2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}

Вынесем {cos x} за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right].

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения -\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.

Ответ: -\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам -4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений x=\frac{\pi }{3}+2\pi n, где n — целое, а найти надо корни на отрезке [\frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}]. На указанном промежутке лежит точка 4 \pi. От нее и отсчитываем.

Получим: x=4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}.

2. а) Решите уравнение {({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а) 3^{3{cos x{sin x}}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

3{cos x{sin x}}=\frac{3{cos x}}{2}

2{cos x{sin x-{cos x=0}}}

{cos x({sin x-\frac{1}{2})=0}}

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right] и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки x=-\frac{\pi }{2} и x=\frac{\pi }{2} из серии x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z.

Точки серии x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z не входят в указанный отрезок.

А из серии x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z в указанный отрезок входит точка x=\frac{\pi }{6}.

Ответ в пункте (б): -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{2}.

3. а) Решите уравнение {cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right].

а)
{cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}

Применим формулу косинуса двойного угла: \boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }

1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5

{{-sin}^2 x=-0,5}

{{sin}^2 x=0,5}

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке \left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right] с помощью двойного неравенства.

Сначала серия x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z.

-\frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi

-\frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2

-3,75\le n\le -2,25

n=-3, x_1=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}

Теперь серия x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z

-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi

-\frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2

-3,25\le n\le -1,75

n=-3, x_2=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}

n=-2, x_3=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}

Ответ: -\frac{13\pi }{4};-\frac{11\pi }{4};-\frac{9\pi }{4} .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z на отрезке \left[-\frac{\pi }{2}\right.;\left.20\pi \right]. Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение \left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие {11cos x}\ge 0 заметно сразу. А условие {cos x}\ne 0 появляется, поскольку в уравнении есть {tg x=\frac{{sin x}}{{cos x}}}.

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси Y.

Ответ в пункте а) x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in z

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3} и x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}.

5. а) Решите уравнение \sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-\frac{1}{2})=0}

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-\pi ;4\pi ].

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых {cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2} или {cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Заметим, что среди них находятся и углы, для которых tgx=-1.

Числа серии x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие {cos x+{sin x}}\ge 0. Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [-\pi ;4\pi ] любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке \left[-\pi ;0\right] нам подходит корень x =-\frac{\pi }{4}.

На отрезке \left[0;2\pi \right] нам подходят корни x=\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}.

На отрезке \left[2\pi ;4\pi \right] — корни x= \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.

Ответ в пункте б): -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.