previous arrow
next arrow
Slider

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

 

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)=kx+b. Найдите значение x, при котором f\left(x\right)=-13,5.

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}3k+b=4 \\-k+b=-3 \end{array}\right.

Вычтем из первого уравнения второе:

\left\{ \begin{array}{c}4k=7 \\-k+b=-3 \end{array};\right. \left\{ \begin{array}{c}k=\frac{7}{4} \\b=-\frac{5}{4} \end{array}\right. ;

Уравнение прямой имеет вид:

\displaystyle y=\frac{7}{4}x-\frac{5}{4}.

Найдем, при каком x значение функции равно -13,5.

\displaystyle \frac{7}{4}x-\frac{5}{4}=-13,5;

7x-5=-54;

7x=-49;

x=-7

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция y=-x+1.

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции y=kx+b.

\left\{ \begin{array}{c}-k+b=-1 \\-2k+b=4 \end{array}\right.

Вычтем из первого уравнения второе.

k=-5; тогда b=-6.

Прямая задается формулой: y=-5x-6.

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

\left\{ \begin{array}{c}y=-x+1 \\y=-5x-6 \end{array}\ ;\right.\ \begin{array}{c}-x+1=-5x-6\ ; \\x=-\frac{7}{4}=-1,75 \end{array}\

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой y=x+1, так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен \displaystyle \frac{3}{2}=1,5;

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: 1,5\cdot \left(-2\right)+b=4; b=7, эта прямая задается формулой y=1,5x+7.

Для точки пересечения прямых:

x+1=1,5x+7;

0,5x=-6;

x=-12.

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции y=ax^2+bx+c.\ Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола y={\left(x-a\right)}^2, полученная из графика функции y=x^2 сдвигом на 1 вправо, то есть a=1.

Получим: f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2=x^2-2x+1;

b=-2.

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции y={\left(x-c\right)}^2. Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при x^2\ положительный. График сдвинут относительно графика функции y=x^2 на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид y={\left(x-1\right)}^2.

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)=2x^2+bx+c. Найдите f\left(-5\right).

Решение:

График функции y=2x^2+bx+c проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

\left\{ \begin{array}{c}2+b+c=1 \\2\cdot 4-2b+c=-2 \end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}b+c=-1 \\-2b+c=-10 \end{array};\right. отсюда b=3, c=-4.

Формула функции имеет вид:

f\left(x\right)=2x^2+3x-4;

f\left(-5\right)=2\cdot 25-3\cdot 5-4=31

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций f\left(x\right)=5x+9 и g\left(x\right)=ax^2+bx+c, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции g\left(x\right)=ax^2+bx+c. График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому c=-3.

График функции g(x) проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

\left\{ \begin{array}{c}a-b-3=-3 \\4a+2b-3=3 \end{array};\right. отсюда a=b=1;

g\left(x\right)=x^2+x-3;

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B: f\left(x\right)=g(x)

5x+9=x^2+x-3;

x^2-4x-12=0;

x=-2 (это абсцисса точки A) или x=6 (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций \displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x} и g\left(x\right)=ax+b, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции \displaystyle y=\frac{k}{x} проходит через точку (2; 1); значит, \displaystyle \frac{k}{2}=1;

\displaystyle k=2,\ \; f\left(x\right)=\frac{2}{x}.

График функции g\left(x\right)=ax+b проходит через точки (2; 1) и (1; -4), a=5 — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда 5\cdot 2+b=1; b=-9.

Для точек A и B имеем: f\left(x\right)=g\left(x\right);

\displaystyle \frac{2}{x}=5x-9;

5x^2-9x-2=0;

Отсюда x=2 (абсцисса точки A) или x=-0,2 (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)=k\sqrt{x}. Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

y=k\sqrt{x}. Ее график проходит через точку (4; 5); значит, k\cdot \sqrt{4}=5; k=2,5;

f\left(x\right)=2,5\sqrt{x}. Тогда f\left(6,76\right)=2,5\cdot \sqrt{6,76}=2,5\cdot 2,6=6,5.

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции f\left(x\right)=\sqrt{ax}. Найдите f\left(-25\right).

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции y=\sqrt{x} относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: y=\sqrt{-x}, а = - 1. Тогда f\left(-25\right)=\sqrt{25} =5.

Ответ: 5

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)=a^{x+b}. Найдите f\left(-7\right).

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции f\left(x\right)=a^{x+b}, получим:

\left\{ \begin{array}{c}a^{-3+b}=1 \\a^{1+b}=4 \end{array};\right.

Поделим второе уравнение на первое:

a^{1+b+3-b}=4; \; a^4=4;\; a=\sqrt{2}.

Подставим во второе уравнение:

\displaystyle {\sqrt{2}}^{1+b}=4;\; 2^{\frac{1+b}{2}}=2^2;\; 1+b=4;\; b=3.

\displaystyle f\left(x\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3};\; f\left(-7\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{-7+3}={\left(\sqrt{2}\right)}^{-4}=\frac{1}{4}=0,25.

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции y=a\cdot 4^x. Найдите a.

Решение:

График функции y=a\cdot 4^x проходит через точку \left(0;2\right). Это значит, что y\left(0\right)=2;

a\cdot 4^0=2; a=2, формула функции имеет вид: y=2\cdot 4^x.

Ответ: 2

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)={{log}_a \left(x+b\right)}. Найдите f\left(11\right).

Решение:

График функции y={{log}_a \left(x+b\right)\ } проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

\left\{ \begin{array}{c}{{log}_a \left(-3+b\right)=1\ \ } \\{{log}_a \left(-1+b\right)\ }=2 \end{array}\right.

Отсюда: \left\{ \begin{array}{c}b-3=a \\b-1=a^2 \end{array};\right.

Вычтем из второго уравнения первое:

a^2-a=2; a^2-a-2=0;

a=2 или a=-1 — не подходит, так как a \textgreater 0 (как основание логарифма).

Тогда b=a+3=5; f\left(x\right)={{log}_2 \left(x+5\right)\ };

f\left(11\right)={{log}_2 16=4.}

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции f\left(x\right)=a{{log}_5 x }-c.

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки \left(1;-2\right) и \left(5;3\right). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

\left\{ \begin{array}{c}a{{log}_5 1\ }-c=-2 \\a{{log}_5 5\ }-c=3 \end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}-c=-2 \\a-c=3 \end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}c=2 \\a=5 \end{array}\right.

Формула функции: f\left(x\right)=5{{log}_5 x }-2.

Найдем \displaystyle f\left(0,2\right)=f\left(\frac{1}{5}\right):

\displaystyle 5\cdot {{log}_5 \frac{1}{5}\ }-2=-5-2=-7.

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции f\left(x\right)=a{sin x\ }+b. Найдите b.

Решение:

График функции y=a{sin x+b\ }\ сдвинут на 1,5 вверх; f\left(0\right)=1,5. Значит, b=1,5. Амплитуда a=2 (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции f\left(x\right)=2{sin x\ }+1,5. Он получен из графика функции y={sin x\ } растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 1,5.

Ответ: b=1,5.

16. На рисунке изображён график функции

f\left(x\right)=a\ tgx+b.

Найдите a.

Решение:

На рисунке — график функции f\left(x\right)=a\ tgx+b. Так как f\left(0\right)=-1,5, \ b=-1,5.

График функции проходит через точку A \displaystyle (\frac{\pi}{4}; \; \frac{1}{2}). Подставим b = - 1,5 и координаты точки А в формулу функции.

\displaystyle a \ tg \frac{\pi}{4}-1,5=\frac{1}{2}

Так как \displaystyle tg \frac{\pi}{4}=1, получим: a = 2.

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения f (21)- f (-9).

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если y\left(1\right)=2,5, то y\left(-1\right)=-2,5.

Пользуясь периодичностью функции f\left(x\right) , период которой T = 4, получим:

f\left(21\right)=f\left(1+4\cdot 5\right)=f\left(1\right)=2,5;

f\left(-9\right)=f\left(-1-4\cdot 2\right)=f\left(-1\right)=-2,5;

f\left(21\right)-f\left(-9\right)=2,5-\left(-2,5\right)=5.

Ответ: 5

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.