previous arrow
next arrow
Slider

Задание 15. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

\frac{{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}\frac{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} \geq { 2.}

Сделаем замену { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 2=t}.

Тогда { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1=t+1}, а { 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3=t-1}.

Получим:

\frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}\frac{{ t}}{{ t-1}} \geq { 2}

\frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} \geq{ 0}

\frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0}

\frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0}

\frac{{ t}\left({ t}{ -}{ 3}\right)}{\left({ t}{ -}{ 1}\right)\left({ t}{ +1}\right)}\le { 0}

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

\left[ \begin{array}{c}{ -}{ 1 \textless t}\le { 0} \\{ 1 \textless t}\le { 3} \end{array}\right.

Вернемся к переменной x: \left[ \begin{array}{c} -1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq0 \\ 1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq 3 \end{array} \right.

\left[ \begin{array}{c} {{2}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{4}\over{\sqrt{5}}}\\ {{6}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{10}\over{\sqrt{5}}} \end{array} \right.

Ответ: x\in \left(\frac{{ 2}}{\sqrt{{ 5}}};\frac{{ 4}}{\sqrt{{ 5}}}\right]\cup \left(\frac{{ 6}}{\sqrt{{ 5}}};{ 2}\sqrt{{ 5}}\right].

Показательные неравенства

2. Решите неравенство 2^x+17\cdot 2^{3-x}\le 25

2^x+17\cdot \frac{8}{2^x}\le 25

Сделаем замену 2^x=t,t \textgreater 0. Получим:

t+17\cdot \frac{8}{t}-25\le 0. Умножим неравенство на t \textgreater 0.

t^2-25t+136\le 0

Дискриминант квадратного уравнения t^2-25t+136=0

D={\left(-25\right)}^2-4\cdot 136=625-544=81. Значит, корни этого уравнения: \left[ \begin{array}{c}t_1=17 \\t_2=8 \end{array}\right.

Разложим квадратный трехчлен t^2-25t+136 на множители.

t^2-25t+136\le 0 \Longleftrightarrow \left(t-17\right)\left(t-8\right)\le 0

8\le t\le 17. Вернемся к переменной x.

8\le 2^x\le 17

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

2^3\le 2^x\le 2^{{{\log }_2 17}}

3\le x\le {{\log }_2 17}

Ответ: x\in \left[3;{{\log }_2 17}\right]

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство 2^{2x-x^2-1}+\frac{1}{2^{2x-x^2}-1}\le 2

Сделаем замену 2^{2x-x^2}=t,t \textgreater 0. Получим:

\frac{t}{2}+\frac{1}{t-1}-2\le 0

\frac{t^2-t+2-4t+4}{2\left(t-1\right)}\le 0

\frac{t^2-5t+6}{t-1}\le 0

\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{t-1}\le 0

\left[ \begin{array}{c}t \textless 1 \\2\le t\le 3 \end{array}\right.

Вернемся к переменной x:\left[ \begin{array}{c}2^{2x-x^2} \textless 1 \\{2\le 2}^{2x-x^2}\le 3 \end{array}\right.

Первое неравенство решим легко: 2x-x^2 \textless 0. С неравенством {2\le 2}^{2x-x^2} тоже все просто. Но что делать с неравенством 2^{2x-x^2}\le 3? Ведь 3 = 2^{{{\log }_2 3}}. Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим t=2^{2x-x^2}. Для этого рассмотрим функцию t\left(x\right)=2^{2x-x^2}.

Сначала оценим показатель степени. Пусть z\left(x\right)=2x-x^2. Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом y(1) = 1.

Мы получили, что z\left(x\right)\le 1.

Тогда 2^{z\left(x\right)}\le 2, и это значит, что t\left(x\right)\le 2. Значение t\left(x\right)=3 не достигается ни при каких х.

Но если {2\le 2}^{2x-x^2} и 2^{2x-x^2}\le 2, то 2^{2x-x^2}=2.

Мы получили:

\left[ \begin{array}{c} 2x-x^2 \textless 0\\ 2x-x^2=1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x(x-2) \textgreater 0\\ x^2-2x+1=0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\(x-1)^2=0\end{array} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\ x=1\end{array} \right.

Ответ: x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left\{1\right\}\cup \left(2;+\infty \right){ }

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство 2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

2log_{{1}\over{2}}(1-x) \textless log_{{1}\over{2}}(3x+1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x \textgreater 0\\3x+1 \textgreater 0 \\(1-x)^2 \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater -{{1}\over{3}} \\ 1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x^2-5x \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\ x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x(x-5) \textgreater 0 \end{matrix}\right.

Ответ: x\in \left(-\frac{1}{3};0\right)

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство 2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} \geq 1}}}

2{{{\log }_2}^2 {{\cos }^{{ 2}} x+7{{\log }_2 {\cos x} \geq 1}}}

ОДЗ: {\cos x} \textgreater 0

Замена {{\log }_2 {\cos x}=t} \Rightarrow {{\log }_2 {{\cos }^{{ 2}} x}}=2{{\log }_2 {\cos x=2t}}

2\cdot {\left(2t\right)}^2+7t-1 \geq 0

8t^2+7t-1 \geq 0

D=7^2-4\cdot 8\cdot \left(-1\right)=49+32=81

t_1=\frac{-7-9}{16}=-1

t_2=\frac{-7+9}{16}=\frac{1}{8}

(t+1)(t-{{1}\over{8}})\geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} t \leq -1 \\ t \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} log_2\,cosx \leq-1 \\ log_2\,cosx \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{c} cosx\leq{{1}\over{2}} \\ cosx\geq\sqrt[8]{2} \end{array} \right. \\ cosx \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0 \textless cosx\leq{{1}\over{2}}

Ответ: x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi k;\left.-\frac{\pi }{3}+2\pi k\right]\right.\cup \left[\frac{\pi }{3}+2\pi k;\left.\frac{\pi }{2}+2\pi k\right), k\right.\in Z

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: {{\log }_{{ 3-x}} \frac{{ x+4}}{{\left({ x-3}\right)}^{{ 2}}}} \geq { -2}

log_{3-x}\frac{x+4}{(x-3)^2}\geq-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-x \textgreater 0\\3-x\neq1 \\ {x+4\over (x-3)^2} \textgreater 0 \\ log_{3-x} {{x+4}\over(x-3)^2}+2\geq 0 \end{matrix}\right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {\left({ a-b}\right)}^{{ 2}}{ =}{\left({ b-a}\right)}^{{ 2}}{ }. Используем также условия { 3-x \textgreater 0}; \, { x+4 \textgreater 0.}

\left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x+4 \textgreater 0 \\ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2\geq0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x \textgreater -4 \\ log_{3-x}(x+4)\geq0 \end{matrix}\right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{\log }_{{ a}} {\left({ b}\left({ x}\right)\right)}^{{ 2}}{ =2}{{\log }_{{ a}} \left|{ b}\left({ x}\right)\right|}}.

Поскольку { 3-}{ x}{ \textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{\left({ 3-x}\right)}^{{ 2}}{ =2}{{\log }_{{ 3-x}} \left|{ 3-x}\right|{ =}}{ 2}{{\log }_{{ 3-x}} \left({ 3-x}\right){ =2.}}

Согласно методу замены множителя, выражение {{ log}}_{{ 3-x}}\left({ x+4}\right) заменим на \left({ 3-x-1}\right)\left({ x+4-1}\right).

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}{ x}\ne { 2} \\{ -}{ 4}{ \textless x \textless 3} \\\left({ 2-x}\right)\left({ x+3}\right) \geq { 0} \end{array}\right.

Решить ее легко.

Ответ: { x}\in \left[{ -}{ 3};{ 2}\right).

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

{{\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x\leq 4}}

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{c}x-5 \textgreater 0 \\x \textgreater 0 \end{array}\Longleftrightarrow x \textgreater 5.\right.

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

{{\log }_2 \left(9-5\right)={{\log }_2 4=2}}

{{\log }_3 9=2}

{{\log }_2 \left(9-5\right)+{{\log }_3 9=4}}

Функции y_1=log_2 \left(x-5\right) и y_2 =log _3 x — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции {{{ y=}\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x}} равно 4, при x \textless 9 значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом x \textgreater 5, то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].