В школьном курсе алгебры не так уж много теории. Намного больше практики, то есть секретов и приемов решения задач. Хороший репетитор-математик вряд ли будет читать вам на каждом уроке длинные лекции. Он скажет: «Смотри, как решаются такие задачи!»
И все-таки минимальное знание теории необходимо. Основные понятия и формулы надо знать наизусть.
Например, что такое квадратный корень из неотрицательного числа?
Что такое модуль числа?
Для каких чисел существуют логарифмы?
Чем действительные числа отличаются от рациональных?
Как узнать, что число делится на 11?
На этой странице – все основные темы и понятия алгебры, необходимые учащимся 10-11 класса. И еще – полезная информация о том, как считать быстро и без калькулятора и как легко запоминать формулы.
Таблица квадратов натуральных чисел и формулы сокращенного умножения
ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора
Основы логики. Система условий, совокупность условий
Проверь себя. Помнишь ли ты основные понятия алгебры?
к оглавлению ▴- Арифметический квадратный корень из числа \(a\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a.\)
\({(\sqrt{a})}^2=a; \, \sqrt{a}\ge 0; \, a\ge 0. \)
Посмотрим, какие задания на тему «Арифметический квадратный корень» чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ и ОГЭ по математике.
1. Вычислите: \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2.\)
Решение:
\((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{32})^2-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=32-2\sqrt{64}+2=34-2\cdot8=18. \)
Мы применили одну из формул сокращенного умножения – квадрат разности.
Ответ: \(18\).
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
(в алгебре считается, что в задаче ответ без квадратных корней в знаменателе выглядит более красиво).
a) \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \, ; \) б) \(\displaystyle \frac{1}{6-\sqrt{5}}. \)
Решение:
а) Числитель и знаменатель дроби умножим на одно и то же число, равное знаменателю дроби.
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}.\)
б) Числитель и знаменатель дроби умножим на одно и то же число, сопряженное знаменателю.
Что значит «сопряженное»?
Выражение \(a+b\) называют сопряженным выражению \(a-b\), а выражение \(a-b\) будет сопряженным выражению \(a+b\).
Мы используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)
Поэтому \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{1}{6-\sqrt{5}}=\frac{1\cdot(6+\sqrt{5)}}{(6-\sqrt{5})(6+\sqrt{5})}=\displaystyle \frac{6+\sqrt{5}}{6^2-(\sqrt{5})^2}=\displaystyle \frac{6+\sqrt{5}}{36-5}=\displaystyle \frac{6+\sqrt{5}}{31}.\)
Ответ: а) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3} \, ;\) б) \(\displaystyle \frac{6+\sqrt{5}}{31}.\)
В вариантах ОГЭ по математике есть также задачи на сравнение арифметических квадратных корней.
3. Сравните числа \(\sqrt{3,26}\) и \(1,8.\)
Решение:
Мы не будем искать приближенное значение корня из \(3,26\). Ясно, что без калькулятора это сделать сложно. Зато два рациональных числа можно легко сравнить между собой.
Запишем число \(1,8\) как \(\sqrt{1,8^2}=\sqrt{3,24}.\)
Мы сравниваем \(\sqrt{3,26}\) и \(\sqrt{3,24}.\) Из этих чисел больше то, для которого больше подкоренное выражение.
Сравним числа \(3,26\) и \(3,24\).
Конечно, \(3,26 >3,24,\) тогда \(\sqrt{3,26} >\sqrt{3,24},\) значит, \(\sqrt{3,26} >1,8.\)
Ответ: \(\sqrt{3,26} >1,8.\)
4. Между какими целыми последовательными числами заключено число \(\sqrt{12}\)?
Решение:
Так как \(0 < 9 <12 <16,\) то \(\sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16},\) значит \(3 < \sqrt{12} < 4.\)
Ответ: \(3 < \sqrt{12} < 4.\)
к оглавлению ▴- Определение модуля числа:
\(\left| x\right|=\left\{\begin{matrix} x, \; если \; x\geq 0, \\ -x, \; если \; x< 0. \end{matrix}\right.\)
- Что такое \(\sqrt{a^2} \;\)? Запомним: \(\sqrt{a^2} = \left |a \right |. \)
5. Вычислите а) \(\sqrt{2,6^2}; \;\) б) \(\sqrt{\left (\displaystyle -2\frac{3}{5}\right)^2}; \;\) в) \(-12\sqrt{(8-15)^2}.\)
Решение:
а) \(\sqrt{2,6^2}=|2,6|=2,6.\) Мы применили формулу \(\sqrt{a^2} = \left |a \right |. \)
б) \(\sqrt{\left( \displaystyle -2\frac{3}{5}\right)^2}=\left| \displaystyle -2\frac{3}{5}\right|= \displaystyle 2\frac{3}{5}.\)
в) \(-12\sqrt{(8-15)^2}=-12\cdot|8-15|=-12\cdot|-7|=-12\cdot7=-84.\)
Ответ: а) \(2,6; \;\) б) \( \displaystyle 2\frac{3}{5}; \;\) в) \(-84.\)
6. Вычислите значение выражения \(\sqrt{c^2-6c+9}\) при \(c=-2.\)
Решение: \(\sqrt{c^2-6c+9}=\sqrt{(c-3)^2}=|c-3|.\)
Если \(c=-2,\) то
\(\sqrt{c^2-6c+9}=|c-3|=|-2-3|=|-5|=5.\)
Ответ: \(5\).
к оглавлению ▴1) \(|a| \geqslant 0. \) Модуль любого числа неотрицателен.
2) \(|a+b+c| \leqslant |a| + |b| + |c|; \; a, b, c - \) любые числа.
3) \(|a|=|-a|; |a-b| = |b-a|; \; a, b - \) любые числа.
4) \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|; \; a, b - \) любые числа.
5) \(\left|\displaystyle \frac{a}{b}\right|=\displaystyle \frac{|a|}{|b|}, \; a - \) любое число, \(b \neq 0.\)
- Знаешь ли ты, что корни второй, третьей, четвертой, пятой, n-ной степени можно записывать просто как степени? И это намного удобнее. Например, \(\sqrt[{\ }]{2}=\ 2^{\frac{1}{2}}, \ \sqrt[5]{a^3}=\ a^{\frac{3}{5}}.\)
Напомним, что корень третьей степени из \(a\)– такое число, при возведении которого в третью степень получается число \(a\).
Аналогично, корень четвертой степени из \(a\) – такое неотрицательное число, при возведении которого в четвертую степень получается число \(a\).
Тема «Корни и степени» подробно здесь.
к оглавлению ▴Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\) , чтобы получить \(b.\)
\(\boldsymbol{{{log}_a b=c }\Leftrightarrow a^c = b. }\)
При этом \(b> 0,\, \, a> 0,\, \, a\ne 1. \)
Перечислим основные формулы для логарифмов:
По определению, \(\log_ab\) — это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\):
| \(a^{\log_ab}=b.\) | \((1)\) |
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
| \(a^{\log_ax}=x.\) |
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
| \(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac.\) | \((2)\) |
Логарифм частного равен разности логарифмов:
| \(\log_a\left(\displaystyle\frac{b}{c}\right)=\log_ab-\log_ac.\) | \((3)\) |
Логарифм степени – это показатель степени, умноженный на логарифм:
| \(\log_ab^m=m\log_ab.\) | \((4)\) |
Есть также формула, когда основанием логарифма является число в некоторой степени. Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
| \(\log_{a^n}b=\displaystyle\frac{1}{n}log_ab.\) | \((5)\) |
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
| \(\log_ab=\displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}.\) | \((6)\) |
В частности, если \(c = b\), то \(\log_bb=1\), и тогда:
|
\(\log_ab=\displaystyle\frac{1}{\log_ba}.\)
|
\((7)\) |
Из этих формул можно получать новые.
7. Например, докажем полезное свойство логарифма:
\(\log_ab=\log_ac\cdot\log_cb.\)
Доказательство:
По формуле перехода к новому основанию получим: \(\log_cb=\displaystyle \frac{\log_ab}{\log_ac}.\)
Отсюда \(\log_ab=\log_ac\cdot\log_cb.\)
8. Докажем тождество: \(\log_{ab}x=\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{log_ax}+ \frac{1}{\log_bx}}.\)
Доказательство:
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{log_ax}+\frac{1}{\log_bx}}=\displaystyle \frac{1}{\log_xa+\log_xb}=\displaystyle \frac{1}{\log_xab}=\log_{ab}x.\)
Решим примеры на вычисление.
9. Вычислите: \(\log_812+\log_{\frac{1}{8}}3.\)
Решение:
\(\log_812+\log_{\frac{1}{8}}3=\log_812+\log_8\displaystyle \frac{1}{3}=\log_8(12\cdot\displaystyle \frac{1}{3})=\log_84=\displaystyle \frac{2}{3}.\)
Применили формулы перехода к новому основанию и логарифма произведения.
10. Вычислите: \(\displaystyle \frac{\log_932}{\log_94}.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{\log_932}{\log_94}=\log_432=\log_{2^2}32=\frac{1}{2}\log_22^5=\frac{5}{2}=2,5. \)
Применили формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма степени.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
