Задача №2. Построение таблиц истинности логических выражений. Выбор выражения, соответствующего условию.

Автор материалов - Лада Борисовна Есакова.

В компьютере вся информация представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Собственно, и цифр как таковых у компьютера нет, а есть электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным проводникам (шинам) компьютера, который может принимать значения “высокий уровень электрического напряжения” (принимаемый нами за 1) и “низкий уровень электрического напряжения” (принимаемый за 0). Для различных действий над этими нулями и единичками нам необходимы специальные операции, которые работают с двоичными переменными.  Такие операции называются логическими операциями.

Логические операции и их аргументы принимают только два значения: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”).

Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных.

Количество строк в таблице истинности выражения от N переменных равно 2^N.

Основные логические операции:

1). Логическое умножение (конъюнкция, логическое И). Обозначается:  AND, &, /\.

Таблица истинности:

2). Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ). Обозначается:  OR, |, \/.

Таблица истинности:

3). Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ). Обозначается: NOT, ¬, .

Таблица истинности:

4). Логическое следование (импликация). Обозначается: →.

Таблица истинности:

5). Логическое равенство (эквивалентность). Обозначается: ↔, ~.

Таблица истинности:

Порядок (приоритет) выполнения логических операций:

Если в выражении нет скобок, то операции выполняются в следующем порядке:

-          Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ);

-          Логическое умножение (конъюнкция, логическое И);

-          Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ);

-          Логическое следование (импликация);

-          Логическое равенство (эквивалентность).

Выбор выражения по таблице истинности

Пример 1.

Дан фраг­мент таб­ли­цы ис­тин­но­сти вы­ра­же­ния F:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) (x1 ∧ x2) ∨ (x3 ∧ x4) ∨ (x5 ∧ x6)

2) (x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x5) ∨ (x5 ∧ x1)

3) (x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2)

4) (x1 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ x5) ∨ (x3 ∧ x6)

Решение:

Все пред­став­лен­ные ва­ри­ан­ты от­ве­та — дизъ­юнк­ции трёх конъ­юнк­ций. Все зна­че­ния F в таблице равны нулю. Дизъ­юнк­ция равна нулю, когда все слагаемые равны нулю.

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1) В пер­вой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x2=1, зна­чит x1∧x2=1. Выражение не подходит.

2) Во вто­рой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x3=1, зна­чит x1∧x3=1. Выражение не подходит.

3) Подставим в третье выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Вторая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Третья строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Выражение подходит.

4) В тре­тьей стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x4=1, зна­чит x1∧x4=1. Выражение не подходит.

Ответ:3

Пример 2.

Для таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции F из­вест­ны зна­че­ния толь­ко не­ко­то­рых ячеек:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7

4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

Решение:

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. В первой строке x6 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

2)      Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. Подставим во второе выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0  ∨ ¬x5 ∨ 0 ∨ ¬x7 может принимать значение 1, если хотя бы один из операндов равен 1.

Вторая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 1 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ 1 = 1

Третья строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 может принимать значение 0, если все остальные операнды равны 0.

3)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. Во второй строке x4 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

4)     Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. В третьей строке x4 = 1, значит и все выражение F равно 1,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

Ответ:2

Пример 3.

Логическая функция F задаётся выражением (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

Выражение (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y яв­ля­ет­ся дизъ­юнк­ци­ей двух конъ­юнк­ций:

((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y) . В обеих конъюнкциях присутствует x. Т. е. при x = 0 все выражение равно 0. Это выполняется только при Перем.3 = x.

Выражение равно 1, если x =1 и выполняется хотя бы одно из условий: y = 1 или z = 0. Из четвертой строки следует, что Перем.1 = z, а Перем.2 = y.

Ответ: zyx