previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18. Задача с параметрами — профильный ЕГЭ по математике

Задание 18 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 18 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 18 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

- Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

- Задачи с параметрами. Условия касания

- Метод оценки в задачах с параметрами

- Использование четности функций в задачах с параметрами

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 18, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

- Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

- Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы \left\{ \begin{array}{c}sin\left(x+y\right)=0 \\x^2+y^2=a \end{array}\right. и \left\{ \begin{array}{c}x+y=0 \\x^2+y^2=a \end{array}\right. равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При a \textless 0 — системы равносильны, так как обе не имеют решений

2) При a=0 — второе уравнение имеет решение (0;0), которое является решением первой системы.

3) При a \textgreater 0

Система уравнений

Уравнение x^2+y^2=a задает окружность с центром в начале координат и радиусом \sqrt{a}.

Решениями системы

\left\{ \begin{array}{c}x+y=0 \\x^2+y^2=a \end{array}\right.

являются две точки, в которых прямая y=-x пересекает окружность, заданную уравнением x^2+y^2=a.

А вот уравнение x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ } задает семейство параллельных прямых y=-x+ \pi n,\ n\in {\mathbb Z}.

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением x^2+y^2=a, пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую y=-x, и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

\left\{ \begin{array}{c}x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ } \\x^2+y^2=a \end{array}\right.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса \sqrt{a} не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой y=-x, то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности \sqrt{a}=OA=\frac{ \pi }{\sqrt{2}}, \sqrt{a}=\frac{ \pi }{\sqrt{2}}. Мы легко находим это из треугольника прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания a=\frac{ \pi ^2}{2}, а если a \textless \frac{ \pi ^2}{2} — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если a\in \left(-\infty ;\, \frac{ \pi ^2}{2}\right).

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра b\ \textgreater \ 0, что система уравнений \left\{\ \begin{array}{c}\frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2}=0\ \ \\{\left(x-a\right)}^2+\ {\left(y-a\right)}^2=\ b^2 \end{array}\right.  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!