13. а) Решите уравнение: \(\displaystyle \frac{9^{{\sin 2}x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x}}}{\sqrt{11{\sin x}}}=0 .\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Дана прямая треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1 .\) Известно, что AB=BC. Точка K — середина ребра \(A_1B_1 ,\) а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM:MC = 1:3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите расстояние между прямыми KM и \(A_1C_1 ,\) если \(AB = 6, AC = 8\) и \(AA_1=3 .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle 3^{\left|x\right|}-8-\frac{3^{\left|x\right|}+9}{9^{\left|x\right|}-4\cdot 3^{\left|x\right|}+3}\leq \frac{5}{3^{\left|x\right|}-1} .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \({C}_{1}\) и \({B}_{1}\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \({AB}_{1}{C}_{1} .\)
б) Вычислите радиус данной окружности, если \(\angle A=120^{\circ} ,\) BC =\(10\sqrt{7}\) и площадь треугольника \({AB}_{1}{C}_{1 }\) в три раза меньше площади четырёхугольника BCB\({}_{1}\)C\({}_{1} .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \({\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2\) имеет единственное решение на отрезке \(\left[-1;1\right] .\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Конечная возрастающая последовательность \(a_1,a_2,...,a_n\) состоит из \(n\geq 3\) различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \(k\leq n-2\) выполнено равенство \(3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k .\)
а) Приведите пример такой последовательности при \(n=5 .\)
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\geq 3\) выполняться равенство \(2a_n=3a_2-a_1\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать \(a_1 ,\) если \(a_n=315\)?
