Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Программа ЕГЭ по информатике — Разбор задач и материалы > Задание №14 на ЕГЭ по информатике. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Задание №14 на ЕГЭ по информатике. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Автор - Лада Борисовна Есакова.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, $212_{3} = 2+1*3+2*3^{2} = 23_{10}$ . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = $12_{3}$ ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число $10^{5}$ = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, $2^{4}=16_{10}=10000_{2}$ .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда $27=30_{x}=0 \cdot x^{0}+3 \cdot x^{1}=3 \cdot x$ .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда $13 = 111_{x} = 1*x^{0} + 1*x^{1} +1*x^{2}$

$x^{2}+x+1 = 13$

$x^{2}+x-12 = 0$

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

$25_{10} = 121_{4}$ . Т.е. нам нужно найти все числа, не больше $121_{4}$ , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа $11_{4}$ и $111_{4}$ . Переводим их в десятичную систему счисления:

$11_{4}=1*4^{0}+1*4^{1}=5_{10}$

$111_{4}=1*4^{0}+1*4^{1}+1*4^{2}=21_{10}$

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение: $121_{x}+1_{10}=101_{7}$

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

$121_{x}+1_{10}=10_{17}$ Переведем все числа в десятичную систему счисления:

$1*x^{0}+2*x^{1}+1*x^{2}+1=1*7^{0}+0*7^{1}+1*7^{2}$

$1 + 2*x + x^{2} + 1 = 1 + 49$

$x^{2} + 2*x- 48=0$

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. $x=6_{10}$ (т.к. основание системы не может быть отрицательным). $x=6_{10}=20_{3}$ .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: $4^{2020} + 2^{2017} -15$ ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

$4^{2020} + 2^{2017} -15=2^{4040}+2^{2017}-2^{4}+2^{0}$

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя $4^{4040}$ и $2^{2017}$ , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

5. Подсчет количества цифр в произвольной системе счисления

Пример 8
Результат выражения $3\cdot 16^{2018}-2\cdot 8^{1028}-3\cdot 4^{1100}-2^{1050}-2022$ записали в 4-ричной системе счисления. Сколько троек в полученной записи?

Решение:
Мы будем решать такие задачи программно.
Используем язык Python, т.к. на других языках может произойти переполнение данных.
Перепишем условие задачи:

Формируем пустую строку, и пока x≠0, приписываем последнюю цифру, как остаток деления на 4, так как все происходит в четверичной системе. Число x делим нацело на 4, пока оно не станет равным нулю. Другими словами, разбираем число по цифрам. Затем переворачиваем запись и считаем тройки.

Очень простая программа.
Ответ: 4027
У этого способа есть плюсы и минусы.
С «плюсами» вы знакомы, а с «минусами» познакомимся на примере второй задачи.

Пример 9

Значение выражения: $3\cdot 729^{160}+5\cdot 81^{250}+7\cdot 9^{15}-83$ записали в системе счисления с основанием 81. Сколько нулей содержится в этой записи?
Решение:
Поскольку система счисления 81 двузначная, то остатки от деления на 81 тоже могут быть двузначными. Если мы будем действовать так же, как в примере 8, то, например, остаток 70 в строке sбудет записан двумя цифрами “7” и “0”, и функция s.count(“0”) посчитает этот “0”, хотя это не правильно.
Шаблон из примера 8 хорошо работает, когда речь идет о системе исчислений ≤10. Там обычные и привычные цифры.
А как правильно? Поменяем немного текст программы. Проанализируем остаток от деления. Берем число x, делим его на 81 и смотрим, равен остаток нулю или нет. Если равен, то счетчик увеличиваем на единицу и само число делим на 81. Вся разница в том, что мы общаемся с x как с числом, а не как со строкой.

Ответ: 241

Сделаем два вывода:
- не используем шаблон бездумно
- обращаемся с числом как с числом, а не как со строкой

Пример 10

Значение выражения Значение выражения $5\cdot 343^8+ 4\cdot 49^{12}+7^{14}-98$ записали в системе счисления с основанием 7 без незначащих нулей. Какая цифра чаще всего встречается в этой записи?

Решение:
Вспомним, что в системе счисления с основанием 7 в записи числа используются цифры от 0 до 6. Для подсчета количества этих цифр можно использовать список

Ответ: 0

6. Операции в разных системах счисления с неизвестными цифрами

Перейдем к более сложным задачам нового типа. Их можно решить без компьютера, но легче и быстрее сделать это программным методом.

Пример 11

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $9:88x4x_{9} + 7x344_{9}$ . В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита девятеричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 67. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 67 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:
Мы не будем работать со строками. Переведем число в десятичную системуи будем работать с ним как с числом.
Нам потребуется перебрать все варианты цифры x. А какие это варианты? $0 \leq x \leq 8$ Запишем данное число в десятичной системе счисления

$88x4x_{9} + 7x344_{9}=8\cdot 9^4+8\cdot 9^3+x\cdot 9^2+4\cdot 9+x+7\cdot 9^4+x\cdot 9^3+3\cdot 9^2+4\cdot 9+4$
и в цикле проверяем его делимость на 67.

xкак число перебираем от 0 до 8. И если делимость есть, то выводим частное от деления.
Ответ: 1597

Пример 12

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $123x5_{15} + 1x233_{15}$ В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:

Наименьшее – 8767
Можно также вывести и при каких x будут такие значения. Просто из любопытства.

Ответ: 8767

Следующая задача точно такая же, но только там нам встречаются буквы. Что такое буквы? Это те же самые цифры, когда у нас стандартные цифры закончились. У нас в этой задаче будет 16-ричная система.

Пример 13

В выражении $1xBAD_{16} + 2CxFE_{16} x$ обозначает некоторую цифру из алфавита шестнадцатеричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 15. Для найденного x вычислите частное от деления данного выражения на 15 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

Решение:
Заметим, что А – это 10, В – это 11, С – это 13 и т.д.
В итоге получим следующую программу:

Ответ: 18341

Пример 14

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основаниями 15 и 13: $4Cx4_{15}+x62A_{13}$ . В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита десятичной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 121. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 121 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:
Заметим, что переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита десятичной системы счисления, поэтому перебирать будем значения от 0 до 9.

Ответ: 234

Пример 15

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основаниями 16 и 14: $3D4x_{16} + 4xC4_{14}$ . В записи чисел переменной x обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 154. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 154 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:
Каждое из слагаемых в разных системах. Вопрос- какие x брать?Цифра должна присутствовать в обеих системах. Поэтому перебирать мы будем $0 \leq x\leq 13$

Выводим результат:

Ответ: 187

Пример 16

Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями 9 и 11: 88x4y9 + 7x44y11. В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наименьшим и кратно 61. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 61 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение:
Это интересная задача. Тут присутствуют x и y, и системы у нас 9-тиричная и 11-тиричная.
Что делать? Будем перебирать все x и все y. Будет система в системе.
В каком интервале перебирать? Поскольку и x, и y присутствуют в обеих системах, то перебирать будем от 0 до 8.
Будьте внимательны! Делаем цикл в цикле!

Выводим результат:

Пример 17

Числа M и N записаны в системе счисления с основанием 9 соответственно. $M = 842x5_{9}$ , $N = 8x725_{9}$ . В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита девятеричной системы счисления. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существует такой x, что M + A кратно N.

Решение:
С x все понятно. Мы перебираем xот 0 до 8.
А вот А – натуральное! Следовательно, A≥1
Если мы цикл сначала делаем по x, а потом по A, это значит мы нашли наименьший x. А нам надо найти наименьшее А.
Будьте внимательны!
Сначала цикл должен быть по А, а потом по x. И не забываем, что А – натуральное!

Выводим результат:

Если А будет меньше, например до 50, то результата не будет. Чтобы не прогадать с диапазоном, можно сразу указать достаточно большой диапазон.

Если указать очень большую границу для А (например, 5000), то получится много ответов, и можно будет выбрать наименьший.

Ответ: 387

Пример 18

Числа M и N записаны в системе счисления с основанием 14 соответственно. $M = 8x12x_{14}$ , $N = 8x542_{14}$ . В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита четырнадцатеричной системы счисления. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существует такой x, что M + A кратно N.

Решение:

Выводим результат:

Нас просят указать наименьшее, поэтому ответ 801.
Ответ: 801

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание №14 на ЕГЭ по информатике. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 13.09.2023

Задание №14 на ЕГЭ по информатике. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Это полезно