Задача №2. Построение таблиц истинности логических выражений. Выбор выражения, соответствующего условию.
Автор материалов - Лада Борисовна Есакова.
В компьютере вся информация представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Собственно, и цифр как таковых у компьютера нет, а есть электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным проводникам (шинам) компьютера, который может принимать значения “высокий уровень электрического напряжения” (принимаемый нами за 1) и “низкий уровень электрического напряжения” (принимаемый за 0). Для различных действий над этими нулями и единичками нам необходимы специальные операции, которые работают с двоичными переменными. Такие операции называются логическими операциями.
Логические операции и их аргументы принимают только два значения: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”).
Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных.
Количество строк в таблице истинности выражения от N переменных равно 2N.
Основные логические операции:
1). Логическое умножение (конъюнкция, логическое И). Обозначается: AND, &, /\.
Таблица истинности:
A
|
B
|
А&В
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2). Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ). Обозначается: OR, |, \/.
Таблица истинности:
A
|
B
|
A \/ B
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
3). Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ). Обозначается: NOT, ¬,
.
Таблица истинности:
4). Логическое следование (импликация). Обозначается: →.
Таблица истинности:
A
|
B
|
A → B
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
5). Логическое равенство (эквивалентность). Обозначается: ↔, ~.
Таблица истинности:
A
|
B
|
A ~ B
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Порядок (приоритет) выполнения логических операций:
Если в выражении нет скобок, то операции выполняются в следующем порядке:
- Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ);
- Логическое умножение (конъюнкция, логическое И);
- Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ);
- Логическое следование (импликация);
- Логическое равенство (эквивалентность).
Выбор выражения по таблице истинности
Пример 1.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
F
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
Каким выражением может быть F?
1) (x1 ∧ x2) ∨ (x3 ∧ x4) ∨ (x5 ∧ x6)
2) (x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x5) ∨ (x5 ∧ x1)
3) (x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2)
4) (x1 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ x5) ∨ (x3 ∧ x6)
Решение:
Все представленные варианты ответа — дизъюнкции трёх конъюнкций. Все значения F в таблице равны нулю. Дизъюнкция равна нулю, когда все слагаемые равны нулю.
Рассмотри поочерёдно все четыре выражения.
1) В первой строке таблицы x1=1 и x2=1, значит x1∧x2=1. Выражение не подходит.
2) Во второй строке таблицы x1=1 и x3=1, значит x1∧x3=1. Выражение не подходит.
3) Подставим в третье выражение поочередно значения всех строк таблицы:
Первая строка
(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Вторая строка
(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Третья строка
(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Выражение подходит.
4) В третьей строке таблицы x1=1 и x4=1, значит x1∧x4=1. Выражение не подходит.
Ответ:3
Пример 2.
Для таблицы истинности функции F известны значения только некоторых ячеек:
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
F
|
|
|
|
1
|
|
0
|
|
1
|
|
|
|
0
|
|
|
0
|
1
|
0
|
|
|
1
|
|
|
|
0
|
Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7
4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7
Решение:
Рассмотри поочерёдно все четыре выражения.
1) Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. В первой строке x6 = 0, а значит и все выражение F равно нулю, что не соответствует таблице истинности.
2) Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. Подставим во второе выражение поочередно значения всех строк таблицы:
Первая строка
x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0 ∨ ¬x5 ∨ 0 ∨ ¬x7 может принимать значение 1, если хотя бы один из операндов равен 1.
Вторая строка
x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 1 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ 1 = 1
Третья строка
x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 может принимать значение 0, если все остальные операнды равны 0.
3) Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. Во второй строке x4 = 0, а значит и все выражение F равно нулю, что не соответствует таблице истинности.
4) Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. В третьей строке x4 = 1, значит и все выражение F равно 1, что не соответствует таблице истинности.
Ответ:2
Пример 3.
Логическая функция F задаётся выражением (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1
|
Перем. 2
|
Перем. 3
|
Функция
|
???
|
???
|
???
|
F
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
Выражение (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y является дизъюнкцией двух конъюнкций:
((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y) . В обеих конъюнкциях присутствует x. Т. е. при x = 0 все выражение равно 0. Это выполняется только при Перем.3 = x.
Выражение равно 1, если x =1 и выполняется хотя бы одно из условий: y = 1 или z = 0. Из четвертой строки следует, что Перем.1 = z, а Перем.2 = y.
Ответ: zyx
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача №2. Построение таблиц истинности логических выражений. Выбор выражения, соответствующего условию.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.05.2023