Задание №12. Уравнения - профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть $tg x$ — помним, что он существует, только если ${cos x\ne 0}.$

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $\left [\frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi$ . От нее и будем отсчитывать. Получим: $x=4 \pi +\frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.$

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение $2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right]$

$2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

Упростим левую часть по формуле приведения.

$2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}$

Вынесем ${cos x}$ за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right].$

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения $-\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.$

Ответ: $-\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.$

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $[\frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi.$ От нее и отсчитываем.

Получим: $x=4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}.$

2. а) Решите уравнение ${({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а) $3^{3{cos x{sin x}}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}$

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

$3{cos x{sin x}}=\frac{3{cos x}}{2}$

$2{cos x{sin x-{cos x=0}}}$

${cos x({sin x-\frac{1}{2})=0}}$

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x=-\frac{\pi }{2}$ и $x=\frac{\pi }{2}$ из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z.$

Точки серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ не входят в указанный отрезок.

А из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ в указанный отрезок входит точка $x=\frac{\pi }{6}.$

Ответ в пункте (б): $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{2}.$

3. а) Решите уравнение ${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right].$

а)
${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }$

$1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5$

${{-sin}^2 x=-0,5}$

${{sin}^2 x=0,5}$

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right]$ с помощью двойного неравенства.

Сначала серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z.$

$-\frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,75\le n\le -2,25$

$n=-3, x_1=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}$

Теперь серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z$

$-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,25\le n\le -1,75$

$n=-3, x_2=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}$

$n=-2, x_3=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}$

Ответ: $-\frac{13\pi }{4};-\frac{11\pi }{4};-\frac{9\pi }{4}$ .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z$ на отрезке $\left[-\frac{\pi }{2}\right.;\left.20\pi \right].$ Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение $\left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие ${11cos x}\ge 0$ заметно сразу. А условие ${cos x}\ne 0$ появляется, поскольку в уравнении есть ${tg x=\frac{{sin x}}{{cos x}}}.$

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси $Y$ .

Ответ в пункте а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in z$

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

$x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$ и $x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}.$

5. а) Решите уравнение $\sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-\frac{1}{2})=0}$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ].$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых ${cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ${cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых $tgx=-1.$

Числа серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие ${cos x+{sin x}}\ge 0$ . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ]$ любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке $\left[-\pi ;0\right]$ нам подходит корень $x =-\frac{\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[0;2\pi \right]$ нам подходят корни $x=\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[2\pi ;4\pi \right]$ — корни $x= \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Ответ в пункте б): $-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Это полезно