В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №11 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.
Как формулируется задание 11 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.
Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.
Вот необходимая теория для решения задания №11 ЕГЭ.
5 типов элементарных функций и их графики
Преобразование графиков функций
Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 11 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.
Рекомендации:
Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)
Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?
Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.
Задание 11 в формате ЕГЭ-2021
Линейная функция
1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение
, при котором
Решение:
Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Уравнение прямой имеет вид:
Найдем, при каком значение функции равно -13,5.
Ответ: -7.
2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Запишем формулы функций.
Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция
Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции
Вычтем из первого уравнения второе.
тогда
Прямая задается формулой:
Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:
Ответ: -1,75.
3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).
Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен
Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому:
эта прямая задается формулой
Для точки пересечения прямых:
Ответ: -12.
Квадратичная функция. Необходимая теория
4. На рисунке изображен график функции Найдите b.
Решение:
На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции
сдвигом на 1 вправо, то есть
Получим:
Ответ: -2.
5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.
Решение:
На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции
на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид
.
Значит, с = 1.
Ответ: 1
6. На рисунке изображён график функции Найдите
Решение:
График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:
отсюда
Формула функции имеет вид:
Ответ: 31.
7. На рисунке изображены графики функций и
которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому
График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:
отсюда
Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:
(это абсцисса точки A) или
(это абсцисса точки B).
Ответ: 6.
Степенные функции. Необходимая теория
8. На рисунке изображены графики функций и
, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.
Решение:
График функции проходит через точку (2; 1); значит,
График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4),
— угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда
Для точек A и B имеем:
Отсюда (абсцисса точки A) или
(абсцисса точки B).
Ответ: -0,2.
9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).
Решение:
Функция задана формулой:
Ее график проходит через точку (4; 5); значит,
Тогда
Ответ: 6,5.
10. На рисунке изображен график функции . Найдите
.
Решение:
График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции:
, а = - 1. Тогда
= 5.
Ответ: 5.
Показательная функция. Необходимая теория
11. На рисунке изображён график функции Найдите
Решение:
График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:
Поделим второе уравнение на первое:
Подставим во второе уравнение:
Ответ: 0,25.
12. На рисунке изображен график функции . Найдите
Решение:
График функции проходит через точку
Это значит, что
формула функции имеет вид:
.
Ответ: 2.
Логарифмическая функция. Необходимая теория
13. На рисунке изображён график функции Найдите
Решение:
График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.
Отсюда:
Вычтем из второго уравнения первое:
или
— не подходит, так как
(как основание логарифма).
Тогда
Ответ: 4.
14. На рисунке изображен график функции .
Найдите f(0,2).
Решение:
График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и
. Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:
Формула функции:
Найдем :
Ответ: -7.
Тригонометрические функции. Необходимая теория
15. На рисунке изображён график функции Найдите
Решение:
График функции сдвинут на 1,5 вверх;
Значит,
Амплитуда
(наибольшее отклонение от среднего значения).
Это график функции Он получен из графика функции
растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на
.
Ответ:
16. На рисунке изображён график функции
Найдите .
Решение:
На рисунке — график функции Так как
График функции проходит через точку A Подставим
и координаты точки А в формулу функции.
Так как получим:
Ответ: 2.
17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения
Решение:
Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то
Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:
Ответ: 5.
Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023