Задание 18 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.
Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.
Начнем с хорошей новости. Задача 18 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.
Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 18 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
2. Преобразование графиков функций.
3. Построение графиков функций.
4. «Базовые» элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.
5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.
Графический метод — хороший, но не единственный.
Потому что, кроме него, есть и другие:
«Базовые» элементы для решения задач с параметрами
Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Графический метод решения задач с параметрами
Графический метод в задачах с параметрами. Как правильно оформить решение.
Геометрический метод в задачах с параметрами
Метод областей в задачах с параметрами
Задачи с параметрами. Условия касания.
Тригонометрия в задачах с параметрами.
Задачи с параметрами. Использование четности функций.
Метод симметрии в задачах с параметрами.
Метод оценки в задачах с параметрами
Аналитический метод в задачах с параметрами
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
Задачи с параметрами. Использование свойств функций: непрерывность, монотонность, нечетность.
Задачи с параметрами. Метод упрощающего значения.
Вот пример решения и оформления задачи с параметром
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18
Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.
1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 18, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.
2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.
3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:
- Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.
- Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.
4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:
Задача 1. При каких значениях a системы \( \left\{ \begin{array}{c}
sin\left(x+y\right)=0, \\
x^2+y^2=a \end{array}
\right.\) и \( \left\{ \begin{array}{c}
x+y=0, \\
x^2+y^2=a \end{array}
\right.\) равносильны?
Решение:
Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.
1) При \(a < 0\) — системы равносильны, так как обе не имеют решений.
2) При \(a=0\) — второе уравнение имеет решение \((0; 0),\) которое является решением первой системы.
3) При \( a > 0. \)
Система уравнений
Уравнение \(x^2+y^2=a\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{a}.\)
Решениями системы:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y=0, \\
x^2+y^2=a \end{array}
\right. \)
являются две точки, в которых прямая \(y=-x\) пересекает окружность, заданную уравнением \(x^2+y^2=a.\)
А вот уравнение \(x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ }\) задает семейство параллельных прямых \(y=-x+ \pi n,\ n\in {\mathbb Z}.\)
Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением \(x^2+y^2=a\), пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую \(y=-x\), и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ }, \\
x^2+y^2=a. \end{array}
\right. \)
Меняя параметр \(a\), мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса \(\sqrt{a}\) не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой \(y=-x\), то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку \(A\) на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку \(B\).
Когда же происходит касание в точках \(A\) и \(B\)?
В случае касания радиус окружности \(\sqrt{a}=OA=\displaystyle \frac{ \pi }{\sqrt{2}}, \sqrt{a}=\displaystyle \frac{ \pi }{\sqrt{2}}.\) Мы легко находим это из прямоугольного треугольника \(COA\), где \(O\) — начало координат.
Значит, в случае касания \(a=\displaystyle \frac{ \pi ^2}{2}\), а если \(a < \displaystyle \frac{ \pi ^2}{2}\) — касания не происходит.
Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если \(a\in \left(-\infty ;\, \displaystyle \frac{ \pi ^2}{2}\right).\)
Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:
Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра \(b\ > \ 0\), что система уравнений \(\left\{\ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2}=0\ \ \\
{\left(x-a\right)}^2+\ {\left(y-a\right)}^2=\ b^2 \end{array}
\right. \) имеет ровно три различных решения?
Вот решение этой задачи.
Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!
