Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №11 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 11 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №11 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 11 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 11 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=kx+b$ . Найдите значение $x$ , при котором $f\left(x\right)=-13,5.$

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

$\left\{ \begin{array}{c}3k+b=4 \\-k+b=-3 \end{array}\right..$

Вычтем из первого уравнения второе:

$\left\{ \begin{array}{c}4k=7 \\-k+b=-3 \end{array};\right. \left\{ \begin{array}{c}k=\frac{7}{4} \\b=-\frac{5}{4} \end{array}\right. .$

Уравнение прямой имеет вид:

$\displaystyle y=\frac{7}{4}x-\frac{5}{4}.$

Найдем, при каком $x$ значение функции равно -13,5.

$\displaystyle \frac{7}{4}x-\frac{5}{4}=-13,5;$

$7x-5=-54;$

$7x=-49;$

$x=-7.$

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция $y=-x+1.$

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции $y=kx+b.$

$\left\{ \begin{array}{c}-k+b=-1 \\-2k+b=4 \end{array}\right. .$

Вычтем из первого уравнения второе.

$k=-5;$ тогда $b=-6.$

Прямая задается формулой: $y=-5x-6.$

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

$\left\{ \begin{array}{c}y=-x+1 \\y=-5x-6 \end{array}\ ;\right.\ \begin{array}{c}-x+1=-5x-6\ ; \\x=-\frac{7}{4}=-1,75. \end{array}\$

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой $y=x+1,$ так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен $\displaystyle \frac{3}{2}=1,5.$

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: $1,5\cdot \left(-2\right)+b=4;$ $b=7,$ эта прямая задается формулой $y=1,5x+7.$

Для точки пересечения прямых:

$x+1=1,5x+7;$

$0,5x=-6;$

$x=-12.$

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции $y=ax^2+bx+c.\$ Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола $y={\left(x-a\right)}^2,$ полученная из графика функции $y=x^2$ сдвигом на 1 вправо, то есть $a=1.$

Получим: $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2=x^2-2x+1;$

$b=-2.$

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции $y={\left(x-c\right)}^2$ . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при $x^2\$ положительный. График сдвинут относительно графика функции $y=x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид $y={\left(x-1\right)}^2$ .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=2x^2+bx+c.$ Найдите $f\left(-5\right).$

Решение:

График функции $y=2x^2+bx+c$ проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

$\left\{ \begin{array}{c}2+b+c=1 \\2\cdot 4-2b+c=-2 \end{array}\right. .$

$\left\{ \begin{array}{c}b+c=-1 \\-2b+c=-10 \end{array};\right.$ отсюда $b=3,$ $c=-4.$

Формула функции имеет вид:

$f\left(x\right)=2x^2+3x-4;$

$f\left(-5\right)=2\cdot 25-3\cdot 5-4=31.$

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций $f\left(x\right)=5x+9$ и $g\left(x\right)=ax^2+bx+c,$ которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции $g\left(x\right)=ax^2+bx+c$ . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому $c=-3.$

График функции $g(x)$ проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

$\left\{ \begin{array}{c}a-b-3=-3 \\4a+2b-3=3 \end{array};\right.$ отсюда $a=b=1;$

$g\left(x\right)=x^2+x-3;$

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B: $f\left(x\right)=g(x)$

$5x+9=x^2+x-3;$

$x^2-4x-12=0.$

$x=-2$ (это абсцисса точки A) или $x=6$ (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b$ , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ проходит через точку (2; 1); значит, $\displaystyle \frac{k}{2}=1;$

$\displaystyle k=2,\ \; f\left(x\right)=\frac{2}{x}.$

График функции $g\left(x\right)=ax+b$ проходит через точки (2; 1) и (1; -4), $a=5$ — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда $5\cdot 2+b=1;$ $b=-9.$

Для точек A и B имеем: $f\left(x\right)=g\left(x\right);$

$\displaystyle \frac{2}{x}=5x-9;$

$5x^2-9x-2=0.$

Отсюда $x=2$ (абсцисса точки A) или $x=-0,2$ (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=k\sqrt{x}$ . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

$y=k\sqrt{x}.$ Ее график проходит через точку (4; 5); значит, $k\cdot \sqrt{4}=5;$ $k=2,5;$

$f\left(x\right)=2,5\sqrt{x}.$ Тогда $f\left(6,76\right)=2,5\cdot \sqrt{6,76}=2,5\cdot 2,6=6,5.$

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=\sqrt{ax}$ . Найдите $f\left(-25\right)$ .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции $y=\sqrt{x}$ относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: $y=\sqrt{-x}$ , а = - 1. Тогда $f\left(-25\right)=\sqrt{25}$ = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=a^{x+b}.$ Найдите $f\left(-7\right).$

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции $f\left(x\right)=a^{x+b},$ получим:

$\left\{ \begin{array}{c}a^{-3+b}=1 \\a^{1+b}=4 \end{array}.\right.$

Поделим второе уравнение на первое:

$a^{1+b+3-b}=4; \; a^4=4;\; a=\sqrt{2}.$

Подставим во второе уравнение:

$\displaystyle {\sqrt{2}}^{1+b}=4;\; 2^{\frac{1+b}{2}}=2^2;\; 1+b=4;\; b=3.$

$\displaystyle f\left(x\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3};\; f\left(-7\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^{-7+3}={\left(\sqrt{2}\right)}^{-4}=\frac{1}{4}=0,25.$

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции $y=a\cdot 4^x$ . Найдите $a.$

Решение:

График функции $y=a\cdot 4^x$ проходит через точку $\left(0;2\right).$ Это значит, что $y\left(0\right)=2;$

$a\cdot 4^0=2;$ $a=2,$ формула функции имеет вид: $y=2\cdot 4^x$ .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)={{log}_a \left(x+b\right)}.$ Найдите $f\left(11\right).$

Решение:

График функции $y={{log}_a \left(x+b\right)\ }$ проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

$\left\{ \begin{array}{c}{{log}_a \left(-3+b\right)=1\ \ } \\{{log}_a \left(-1+b\right)\ }=2 \end{array}.\right.$

Отсюда: $\left\{ \begin{array}{c}b-3=a \\b-1=a^2 \end{array}.\right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

$a^2-a=2; a^2-a-2=0;$

$a=2$ или $a=-1$ — не подходит, так как $a \textgreater 0$ (как основание логарифма).

Тогда $b=a+3=5;$ $f\left(x\right)={{log}_2 \left(x+5\right)\ };$

$f\left(11\right)={{log}_2 16=4.}$

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=a{{log}_5 x }-c$ .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки $\left(1;-2\right)$ и $\left(5;3\right)$ . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c}a{{log}_5 1\ }-c=-2 \\a{{log}_5 5\ }-c=3 \end{array};\right.$

$\left\{ \begin{array}{c}-c=-2 \\a-c=3 \end{array};\right.$

$\left\{ \begin{array}{c}c=2 \\a=5 \end{array}.\right.$

Формула функции: $f\left(x\right)=5{{log}_5 x }-2.$

Найдем $\displaystyle f\left(0,2\right)=f\left(\frac{1}{5}\right)$ :

$\displaystyle 5\cdot {{log}_5 \frac{1}{5}\ }-2=-5-2=-7.$

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции $f\left(x\right)=a{sin x\ }+b.$ Найдите $b.$

Решение:

График функции $y=a{sin x+b\ }\$ сдвинут на 1,5 вверх; $f\left(0\right)=1,5.$ Значит, $b=1,5.$ Амплитуда $a=2$ (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции $f\left(x\right)=2{sin x\ }+1,5.$ Он получен из графика функции $y={sin x\ }$ растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на $1,5$ .

Ответ: $b=1,5.$

16. На рисунке изображён график функции

$f\left(x\right)=a\ tgx+b.$

Найдите $a$ .

Решение:

На рисунке — график функции $f\left(x\right)=a\ tgx+b.$ Так как $f\left(0\right)=-1,5,$ $\ b=-1,5.$

График функции проходит через точку A $\displaystyle (\frac{\pi}{4}; \; \frac{1}{2}).$ Подставим $b = - 1,5$ и координаты точки А в формулу функции.

$\displaystyle a \ tg \frac{\pi}{4}-1,5=\frac{1}{2}.$

Так как $\displaystyle tg \frac{\pi}{4}=1,$ получим: $a = 2.$

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения $f (21)- f (-9).$

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если $y\left(1\right)=2,5,$ то $y\left(-1\right)=-2,5.$

Пользуясь периодичностью функции $f\left(x\right)$ , период которой T = 4, получим:

$f\left(21\right)=f\left(1+4\cdot 5\right)=f\left(1\right)=2,5;$

$f\left(-9\right)=f\left(-1-4\cdot 2\right)=f\left(-1\right)=-2,5;$

$f\left(21\right)-f\left(-9\right)=2,5-\left(-2,5\right)=5.$

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задание 11 ЕГЭ по математике. Графики функций

Это полезно