Slider

Задание 15. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

\frac{{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}\frac{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} \geq { 2.}

Сделаем замену { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 2=t}.

Тогда { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1=t+1}, а { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3=t-1}.

Получим:

\frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}\frac{{ t}}{{ t-1}} \geq { 2}

\frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} \geq{ 0}

\frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0}

\frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0}

\frac{{ t}\left({ t}{ -}{ 3}\right)}{\left({ t}{ -}{ 1}\right)\left({ t}{ +1}\right)}\le { 0}

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

\left[ \begin{array}{c}{ -}{ 1 \textless t}\le { 0} \\{ 1 \textless t}\le { 3} \end{array}\right.

Вернемся к переменной x: \left[ \begin{array}{c} -1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq0 \\ 1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq 3 \end{array} \right.

\left[ \begin{array}{c} {{2}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{4}\over{\sqrt{5}}}\\ {{6}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{10}\over{\sqrt{5}}} \end{array} \right.

Ответ: x\in \left(\frac{{ 2}}{\sqrt{{ 5}}};\frac{{ 4}}{\sqrt{{ 5}}}\right]\cup \left(\frac{{ 6}}{\sqrt{{ 5}}};{ 2}\sqrt{{ 5}}\right].

Показательные неравенства

2. Решите неравенство 2^x+17\cdot 2^{3-x}\le 25

2^x+17\cdot \frac{8}{2^x}\le 25

Сделаем замену 2^x=t,t \textgreater 0. Получим:

t+17\cdot \frac{8}{t}-25\le 0. Умножим неравенство на t \textgreater 0.

t^2-25t+136\le 0

Дискриминант квадратного уравнения t^2-25t+136=0

D={\left(-25\right)}^2-4\cdot 136=625-544=81. Значит, корни этого уравнения: \left[ \begin{array}{c}t_1=17 \\t_2=8 \end{array}\right.

Разложим квадратный трехчлен t^2-25t+136 на множители.

t^2-25t+136\le 0 \Longleftrightarrow \left(t-17\right)\left(t-8\right)\le 0

8\le t\le 17. Вернемся к переменной x.

8\le 2^x\le 17

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

2^3\le 2^x\le 2^{{{\log }_2 17}}

3\le x\le {{\log }_2 17}

Ответ: x\in \left[3;{{\log }_2 17}\right]

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство 2^{2x-x^2-1}+\frac{1}{2^{2x-x^2}-1}\le 2

Сделаем замену 2^{2x-x^2}=t,t \textgreater 0. Получим:

\frac{t}{2}+\frac{1}{t-1}-2\le 0

\frac{t^2-t+2-4t+4}{2\left(t-1\right)}\le 0

\frac{t^2-5t+6}{t-1}\le 0

\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{t-1}\le 0

\left[ \begin{array}{c}t \textless 1 \\2\le t\le 3 \end{array}\right.

Вернемся к переменной x:\left[ \begin{array}{c}2^{2x-x^2} \textless 1 \\{2\le 2}^{2x-x^2}\le 3 \end{array}\right.

Первое неравенство решим легко: 2x-x^2 \textless 0. С неравенством {2\le 2}^{2x-x^2} тоже все просто. Но что делать с неравенством 2^{2x-x^2}\le 3? Ведь 3 = 2^{{{\log }_2 3}}. Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим t=2^{2x-x^2}. Для этого рассмотрим функцию t\left(x\right)=2^{2x-x^2}.

Сначала оценим показатель степени. Пусть z\left(x\right)=2x-x^2. Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом y(1) = 1.

Мы получили, что z\left(x\right)\le 1.

Тогда 2^{z\left(x\right)}\le 2, и это значит, что t\left(x\right)\le 2. Значение t\left(x\right)=3 не достигается ни при каких х.

Но если {2\le 2}^{2x-x^2} и 2^{2x-x^2}\le 2, то 2^{2x-x^2}=2.

Мы получили:

\left[ \begin{array}{c} 2x-x^2 \textless 0\\ 2x-x^2=1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x(x-2) \textgreater 0\\ x^2-2x+1=0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\(x-1)^2=0\end{array} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\ x=1\end{array} \right.

Ответ: x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left\{1\right\}\cup \left(2;+\infty \right){ }

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство 2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

2log_{{1}\over{2}}(1-x) \textless log_{{1}\over{2}}(3x+1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x \textgreater 0\\3x+1 \textgreater 0 \\(1-x)^2 \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater -{{1}\over{3}} \\ 1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x^2-5x \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\ x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x(x-5) \textgreater 0 \end{matrix}\right.

Ответ: x\in \left(-\frac{1}{3};0\right)

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство 2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} \geq 1}}}

2{{{\log }_2}^2 {{\cos }^{{ 2}} x+7{{\log }_2 {\cos x} \geq 1}}}

ОДЗ: {\cos x} \textgreater 0

Замена {{\log }_2 {\cos x}=t} \Rightarrow {{\log }_2 {{\cos }^{{ 2}} x}}=2{{\log }_2 {\cos x=2t}}

2\cdot {\left(2t\right)}^2+7t-1 \geq 0

8t^2+7t-1 \geq 0

D=7^2-4\cdot 8\cdot \left(-1\right)=49+32=81

t_1=\frac{-7-9}{16}=-1

t_2=\frac{-7+9}{16}=\frac{1}{8}

(t+1)(t-{{1}\over{8}})\geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} t \leq -1 \\ t \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} log_2\,cosx \leq-1 \\ log_2\,cosx \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{c} cosx\leq{{1}\over{2}} \\ cosx\geq\sqrt[8]{2} \end{array} \right. \\ cosx \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0 \textless cosx\leq{{1}\over{2}}

Ответ: x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi k;\left.-\frac{\pi }{3}+2\pi k\right]\right.\cup \left[\frac{\pi }{3}+2\pi k;\left.\frac{\pi }{2}+2\pi k\right), k\right.\in Z

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: {{\log }_{{ 3-x}} \frac{{ x+4}}{{\left({ x-3}\right)}^{{ 2}}}} \geq { -2}

log_{3-x}\frac{x+4}{(x-3)^2}\geq-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-x \textgreater 0\\3-x\neq1 \\ {x+4\over (x-3)^2} \textgreater 0 \\ log_{3-x} {{x+4}\over(x-3)^2}+2\geq 0 \end{matrix}\right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {\left({ a-b}\right)}^{{ 2}}{ =}{\left({ b-a}\right)}^{{ 2}}{ }. Используем также условия { 3-x \textgreater 0}; \, { x+4 \textgreater 0.}

\left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x+4 \textgreater 0 \\ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2\geq0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x \textgreater -4 \\ log_{3-x}(x+4)\geq0 \end{matrix}\right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{\log }_{{ a}} {\left({ b}\left({ x}\right)\right)}^{{ 2}}{ =2}{{\log }_{{ a}} \left|{ b}\left({ x}\right)\right|}}.

Поскольку { 3-}{ x}{ \textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{\left({ 3-x}\right)}^{{ 2}}{ =2}{{\log }_{{ 3-x}} \left|{ 3-x}\right|{ =}}{ 2}{{\log }_{{ 3-x}} \left({ 3-x}\right){ =2.}}

Согласно методу замены множителя, выражение {{ log}}_{{ 3-x}}\left({ x+4}\right) заменим на \left({ 3-x-1}\right)\left({ x+4-1}\right).

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}{ x}\ne { 2} \\{ -}{ 4}{ \textless x \textless 3} \\\left({ 2-x}\right)\left({ x+3}\right) \geq { 0} \end{array}\right.

Решить ее легко.

Ответ: { x}\in \left[{ -}{ 3};{ 2}\right).

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

{{\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x\leq 4}}

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{c}x-5 \textgreater 0 \\x \textgreater 0 \end{array}\Longleftrightarrow x \textgreater 5.\right.

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

{{\log }_2 \left(9-5\right)={{\log }_2 4=2}}

{{\log }_3 9=2}

{{\log }_2 \left(9-5\right)+{{\log }_3 9=4}}

Функции y_1=log_2 \left(x-5\right) и y_2 =log _3 x — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции {{{ y=}\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x}} равно 4, при x \textless 9 значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом x \textgreater 5, то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.