В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №11 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.
Как формулируется задание 11 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.
Вот необходимая теория для решения задания №11 ЕГЭ.
5 типов элементарных функций и их графики
Преобразование графиков функций
Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 11 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.
Рекомендации:
Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)
Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?
Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.
Задание 11 в формате ЕГЭ-2021
Линейная функция
1. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=kx+b\). Найдите значение \(x\), при котором \(f\left(x\right)=-13,5.\)
Решение:
Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:
\(\left\{ \begin{array}{c}
3k+b=4 \\
-k+b=-3 \end{array}
\right..\)
Вычтем из первого уравнения второе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
4k=7 \\
-k+b=-3 \end{array}
;\right. \left\{ \begin{array}{c}
k=\frac{7}{4} \\
b=-\frac{5}{4} \end{array}
\right. .\)
Уравнение прямой имеет вид:
\(\displaystyle y=\frac{7}{4}x-\frac{5}{4}.\)
Найдем, при каком \(x\) значение функции равно -13,5.
\(\displaystyle \frac{7}{4}x-\frac{5}{4}=-13,5;\)
\(7x-5=-54;\)
\(7x=-49;\)
\(x=-7.\)
Ответ: -7.
2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Запишем формулы функций.
Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция \(y=-x+1.\)
Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции \(y=kx+b.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
-k+b=-1 \\
-2k+b=4 \end{array}
\right. .\)
Вычтем из первого уравнения второе.
\(k=-5;\) тогда \(b=-6.\)
Прямая задается формулой: \(y=-5x-6.\)
Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:
\(\left\{ \begin{array}{c}
y=-x+1 \\
y=-5x-6 \end{array}
\ ;\right.\ \begin{array}{c}
-x+1=-5x-6\ ; \\
x=-\frac{7}{4}=-1,75. \end{array}
\ \)
Ответ: -1,75.
3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой \(y=x+1,\) так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).
Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен \(\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.\)
Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: \(1,5\cdot \left(-2\right)+b=4;\) \(b=7,\) эта прямая задается формулой \(y=1,5x+7.\)
Для точки пересечения прямых:
\(x+1=1,5x+7;\)
\(0,5x=-6;\)
\(x=-12.\)
Ответ: -12.
Квадратичная функция. Необходимая теория
4. На рисунке изображен график функции \(y=ax^2+bx+c.\ \) Найдите b.
Решение:
На рисунке — квадратичная парабола \(y={\left(x-a\right)}^2,\) полученная из графика функции \(y=x^2\) сдвигом на 1 вправо, то есть \(a=1.\)
Получим: \(f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2=x^2-2x+1;\)
\(b=-2.\)
Ответ: -2.
5. На рисунке изображен график функции \(y={\left(x-c\right)}^2\). Найдите с.
Решение:
На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при \(x^2\ \) положительный. График сдвинут относительно графика функции \(y=x^2\) на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид \(y={\left(x-1\right)}^2\).
Значит, с = 1.
Ответ: 1
6. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=2x^2+bx+c.\) Найдите \(f\left(-5\right).\)
Решение:
График функции \(y=2x^2+bx+c\) проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2+b+c=1 \\
2\cdot 4-2b+c=-2 \end{array}
\right. .\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
b+c=-1 \\
-2b+c=-10 \end{array}
;\right. \) отсюда \(b=3,\) \(c=-4.\)
Формула функции имеет вид:
\(f\left(x\right)=2x^2+3x-4;\)
\(f\left(-5\right)=2\cdot 25-3\cdot 5-4=31.\)
Ответ: 31.
7. На рисунке изображены графики функций \(f\left(x\right)=5x+9\) и \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c,\) которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
Найдем a, b и c в формуле функции \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c\). График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому \(c=-3.\)
График функции \(g(x)\) проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a-b-3=-3 \\
4a+2b-3=3 \end{array}
;\right. \) отсюда \(a=b=1;\)
\(g\left(x\right)=x^2+x-3;\)
Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B: \(f\left(x\right)=g(x)\)
\(5x+9=x^2+x-3;\)
\(x^2-4x-12=0.\)
\(x=-2\) (это абсцисса точки A) или \(x=6\) (это абсцисса точки B).
Ответ: 6.
Степенные функции. Необходимая теория
8. На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}\) и \(g\left(x\right)=ax+b\), которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
График функции \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) проходит через точку (2; 1); значит, \(\displaystyle \frac{k}{2}=1;\)
\(\displaystyle k=2,\ \; f\left(x\right)=\frac{2}{x}.\)
График функции \(g\left(x\right)=ax+b\) проходит через точки (2; 1) и (1; -4), \(a=5\) — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда \(5\cdot 2+b=1;\) \(b=-9.\)
Для точек A и B имеем: \(f\left(x\right)=g\left(x\right);\)
\(\displaystyle \frac{2}{x}=5x-9;\)
\(5x^2-9x-2=0.\)
Отсюда \(x=2\) (абсцисса точки A) или \(x=-0,2\) (абсцисса точки B).
Ответ: -0,2.
9. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=k\sqrt{x}\). Найдите f (6,76).
Решение:
Функция задана формулой:
\(y=k\sqrt{x}.\) Ее график проходит через точку (4; 5); значит, \(k\cdot \sqrt{4}=5;\) \(k=2,5;\)
\(f\left(x\right)=2,5\sqrt{x}.\) Тогда \(f\left(6,76\right)=2,5\cdot \sqrt{6,76}=2,5\cdot 2,6=6,5.\)
Ответ: 6,5.
10. На рисунке изображен график функции \(f\left(x\right)=\sqrt{ax}\). Найдите \(f\left(-25\right)\).
Решение:
График функции на рисунке симметричен графику функции \(y=\sqrt{x}\) относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: \(y=\sqrt{-x}\), а = - 1. Тогда \(f\left(-25\right)=\sqrt{25}\) = 5.
Ответ: 5.
Показательная функция. Необходимая теория
11. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=a^{x+b}.\) Найдите \(f\left(-7\right).\)
Решение:
График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции \(f\left(x\right)=a^{x+b},\) получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a^{-3+b}=1 \\
a^{1+b}=4 \end{array}
.\right.\)
Поделим второе уравнение на первое:
\(a^{1+b+3-b}=4; \; a^4=4;\; a=\sqrt{2}.\)
Подставим во второе уравнение:
\(\displaystyle {\sqrt{2}}^{1+b}=4;\; 2^{\frac{1+b}{2}}=2^2;\; 1+b=4;\; b=3.\)
\(\displaystyle f\left(x\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3};\; f\left(-7\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{-7+3}={\left(\sqrt{2}\right)}^{-4}=\frac{1}{4}=0,25.\)
Ответ: 0,25.
12. На рисунке изображен график функции \(y=a\cdot 4^x\). Найдите \(a.\)
Решение:
График функции \(y=a\cdot 4^x\) проходит через точку \(\left(0;2\right).\) Это значит, что \(y\left(0\right)=2;\)
\(a\cdot 4^0=2;\) \(a=2,\) формула функции имеет вид: \(y=2\cdot 4^x\).
Ответ: 2.
Логарифмическая функция. Необходимая теория
13. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)={{log}_a \left(x+b\right)}.\) Найдите \(f\left(11\right).\)
Решение:
График функции \(y={{log}_a \left(x+b\right)\ }\) проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.
\(\left\{ \begin{array}{c}
{{log}_a \left(-3+b\right)=1\ \ } \\
{{log}_a \left(-1+b\right)\ }=2 \end{array}
.\right.\)
Отсюда: \(\left\{ \begin{array}{c}
b-3=a \\
b-1=a^2 \end{array}
.\right.\)
Вычтем из второго уравнения первое:
\(a^2-a=2; a^2-a-2=0;\)
\(a=2\) или \(a=-1\) — не подходит, так как \(a \textgreater 0\) (как основание логарифма).
Тогда \(b=a+3=5;\) \(f\left(x\right)={{log}_2 \left(x+5\right)\ };\)
\(f\left(11\right)={{log}_2 16=4.}\)
Ответ: 4.
14. На рисунке изображен график функции \(f\left(x\right)=a{{log}_5 x }-c\).
Найдите f(0,2).
Решение:
График логарифмической функции на рисунке проходит через точки \(\left(1;-2\right)\) и \(\left(5;3\right)\). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a{{log}_5 1\ }-c=-2 \\
a{{log}_5 5\ }-c=3 \end{array}
;\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
-c=-2 \\
a-c=3 \end{array}
;\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
c=2 \\
a=5 \end{array}
.\right.\)
Формула функции: \(f\left(x\right)=5{{log}_5 x }-2.\)
Найдем \(\displaystyle f\left(0,2\right)=f\left(\frac{1}{5}\right)\) :
\(\displaystyle 5\cdot {{log}_5 \frac{1}{5}\ }-2=-5-2=-7.\)
Ответ: -7.
Тригонометрические функции. Необходимая теория
15. На рисунке изображён график функции \(f\left(x\right)=a{sin x\ }+b.\) Найдите \(b.\)
Решение:
График функции \(y=a{sin x+b\ }\ \) сдвинут на 1,5 вверх; \(f\left(0\right)=1,5.\) Значит, \(b=1,5.\) Амплитуда \(a=2\) (наибольшее отклонение от среднего значения).
Это график функции \(f\left(x\right)=2{sin x\ }+1,5.\) Он получен из графика функции \(y={sin x\ }\) растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на \(1,5\).
Ответ: \(b=1,5.\)
16. На рисунке изображён график функции
\(f\left(x\right)=a\ tgx+b.\)
Найдите \(a\).
Решение:
На рисунке — график функции \(f\left(x\right)=a\ tgx+b.\) Так как \(f\left(0\right)=-1,5,\) \(\ b=-1,5.\)
График функции проходит через точку A \(\displaystyle (\frac{\pi}{4}; \; \frac{1}{2}).\) Подставим \(b = - 1,5\) и координаты точки А в формулу функции.
\(\displaystyle a \ tg \frac{\pi}{4}-1,5=\frac{1}{2}.\)
Так как \(\displaystyle tg \frac{\pi}{4}=1,\) получим: \(a = 2.\)
Ответ: 2.
17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения \(f (21)- f (-9).\)
Решение:
Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если \(y\left(1\right)=2,5,\) то \(y\left(-1\right)=-2,5.\)
Пользуясь периодичностью функции \(f\left(x\right) \), период которой T = 4, получим:
\(f\left(21\right)=f\left(1+4\cdot 5\right)=f\left(1\right)=2,5;\)
\(f\left(-9\right)=f\left(-1-4\cdot 2\right)=f\left(-1\right)=-2,5;\)
\(f\left(21\right)-f\left(-9\right)=2,5-\left(-2,5\right)=5.\)
Ответ: 5.
Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
