13. а) Решите уравнение: \(\left(1-3tg^2x\right)\sqrt{7{\sin x}}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC.\) Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(A_1B_1\) и \(AC\) соответственно.
а) Докажите, что \(KM=KB.\)
б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1,\) если \(AB = 8,\) \(AC = 6\) и \(1\) \(AA_1=3.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\leq \frac{3}{2^x}.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектрисы \(BM\) и \(CN.\) Оказалось, что точки \(B, C, M\) и \(N\) лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
б) Пусть \(P\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC.\) Найдите площадь четырёхугольника \(AMPN,\) если \(MN:BC = 2:5,\) а \(BN =14.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 8% в первый год и на одинаковое целое число \(n\) процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение \(n,\) при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых система \(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\
a^2+ax+2ay=5 \end{array}
\right.\) имеет решение.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 17.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 109?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
