Пробный вариант ЕГЭ по математике (Вариант 4)

1. Бегун пробежал 450 метров за 50 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ дайте в километрах в час.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

2. На графике показано изменение напряжения на батарейке (в вольтах) в зависимости от времени её использования в фонарике. На оси абсцисс откладываются часы и минуты, на оси ординат — напряжение в вольтах. Известно, что фонарик работает только при напряжении, большем 0,9 В. Сколько минут проработает фонарик на этой батарейке?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (9;2), (9;4), (1;9).

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

4. Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3? Ответ округлите до сотых.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

5. Решите уравнение: \(\sqrt{6+5x}=x \).
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

6. Высота, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки 1 и 4. Найдите эту высоту.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

7. На рисунке изображены график функции y=f (x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции f(x)в точке \(x_0\).

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки \( A,B,C,A_1,C_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1 B_1 C_1\), площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

9. Найдите значение выражения \(x+\sqrt{x^2-4x+4 }\) при x≤2.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с.
На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

11. Катер проходит 70 километров вниз по течению реки на 4 часа быстрее, чем против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/час.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

12. Найдите наибольшее значение функции \( f(x)=3x^5-20x^3-54\) на отрезке [-4; -1].
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

13. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\pi ;\frac{5\pi }{2}].\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

14. Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \(\sqrt 6\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

15. .
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

16. Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

17. Герасим взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

19. Четырёхзначное натуральное число делится на 4, а сумма цифр этого числа равна произведению его цифр.
а) Может ли ровно одна из цифр этого числа не быть единицей?
б) Может ли ровно одна из цифр этого числа быть единицей?
в) Найдите все такие числа.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.