Пробный вариант ЕГЭ по математике (Вариант 2)

1. Цена билета на одну поездку в московском метро на 15 мая 1998 года составляла 2 рубля, а на 15 мая 2008 года 19 рублей. На сколько процентов поднялась за эти десять лет цена билета на одну поездку?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

2. На графике показан ВВП Египта в долларах США по годам. Сколько лет за период с 1991-го по 2001-й годы включительно наблюдался спад ВВП Египта по отношению к предыдущему году?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

3. Найти площадь четырехугольника \(ABCD\), если его вершины имеют координаты \(A(1;1), \ B(-3;2), \ C(3;1) \) и \(D(2;-2).\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

4. Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

5. Решить уравнение: \(9^{3-x}=27^{x+1}.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

6. В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90°, \ AC=14, \ AB=50.\) Найти расстояние между точкой \(C\) и прямой \(AB.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

7. Прямая \(y=ax\) является касательной к графику функции \(y=x^{2}+1\), причем абсцисса точки касания меньше нуля. Найдите значение \(a\).

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

8. В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) точка \(E\) – середина ребра \(AB\), боковое ребро \(SC\) равно 4, длина отрезка \(SE\) равна \(\sqrt{10}\). Найти объем пирамиды \(SABCD.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

9. Найдите \(sin\alpha\), если известно, что \(ctg\alpha =-0,75\) и \(2\pi <\alpha <3\pi. \)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

10. Дальность полета \(L\) мяча, брошенного под углом \(\alpha\)  (\(0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}\)) к горизонту, зависит от начальной скорости \(v_{0}\) и угла \(\alpha\) по закону \(L=0,1v_{0}^{2}sin2\alpha \), где \(L\) измеряется в метрах, а \(v_{0}\) в метрах в секунду. Определить, при каком максимальном значении \(\alpha\) дальность полета будет не меньше 5 метров, если начальная скорость мяча составляет 10 метров в секунду. Ответ дать в градусах.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

11. Иванов, Петров и Кошкин работают малярами. Иванов и Петров вдвоем покрасят один забор за 40 минут рабочего времени, Иванов и Кошкин вдвоем покрасят один забор за 50 минут рабочего времени, все три маляра вместе покрасят 17 заборов за 10 часов рабочего времени. Сколько заборов покрасят за 10 часов рабочего времени вдвоем Петров и Кошкин?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

12. Найдите наибольшее значение функции \(y=x^3+\displaystyle \frac{243}{x} \) на отрезке \([2;4].\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

13. Авторская задача.
а) Решите уравнение: \(5(1-tg^{2}x)+(12sin x-7)(1+tg^{2}x)=0.\)

б) Найдите все его решения на отрезке \([-2π; 0].\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

14. Все ребра правильной треугольной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(A A_{1}\) и \(A_{1} C_{1}\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_{1}\).

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

15. Решите неравенство: \(\left(\displaystyle \frac{1}{x^2-7x+12}+\frac{x-4}{3-x}\right )\sqrt{6x-x^2}\leq 0.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

16. В треугольнике \(ABC\) точки \(A_{1}, \ B_{1}\) и \(C_{1}\) — середины сторон \(BC, \ AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC=60^{\circ}, \ \angle BCA=45^{\circ}.\)

а) Докажите, что точки \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) и \(H\) лежат на одной окружности.

б) Найдите \(A_{1}H\), если \(BC = 2\sqrt{ 3}.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере \(S\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным \(S\) тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

18. Авторская задача. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений

\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1,\\
x^2+y^2\leq 2,\\
(x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}
a
\end{vmatrix}
\end{matrix}\right. \) имеет единственное решение?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

19. (ЕГЭ-2017)  На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.