Часть 1. Задания с кратким ответом.
1. По данным Мониторинга качества приема в вузы России1 на «бюджетные» места в вузы в 2018 году зачислена 291 тыс. чел., на платные — 200 тыс. чел. Сколько процентов составляла доля «бюджетных» мест от общего приема в вузы? Ответ округлите до десятых долей процента.
2. На диаграмме показано распределение всех зачисленных на бюджетные и платные места по группам направлений (по данным упомянутого выше мониторинга). Сколько тысяч выпускников поступили в 2018 году на социально-экономические направления?
3. Авторская задача. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник ABCDEF, если абсцисса точки А равна 1, абсцисса точки D равна \( 1\ +\ 2\sqrt{3}\), ординаты точек А и D равны.
4. Для поступления в университет на «бюджетное» отделение необходимо набрать не менее 80 баллов по каждому из трех предметов: русский, математика, физика (специальность «Строительство») или русский, математика, английский (специальность «Туризм»).
Василий готовится к ЕГЭ по математике, физике, русскому и английскому. Написав несколько пробных ЕГЭ по каждому предмету, Василий выяснил, что получает по математике и русскому языку не менее 80 баллов с вероятностью 0,8. По английскому языку вероятность получить не менее 80 баллов равна 0,4. По физике Василий получает на пробных ЕГЭ выше 80 баллов с вероятностью 0,9.
С какой вероятностью Василий сможет поступить на «бюджет» хотя бы на одну из выбранных специальностей?
5. Решите уравнение: \({log}_2(x^2-6)=\ {log}_2x\)
В ответ запишите меньший корень.
6. Авторская задача. Окружность вписана в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 7 см и АС = 24 см. Найдите радиус окружности. Ответ выразите в сантиметрах.
7. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) — производной функции \(y = f(x)\). Сколько точек экстремума функции \(y = f(x)\) расположено на отрезке [-4; 2] ?
8. Найдите объем пирамиды SCBE, являющейся частью правильной пирамиды SABCD, если ребро основания АВ = 4 и боковое ребро \({\rm SA}\ =\ 2\sqrt{11}\), точка Е — середина АВ.
9. Найдите значение выражения: \(\frac{{\left(\sqrt{3}a\right)}^2\sqrt[5]{a^3}}{a^{2,6}}\) при 
10. В электрическом обогревателе с неизменным сопротивлением R нагревательного элемента, через который течёт постоянный ток, за время t выделяется количество теплоты \(Q=I^2Rt\). Во сколько раз увеличится количество выделяемой теплоты, если силу тока I и время работы обогревателя t увеличить вдвое?
11. Авторская задача. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?
12. Найдите точку минимума функции \(y=-\frac{x}{x^2+676}\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
13. Дано уравнение \(|sin\ x|\ =\ cos\ x\)
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни уравнения на интервале \([0;\ 2 \pi].\)
14. Основанием прямой треугольной призмы \({ABCA}{}_{1}\) \({B}{}_{1}\) \({C}{}_{1}\) является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые \({CA}{}_{1}\) и \({AB}{}_{1}\) перпендикулярны.
а) Докажите, что\(AA_1=AC.\)
б) Найдите расстояние между прямыми \({CA}{}_{1}\) и \({AB}{}_{1}\), если \({AC}=6\),\({BC}=3\).
15. Решите неравенство:
\(\frac{{log}_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{x^{15}}\right)-2}{{log}_{125}x^{12}}\le 4-\frac{7}{{log}_x5} \)
16. Авторская задача Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой р в точках А и В соответственно. Прямая MN пересекает отрезок АВ в точке К.
а) Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.
б) Найдите АК, если расстояние между центрами окружностей равно 17, а их радиусы равны 20 и 5.
17. При изготовлении n единиц товара в месяц расходы фирмы на выпуск одной единицы товара составляют не менее \(\frac{{\rm 13500}}{n}\ +90-|30-\frac{{\rm 13500}}{n}|\) тыс. рублей, а цена реализации каждой единицы товара не превосходит \(180-0,1n\ \ \) тыс. рублей, причем производство является прибыльным. При каком объеме производства (в единицах товара в месяц) фирма может получить наибольшую прибыль?
18 Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение \({\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }\) имеет единственное решение на отрезке \([0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]\).
19. На доске написаны 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор
1Мониторинг проводился ВШЭ, при участии Министерства просвещения РФ, Рособрнадзора, а также компании Яндекс: https://ege.hse.ru/stata_2018_all
