previous arrow
next arrow
Slider

Задание №13. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 13 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть tg x — помним, что он существует, только если {cos x\ne 0}.

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам -4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений x=\frac{\pi}{3}+2\pi n , где n — целое, а найти надо корни на отрезке \left [\frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ]. На указанном промежутке лежит точка 4 \pi. От нее и будем отсчитывать. Получим: x=4 \pi +\frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение 2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right]

2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}

Упростим левую часть по формуле приведения.

2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}

Вынесем {cos x} за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right].

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения -\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.

Ответ: -\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам -4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений x=\frac{\pi }{3}+2\pi n, где n — целое, а найти надо корни на отрезке [\frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}]. На указанном промежутке лежит точка 4 \pi. От нее и отсчитываем.

Получим: x=4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}.

2. а) Решите уравнение {({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а) 3^{3{cos x{sin x}}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

3{cos x{sin x}}=\frac{3{cos x}}{2}

2{cos x{sin x-{cos x=0}}}

{cos x({sin x-\frac{1}{2})=0}}

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right] и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки x=-\frac{\pi }{2} и x=\frac{\pi }{2} из серии x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z.

Точки серии x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z не входят в указанный отрезок.

А из серии x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z в указанный отрезок входит точка x=\frac{\pi }{6}.

Ответ в пункте (б): -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{2}.

3. а) Решите уравнение {cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right].

а)
{cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}

Применим формулу косинуса двойного угла: \boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }

1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5

{{-sin}^2 x=-0,5}

{{sin}^2 x=0,5}

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке \left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right] с помощью двойного неравенства.

Сначала серия x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z.

-\frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi

-\frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2

-3,75\le n\le -2,25

n=-3, x_1=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}

Теперь серия x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z

-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi

-\frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2

-3,25\le n\le -1,75

n=-3, x_2=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}

n=-2, x_3=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}

Ответ: -\frac{13\pi }{4};-\frac{11\pi }{4};-\frac{9\pi }{4} .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z на отрезке \left[-\frac{\pi }{2}\right.;\left.20\pi \right]. Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение \left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие {11cos x}\ge 0 заметно сразу. А условие {cos x}\ne 0 появляется, поскольку в уравнении есть {tg x=\frac{{sin x}}{{cos x}}}.

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси Y.

Ответ в пункте а) x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in z

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок \left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3} и x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}.

5. а) Решите уравнение \sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-\frac{1}{2})=0}

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-\pi ;4\pi ].

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых {cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2} или {cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Заметим, что среди них находятся и углы, для которых tgx=-1.

Числа серии x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие {cos x+{sin x}}\ge 0. Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [-\pi ;4\pi ] любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке \left[-\pi ;0\right] нам подходит корень x =-\frac{\pi }{4}.

На отрезке \left[0;2\pi \right] нам подходят корни x=\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}.

На отрезке \left[2\pi ;4\pi \right] — корни x= \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.

Ответ в пункте б): -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.